И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, в данной яме при Е < (/з спектр собственных значений энергии Е оказыва- и ется дискретным. Этим значениям соответствуют связанные состояния частицы и характе- О ризующие эти состояния /% . 1 Шв Х у у-функции, одна из которых Рис. 4.5 показана на рис. 4.5. Следует еще раз отметить, что такая потенциальная яма, как показывает расчет и график на рис. 4.4, может не содержать и ни одного уровня (это будет при условии Р(/р < хз Ьз/8гл). В этом случае движение частицы не локализовано в конечной области, ее движение, как говорят, инфинитно.
Нельзя не обратить внимания на тот удивительный (с точки зрения классики) факт, что частица, будучи в связанном состоянии, может оказаться и в области 2 (см. рис. 4.3), где ее полная энергия Е < (/э. Объясняется это тем, что равенство Е = К+ (/ в квантовой теории теряет смысл: кинетическая К и потенциальная (/ энергии в силу принципа неопределенности не могут одновременно принимать точные значения.
В самом деле, (/ зависит от координат, а К вЂ” от импульса частицы. Поэтому не следует удивляться тому, что в некоторых местах полная энергия Е < (/. Отметим также, что с ростом, например, глубины ямы, т. е. (/з, число уровней энергии Е и связанных состояний будет увеличиваться, а вероятность обнаружения частицы в области 2 Глава 4 будет становиться все меньше, и при Уо -+озона обратится в нуль, »у-функция в точке х = «приобретает излом (теряет гладкость), с чем мы и столкнулись в случае 1 и наблюдаем в данной яме в точке х = О. Уместно здесь коснуться вопроса о гладкости»у-функции в месте конечного разрыва* функции У(х).
Проинтегрируем уравнение Шредингера по малому интервалу координаты х, внутри которого имеется скачок У(х), например, в точке х = О. В результате получим Ь вЂ” '(+б) — — "'-(-5) = — ~ — (К вЂ” У) ах, дх дх где координату х берем в малом интервале ( — Ь, +5). Ввиду конечности скачка У(0) интервал при д -+ 0 тоже стремится к нулю. Отсюда и следует, что слева и справа от точки х = 0 производные д»у/дх будут одинаковы, значит»у-функция оказывается гладкой. р 4.4.
Квантовый гармонический осциллятор Задача об уровнях знергии одномерного гармонического осциллятора является одной из наиболее важных задач о собственных значениях. В квантовой теории понятие силы теряет смысл (см. сноску на стр. 85), поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как поведение частицьг массы ль с потенциальной энергией У(х) такой же, как у классического осциллятора, а именно У = хз/2, (4.20) где к — постоянная. Графиком функции (4.20) является парабола (рис. 4.6). Согласно классической механике осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой Говоря о «разрыве», мы должны понимать этот термин не в математическом, а в физическом смысле: функция сг(х) меняется от одного значения до другого в очень малой области пространства, испытывая по существу скачок.
Именно поэтому в таком месте график У(х) изображают практически вертикальным отреаком. Уравнение Шредингера. Кваатевание гэ =,~х(т. В квантовой теории это равенство следует рассматривать просто как введение некоторой новой постоянной (и не более), однако, как будет видно в дальнейшем, это делается неспроста. Сейчас же, выразив в формуле (4.20) х через м и т, получим тгэ у = — хз. 2 О Х (4.21) Рис.
4.6 3 у 2т( тге г1 + — Š— — х гр =О. лхз «з ~ 2 (4.22) Нахождение решения этого уравнения, т. е. ~р-функции, является громоздкой математической задачей. Для нас главное не в этом. Оказывается, уравнение (4.22) имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции) при собственных значениях Е, равных ~ 7,=( + )Й, 1 =0 1 2, о.23) Схема соответствующих энергетических уровней (4.23) дана на рис. 4.7.
