И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пример. Найдем с помощью уравнения (5.16) э.функцию состояния, в котором проекция импульса яа ось Х имеет определенное значение р,. Для этого подставим в (5.16) в качестве оператора 9 оператор р (5.6). Тогда ду — — =Р 9. дх Этому уравнению и всем необходимым условиям удовлетворяет функция э = е'"*, где 5 = Р /Ь, которая является координатной частью плоской волны де-Бройля. Глаза З ыз Функции„являющиеся решением уравнения (5.16) и удовлетворяющие естественным условиям, называют собственными функциями оператора й.
Те значения й, при которых такие решения существуют, называют собственными значениями физической величины 4). При этом набор собственных значений для оператора Я определяет значения Я, которые могут быть найдены из опыта при измерении данной физической величины. Набор собственных значений физической величины Я иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Опыт показывает, что в последнем случае измеренные значения 9 действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями й.
Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий. Уравнение (5.16) является обобщением правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе, на случай любых физических величин. Чтобы убедиться в этом, подставим (5.9) — оператор й в (5.16): — — ч +П у=Е~э. (5.17) Это уравнение Шредингера (4.3) для стационарных состояний, Поэтому сокращенно его можно записать в символической форме йц =Ел, (5.18) отличающейся от (5.16) только обозначениями. й 5.3. Квантование момента импульса Момент импульса.
Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Его значение связано с тем, что М сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле. Однако в квантовой теории момент импульса существенно отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, Ж,. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными.
119 Оси»вы иввитовей теории Это означает, что направление момента М в пространстве является неопределенным. Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: вектор М как-то «размазан» по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением координатной оси 2 (рис. 5.1). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция М,.
Другие две проекции, М„и М„, оказываются полностью неопределенными. Говоря в дальнейшем о «векторе» момента, мы будем иметь в виду именно такой квантовый смысл этой величины. В этой главе мы ограничимся рассмотрением момента для одного электрона. В дальнейшем же по мере усложнения системы выясним, как это отразится на моменте системы (З 6.4). Модуль момента импульса. Начнем с квадрата момента. Согласно (5.13) для этого необходимо решить уравнение Мт Мз (5. 19) Оператор М достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким.
Поэтому мы ограничимся приведением окончательных результатов, причем только для собственных значений данного оператора: Мз=((1+1)бз, 1=0, 1,2, ..., (5. 20) где « — так называемое орбитальное (нли азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента М=Ь,/ф+1),' «=0,1,2,... (5.21) Видно, что эта величина является дискретной (квантованной). Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствующим ему оператором имеется существенное различие.
Классический момент г х р зависит от выбора точки О, относительно которой берется радиус-вектор г. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки О (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах). 120 Глаза З Это значит, что оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его лучше называть оператором углового момента. Не зависят от выбора точки О и собственные значения операторов квадрата и проекции углового момента, М и М,.
Проекция момента М,. Поскольку в одном и том же состоянии проекции момента на два различных направления не могут иметь определенные значения, то избранное направление можно взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось 2, так как в этом случае оператор М, дается более простой формулой (5.12). Таким образом, для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо, согласно (5.16), решить уравнение д -(Ь вЂ” ~г = М~~у. дф (5.22) Подстановка у = Се"э приводит после сокращения на общий множитель е э к уравнению — )Ьа = М„нз которого а = (М,/Ь. Значит„решение уравнения (5.22) таково: ~у = Се*' э, т = М,/Ь. (5. 23) Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, ддя чего должно быть выполнено условие у(ср + 2к) = у(ср).
Данное условие выполняется только прн целых значениях т в (5. 23). Следовательно, проекция углового момента на ось 2 является кратной постоянной Планка: М =тЬ, т=0,11, +2, (5.24) Поскольку ось 2 выбирают произвольно, равенство (5.24) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Схематически зто показано на рис. 5.2. Разумеется, подобные схемы не следует понимать буквально, ибо авектор» М принципиально не имеет определенных направлений в Освоим ивоитовой теории пространстве. По причинам, которые выяснят- 2 ся в дальнейшем (з 7.1), число т называют магнитным квантовым числом. С точки зрения квантовой теории волновая функция уе соответствующая определенному квантовому числу (, представляет собой супер- позицию состояний (у~ -функций), отличающихся друг от друга квантовым числом т.
Иначе говоря, состояние с заданным ( является вырожденным по т, причем кратность вырождения, т. е. число различных значений т, как следует из (5.24), равно 2(+ 1. Как будет показано в дальнейшем (з 7.2), вырождение снимается при помещении атома в магнитное поле. Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. )М,~ < М, поэтому в соответствии с (5.20) и (5.21) должно выполняться условие )т~ д,/Т(1 о 1) . Отсюда следует, что максимальное значение (т! равно 1. Мы видим, что при заданном ( число т принимает 2( + 1 значений: 1 — 1, ..., О, ..., — (( — 1), — (, образующих спектр величины М,.
