И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3.8, а) е ,' О'''' ! — оно показано пунктирной 2 кривой. Э '" Хотя логика в этих расРнс. 3.8 суждениях безупречна, такое распределение не осуществляется. Вместо этого мы наблюдаем совершенно иное распределение* (рис. 3.8, б). Не есть ли это крушение чистой логики и здравого смыслами Ведь все выглядит так, как если бы 100 + 100 = 0 (в точке Р). В самом деле, когда открыта или щель 1 или щель 2, то в точку Р приходит, скажем, по 100 электронов в секунду, а если открыты обе щели, то ни одного!.. Более того, если сначала открыть щель 1, а потом постепенно открывать щель 2, увеличивая ее ширину, то по здравому смыслу число электронов, приходящих в точку Р ежесекундно, должно расти от 100 до 200.
В действительности же — от 100 до нуля. Если подобную процедуру повторить, регистрируя частицы, например, в точке О (см. рис. 3.8, 6), то возникает не менее парадоксальный результат. По мере открывания щели 2 (при от- Это было установлено на екснернменте йенсеном (1961). Волвовмо свойства частвц крытой щели 1) число частиц в точке О растет не до 200 в секунду, как следовало бы ожидать, а до 400 ! Как открывание щели 2 может повлиять на электроны„которые, казалось бы, проходят через щель 1? Т.
е. дело обстоит так, что каждый электрон, проходя через какую-то щель, «чувствует» и соседнюю щель, корректируя свое поведение. Или подобно волне проходит сразу через обе щели (!?). Ведь иначе интерференционная картина не может возникнуть. Попытка все же определить, через какую щель проходит тот или иной электрон, приводит к разрушению интерференционной картины, но это уже совсем другой вопрос. Какой же вывод? Единственный способ «объяснения» этих парадоксальных результатов заключается в создании математического формализма, совместимого с полученными результатами и всегда правильно предсказывающего наблюдаемые явления.
Причем, разумеется, этот формализм должен быть внутренне непротиворечивым. И такой формализм был создан. Он ставит в соответствие каждой частице некоторую комплексную пси-функцию Т(г, с). Формально она обладает свойствами классических волн, поэтому ее часто называют волновой функцией. Но более подробно об этой функции, ее физическом смысле и уравнении, которое управляет ее поведением в пространстве и времени, речь пойдет в следующей главе. Возвращаясь к поведению электронов при прохождении через две щели, мы должны признать: тот факт, что в принципе нельзя ответить на вопрос, через какую щель проходит электрон (не разрушая интерференционной картины)„несовместим с представлением о траектории.
Таким образом, электронам, вообще говоря, нельзя приписать траектории. Однако при определенных условиях, а именно когда дебройлевская длина волны микрочастицы становится очень малой и может оказаться много меньше, например, расстояния между щелями нли атомных размеров, понятие траектории снова приобретает смысл.
Рассмотрим этот вопрос более подробно и сформулируем более корректно условия, при которых можно пользоваться классической теорией. Глава 3 Критерий классического описания. Подобно той роли, которую играет скорость света при решении вопроса о применимости ньютоновской (нерелятивистской) механики, существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться классическими представлениями.
Этот критерий связан с постоянной Планка Ь. Физическая размерность Ь равна (энергия) х (вреэгя) или (импульс) х (длина) или (эгоэгепгл импульса). Величину с такой размерностью называют действием. Постоянная Планка является квантом действия. Упомянутый критерий состоит в следующем. Если в данной физической системе значение некоторой характерной величины Н с размерностью действия сравнимо с Ь, то поведение втой системы может быть описано только в рамках квантовой теории.
Если же значение Н очень велико по сравнению с Ь, то поведение системы с высокой точностью описывают законы классической физики. Отметим, однако, что данный критерий имеет приближенный характер. Он указывает лишь, когда следует проявлять осторожность. Малость действия И не всегда свидетельствует о полной неприменимости классического подхода. Во многих случаях она может дать некоторое качественное представление о поведении системы, которое можно уточнить с помощью квантового подхода.
Величины ггакромира, имеющие размерность действия, в огромное число раз превышают квант действия Ь. Вот несколько примеров. Пример 1. Небольшой маятник. Пусть средняя энергия его колебаний Е = 1 эрг, а период колебаний Т = 1 с. Величина с размерностью действия — зто Е Т. Отношение ЕТ/Ь я 10гг. Пример 2. Вращающееся тело с моментом инерции 1 = 1 г смг и угловой скоростью о = 1 рад/с. Отношение момента импульса к кванту действия /в/Ь ~ 10ге. Пример 3.
Небольшой гармонический осциллятор. Пусть его масса пг = 1 г, максимальная скорость с = 1 см/с и максимальная амплитуда а = 1 см. Тогда его максимальный импульс ти=1 г см/с. Величина а лги имеет размерность действия, и отношение ати/Ь вЂ” 10гг. Волвовые свойства частиц Видно, что во всех трех случаях действие Н ~ Ь, а это означает, что описание движения таких систем можно уверенно проводить в рамках классической физики.