Видно, что эти уровни — эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину. Минимальная энергия Еэ — — Ьго/2, ее 3 называют нулевой энергией. 2 То, что минимальная энергия квантово- 1 го осциллятора не равна нулю (частица не 0 может «лежать» в нижней точке параболической потенциальной ямы), связано с принципом неопределенности, как и в слуРис.
4Л чае прямоугольной ямы. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы, и ее импульс и координаты имели бы одновременно определенные значения, что противоречит принципу неопределенности. 5 4 Теперь обратимся к уравнению Шредингера (4.9), которое в на- шем одномерном случае будет иметь вид Глава 4 Наличие нулевой энергии подтверждается экспериментально. Более детальный расчет, выходящий за рамки уравнения Шредингера, показывает, что для квантового осциллятора возможны переходы липь между соседними «стационарными» уровнями, при которых квантовое число о изменяется на единицу: (4.24) Ло =+ 1. о=2 Рва. 4В и О Это условие называют правилом отбора для квантового гармонического осциллятора. При каждом из этих переходов испускается или поглощается фотон с энергией Ле, где и — его циклическая частота.
Именно здесь введенная ранее постоянная и приобретает Физический смысл. Говорить же, что в стационарных состояниях квантовый осциллятор испытывает колебания с частотой м, это в принципе неверно. Дело обстоит совершенно иначе. Поясним это с помощью рис, 4.8, где приведены граФики распределения плотности вероятности ~Р(х) местоположения частицы при о = О, 1, 2 и при большом значении о. Жирными отрезками на оси Х показаны интервалы, на концах которых Е = У.
Классическая частица при колебаниях за пределы интервала заходить не может, Квантовая же частица ведет себя совершенно не так. Она, как видно из рисунка, может быть обнаружена и вне пределов этих интервалов, где Е < У. И ни о каких колебаниях квантового осциллятора в стационарных состояниях речи быть не может. Мы можем говорить лишь о распределении плотности вероятности местоположения частицы. С ростом квантового числа квантовый осциллятор все больше становится классическим, у которого плотность вероятности плавно изменяется от минимума при х = О до бесконечности в точках поворота (где Е = О), т.
е. совершенно лротизоположно тому, что мы имеем для квантового осциллятора, например, в состоянии с о = О (см. рис. 4.8). Ураавевве Шревввгера. Еаавтеаавве Колебаиия молекул. В атомной физике к осциллятору сводится задача о колебаниях молекул и многие другие важные задачи. Применим полученные выводы к колебаниям, например, двухатомиых молекул. На рис. 4.9 изображена потеициальиая энергия У взаимодействия атомов в двухатомиой молекуле (типа МаС1) в зависимости от расстояиия г между ядрами атомов. Из вида кривой У(г) следует, что атомы в молекуле могут совершать колебаиия отиосительио равновесного расстояния ге между ядрами, и у молекулы, следовательно, должны существовать дискретные колебательиые уровни эиергии. Оии описываются той же формулой (4.23), где теперь под ю надо понимать ме =,/х/р, р — приведенная масса молекулы, р = т1тз/(т1 + тз).
Нижняя часть потенциальной кривой иа рис. 4.9 совпадает с параболой (оиа изображена иуяктиром), поэтому при малых колебаииях молекулы ведут себя как идеальиые, гармонические осцилляторы, и их иижвие колебательиые уровни должны быть эквидистаитиы, как показало иа рис. 4.10. и Наличие дискретных колебательных уровней приводит к появлению в молекулярных спектрах линий, связанных с переходами между этими уровнями в соответствии с правилом отбора 1 (4.24)„и поэтому весь колебательиый спектр ж ° ° ° д а ь .р ..4.1о).
~':.~.:':.3 Впрочем при этом наблюдается ие чисто колеба- ва тельный, а так называемый колебательно-вращательный спектр (см. 5 3.3). Аигармоиичиость (отклоиеиие от гармоиичиости), наступающая при увеличении ивтеисивиости колебавий, приводит к тому, что с увеличением квантового числа о эиергетические уровни сгущаются, и в формулу (4.23) необходимо вводить поправку иа аигармоиичиость. Глава 4 $ 4.5. Потенциальные барьеры Сначала рассмотрим простейший случай — прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия (/ зависит только от одной координаты х, причем при х = 0 претерпевает скачок (рис.