Заметим, что в квантовой теории при указании орбитального момента принято называть только (, поскольку оно задает как модуль углового момента, так и все возможные значения его проекций на ось Я. Так например, когда говорят, что орбитальный момент ( = 2, то имеется в виду модуль М момента и спектр М,: М =6 Гб, М, = 26, 16, 0,-16,-26 Итак, мы имеем | М = 6Д( + 1), 1 = О, 1, 2, М,=6т, т=О, +1,~2,...,х(., (5.25) (5.26) 122 Глава 5 Полученные результаты, определяющие возможные значения М и М„называют пространственным квантованием.
Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (см. рис. 5.2). (Мз) = (Мз) + (Мз) + (Мз) . (5.27) Левая часть этого равенства равна просто Мз, а правая, в силу равно- вероятности всех проекций, может быть представлена как 3(М з). Тог- да (5.27) примет вид Мз = 3 (М~). (5. 28) Далее, согласно (5.21) при всяком значении 1 проекция М, может прини- мать 21+ 1 различных значений.
Поэтому среднее значение Мз равно ~~,т (Мз) дз(тз) Зз ты 2)е1 (5.29) Из математики известно, что Д! е 1)(2! + 1) т=1 6 Тогда формула (5.29) преобразуется к виду )2 (Мз) = — ((! + 1). (5.30) И наконец, после подстановки (5.30) в (5.28) получим Мз = бз 1(! т 1), (5.31) что и требовалось доказать. Рассуждения, приведенные выше, можно провести и в обратном порядке: не от М к М„а наоборот. При этом можно использовать довольно поучительный прием, познакомиться с которым имеет определенный смысл. Итак, найдем зависимость М от числа !. Для этого мысленно представим себе множество одинаковых частиц с одним и тем же моментом М, но с разными значениями его проекции М,.
Известно, что для средних значений справедливо равенство Оеиеим ивевтеией теории $ 5.3. Ротатор В квантовой теории с моментом импульса М связан ие только электрон, ио и такой важный вопрос, как вращеиие молекул. В классической механике кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой Е = Мз121, где 1— момент инерции тела относительяо соответствующей оси вращения. Такая же формула справедлива и в кваитовой теории, ио только для связи между операторами: (5.32) Е=М /1.
Из этой формулы следует, что собствеииые значения оператора зиергии, так же как и собственные значения оператора М, являются кваитованиыми величинами. Согласно (5.21) имеем г=О, 1, 2, ... (5.33) где г — вращательное квантовое число (мы просто заменили ( иа г, чтобы подчеркиуть, что зто соотношение относится к вращеиию молекул). Неизменяемую вращательную систему в кваитовой физике называют ролтатнороле. Формула (5.33) определяет его эиергетические уровни, а значит и вращательные уровни молекулы. Из этой формулы следует, что расстояние между вращательными уровнями ротатора (молекулы) растет с увеличением квантового числа г. В самом деле, интервал между уровнями г и г+ 1 й' йз ЛЕ = — '1(г+1)(г+2) — (г+1)]= — (г+ 1). (5.34) 21 1 Для вращательного квантового числа г действует правило отбора (5.35) Глава 5 124 Поэтому частоты линий, испускаемых при переходах между вращательными уровнями, могут иметь значения, определяе- мые условием й«з = ЛЕ, откуда «ь = — (г+ 1) = «ь~(г+ 1).
Ь Х (5.36) Заметим, что в случае двухатомной молекулы момент инерции Х берется относительно оси 00, проходящей через ее центр масс С и перпендикулярной прямой, проходящей через ядра атомов молекулы (рис. 5.3). Тогда (в этом полезно убедиться самостоятельно) Рис. 5.3 (5.37) где «( — расстояние между ядрами молекулы, р — ее приведенная масса, р = тгтз/(т1+ тз), т1 и тз — массы обоих атомов. Спектр вращательных уровней энергии и соответствунц их спектральных линий изображен на рис.
5.4. Чисто вращательные спектры моле- 3 кул находятся в далекой инфракрасной области и в области сантиметровых волн. Ранее (5 4.4) было показано, что у молекул с должны существовать нолебательные уровни. д;ддд~«» р *» ° р» за„з 4и„льные уровни. В общем же случае молекулы колеблются и вращаются одновременно. Это приРие. 5.4 водит к возникновению так называемых колебательно-враа4ательных полос, состоящих з из весьма близких линий, расположенных симметрично относительно «линии» с частотой ае и отстоящих друг от друга на Л«ь = вь —— 3/Х. Схема соответствующих 5«», г уровней, переходов и расположения а спектральных линий в полосе показана ни рис. 5.5.
В середине полосы интервал между соседними линиями вдвое больше, (":П~:;::И~.,'$=,4.-'(й посколькУ линиЯ с частотой ь»з ие возникает из-аа правила отбора (5.35), согласРие. 5.5 но которому Лг = х1. 125 Основы квантовой теораи Задачи 5.1. Проверить следующее операторное равенство: 1е — -! =1 ь2 — ь —. дУ д дз дх! дх дхз Р е ш е н и е. Имея в виду, что чУзуу = 4(фу), запишем: д )( ду) дШ ду ду ( д д1 1е — ~~Ч ь --~=ууь — — е — е--= 1+2--е — уу. дх)( дх) дх дх дх ~ дх дх~! Равенство, таким образом, доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