Совсем иначе обстоит дело, когда действие Н становится сравнимым с Ь. Здесь мы вступаем в область, где действуют совершенно другие законы — законы квантовой физики. С этими законами нам и предстоит познакомиться. з 3.4. Принцип неопределенности В классической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяется динамическими параметрами, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и др. Однако реальное поведение микрочастиц показывает, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные переменные могут быть указаны и измерены. Ахар,лЬ. ~ (3. 20) Второе соотношение устанавливает неопределенность измерения энергии, АЕ, за данный промежуток времени Ы: (3.21) Заметим, что в точном соотвошевии веопределеввостей под ах и ар, должны пониматься средиеквадратичвые отклонения от средвих аиачеввй, а справа ве й и ие В, а Ый. Мы ве будем пользоваться точвым соотвошевием, так как во всех прииципиальвых вопросах существевво спать лишь порядок велвчивы Ах Лри а ве ее точное авачевие.
Соотношения неопределенностей. Глубокий анализ причин существования этого предела, который называют принципом неопределенности, провел В. Гейзенберг (1927). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей. Наиболее важными являются два соотношения неопределенностей. Первое из них ограничивает точности одновременного измерения координат и соответствующих проекций импульса частицы. Для проекции, например, на ось Х оно выглядит так*: Глава 3 Поясним смысл этих двух соотношений.
Первое из них утверждает, что если положение частицы, например, по оси Х известно с неопределенностью Лх, то в тот же момент проекцию импульса частицы на эту же ось можно измерить только с неопределенностью Лр, = Ь/Лх. Заметим, что эти ограничения не касаются одновременного измерения координаты частицы по одной оси и проекции импульса — по другой: величины х и рю у и р, и т. д.
могут иметь одновременно точные значения. Согласно второму соотношению (3.21) для измерения эыергии с погрешностью ЛЕ необходимо время, не меньшее, чем Л« = Ь/ЛЕ. Примером может служить «размытие» энергетических уровней водородоподобных систем (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни во всех возбужденных состояниях этих систем порядка 10 з с. Размытые же уровней приводит к уширению спектральных линий (естественное уширение), которое действительно наблюдается. Сказанное относится и к любой нестабильной системе. Если время жизни ее до распада порядка т, то пз-за конечности этого времени энергия системы имеет неустранимую неопределенность, не меньшую, чем ЛЕ = Ь/т.
В дальнейшем будет показано, что во мыогих случаях умелое применение соотыошений неопределенностей позволяет угадывать (или предсказывать) основные черты явлений. О соотношении Лх Лр„з Ь. Обсудим более подробно смысл н возможности этого соотношения. Прежде всего обратим внимание на то, что оно определяет принципиальный предел неопределенностей Лх и Лр„, с которыми состояние частицы можно характеризовать классически, т. е. координатой х и проекцией импульса р„.
Чем точыее х, тем с меньшей точностью возможно устаыовить р„, и наоборот. Подчеркнем, что истинный смысл соотношения (3.20) отражает тот факт, что в природе объективно не существует состояний частицы с точно определенными значениями обеих переменных, х и р,. Вместе с тем мы вынуждены, поскольку измерения проводятся с помощью макроскопических приборов, приписывать частицам не свойственные им классические переменные. Издержки такого подхода и выражают соотношения ыеопределенностей. волновые свойства частая После того, как выяснилась необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями, соотношения неопределенностей возникают естественным образом — как математическое следствие теории. Считая соотношение неопределенностей (3.20) универсальным, оценим, как бы оно сказалось на движении макроскопического тела.
Возьмем очень маленький шарик массы т = 1 мг. Определим, например, с помощью микроскопа его положение с погрешностью Ьх = 10 с см (она обусловлена разрешающей способностью микроскопа). Тогда неопределенность скорости шарика Ли = 6р/т = (Ь//сх)/лч - 10 |в см/с. Такая величина недоступна никакому измерению, а потому и отступление от классического описания совершенно несущественно. Другими словами, даже для такого маленького (но макроскопического) шарика понятие траектории применимо с высокой степенью точности. Иначе ведет себя электрон в атоме. Грубая оценка показывает„что неопределенность скорости электрона, движущегося по боровской орбите атома водорода, сравнима с самой скоростью: Ли = ш При таком положении представление о движении электрона по классической орбите теряет всякий смысл.
И вообще, при движении микрочастиц в очень малых областях пространства понятие траектории оказывается несостоятельным. Вместе с тем, при определенных условиях движение даже микрочастиц может рассматриваться классически, т. е. как движение по траектории. Так происходит, например, при движении заряженных частиц в электромагнитных полях (в электронно-лучевых трубках, ускорителях и др.). Эти движения можно рассматривать классически, поскольку для них ограничения, обусловленные соотношением неопределенностей, пренебрежимо малы по сравнению с самими величинами (координатами и импульсом). Опыт со щелью. Соотношение неопределенностей (3.20) проявляет себя при любой попытке точного измерения положения или импульса микрочастицы.
И каждый раз мы приходим к «неутешительному» результату: уточнение положения частицы приводит к увеличению неопределенности импульса, и наоборот. В качестве иллюстрации такой ситуации рассмотрим следующий пример. 73 Глава 3 Попытаемся определить координату х свободно движущейся с импульсом р частицы, поставив на ее пути щель шириной Ь (рис. 3.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