4.11). У такого барьера (О при х<0, (/(х) = '((/с при х > О. (4. 25) Пусть слева на границу барьера налетает с полной энергией Е частица или поток час- 0 тиц. На языке квантовой теории это означаг ет, что на барьер слева «падаета дебройлевскан волна Рлс. 4.11 ~р(Х 1) а Екал-ае (4. 26) Чтобы удовлетворить граничным условиям для Ч' и дЧ'/дх при х = О, должна существовать как прошедшая волна, так и отраженная. В этих трех волнах частота м одна и та же (и = Е/Ь), поэтому в дальнейших расчетах мы можем ограничиться только координатной частью этих волн, а именно ~у(х).
Наша задача: сначала найти амплитуды отраженной н падающей волн, а затем — коэффициенты отражения Л и пропускания Ю для такого барьера. Исходим из уравнения Шредингера (4.9). В нашем случае оно имеет вид у"„+Ь ~у =О, Ь =2т(Š— (/з)/Ь . (4.27) Здесь возможны два случая (см. рис. 4,11): Е > (/е и Е < (/е. 1. В случае Е > (/е общее решение уравнения (4.27) имеет внд: ~у~(х < 0) = а~ехр(Ягх) + Ь~ехр( — (Ь~х), й1 = -/2тЕ/Ь ~рз(х > О) = азехр((Ьзх) + Ьзехр(-1Ьзх), Ьз =,/2т(Š— (Тз)/Ь Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой ат, причем вещественной, а отраженная — амплитудой Ьн В области х > 0 имеется только проходящая волна, поэтому 101 Ураавевие Шредивтера.
Каавтеаавие Ьз = О. Из условия непрерывности у и у„в точке х = 0 следует, что ц~,(0) = ц з(0), или а1 + Ь, = аз, (4. 29) у'(О) =.~у'з(0), или а~Ь, + Ьтй, =азйз. Из совместного решения этих двух уравнений находим, что отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде ае падающей волны равны: (4.30) а Ь, + Ьз ат Ьт + Ьз Для определения интересующих нас коэффициентов В и Р введем понятие плотности потока вероятности У. Скорость распространения вероятности такого потока просто совпадает с классической скоростью и частицы, и мы можем написать и = р/т = ЬЬ(т, поскольку согласно (3.1) р = ЛЬ, Таким образом, и плотность потока вероятности пропорциональна величине ЬЧЧ'": В соответствии с видом Ч'-функции (4.26) для падающей, отра- женной и прошедшей волн мы имеем я Ь1а,, У' Ь,ь,, .я" Ьа аз.
Теперь можно записать выражения для коэффициентов отра- жения В и пропускания Р: Отсюда следует, что В+ Р = 1, что и должно быть по определению. Кроме того, видно, что значения В и Р не зависят от направления движения частицы: слева направо на рис. 4.11 или наоборот. Заметим, что в классическом случае В = 0 при Е > Уо. 102 Глаза 4 2. В случае Е < Уо формулы (4.30) остаются справедливыми. Однако )22 будет чисто мнимым согласно (4.28). Прн этом выражение (4.31) для коэффициента отражения следует записать так: 2 ~1 32 31 + й2 (4.
32) Здесь числитель и знаменатель — величины комплексно-сопряженные. Значит Я = 1, т. е. отражение частиц будет полным. Но ~у-функция при х > 0 не обращается в нуль. В самом деле, в,=з, д в=,~Ы~а, -ап, у, * н, плотность вероятности местоположения частицы Р(х) = Р(0) е 2" . (4.33) Видно, что с увеличением глубины проникновения х плотность вероятности Р(х) убывает экспоненциально. Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность (Уе — Е). Обычно глубину проникновения определяют как расстояние (, на котором Р(х) убывает в е раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
