И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В отличие от него, (4.б) называют временным или общим уравнением Шредингера. В дальнейшем мы будем иметь дело только с уравнением (4.8) и будем записывать его (как зто обычно принято) в виде Ч ссс + — (Š— У)сг = О. (4.9) Еще раз напомним, что потенциальная энергия — функция У(г) — здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала. Квантование.
В отличие от первоначальной теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Шредингера оно возникает автоматически. Достаточно только учесть„что физический смысл имеют лишь те решения уравнения (4.9), которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пои-функция су(г) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой (т. е. без изломов) во всем пространстве, даже в тех точках (линиях,поверхностях), где потенциальная энергия У(г) терпит разрыв.
Эти условия не представляют чего-нибудь особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е. Их называют собственными значениями„а функции су(г), являющиеся решениями уравнения (4.9) при этих значениях энергии,— собственньсми функциями, принадлежащими собственным значениям Е. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования. Собственные значения энергии Е и принимаются за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях.
Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретньсй илн непрерывный энергетический спектр. В общем случае зависимости потенциальной энергии У(г) от координат, решение уравнения Шредингера представляет собой весьма громоздкую задачу. Но если мы все же нашли это Глава 4 5 4.3. Частица н прямоугольной яме Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме У(х), имеющей две различные конфигурации — два случая. Предполагается, что частица может двигаться только вдоль оси Х. Случай 1. Он является самым простым: ширина ямы равна стенки ямы бесконечно высокие (рис. 4.1, а). Потенциальная энерз гия в этом случае имеет следующие значения: она равна нулю в интер- 2 1 вале (О, 1) и обращается в бесконечб) ностьприх=бих=(.
3 2 1 О ' 1 Х а) Рак 4.1 решение у(г), то в принципе мы можем найти не только распределение вероятности местонахождения частицы, но также вероятности собственных значений различных физических величин (например, энергии, импульса, момента импульса). Надо только знать способ, как извлечь значения этих величин из функции у(г). Но об этом в дальнейшем. Заметим, что при более строгом рассмотрении стационарных состояний выясняется, что онн вовсе не стационарные. Вместе с тем, решения уравнения Шредингера приводят к наличию строго стационарных состояний, в противоречии с известными экспериментальными фактами.
Здесь проявляется очевидная ограниченность уравнений Шредингера: они не описывают радиационных переходов. Тем не менее, предсказываемые уравнением Шредингера стационарные состояния с хорошей точностью соответствуют почти стационарным состояниям. Об этом свидетельствует опыт. Теперь перейдем к рассмотрению нескольких простейших случаев, на которых пронллюстрируем, что квантование — это, действительно„естественное следствие вышеприведенных условий, накладываемых на решения уравнения Шредингера. При этом никаких дополнительных предположений делать не требуется. Ураввеиие Шредингера. Квавтовавие 91 Исходим из уравнения Шредингера (4.0).
Для одномерного случая в пределах ямы (где У = 0) зто уравнение упрощается: — +й у=О, д Ч г дх (4.10) где введено обозначение йг = 2игЕ/Ьг. (4.11) Общее решение уравнения (4.10) имеет вид (4. 12) у(х) = а з(п(йх е и), у(0) = аз)па = 0 следует, что а = О. Из условия же у(() = а з1пй) =- 0 в свою очередь следует, что (4.13) й( = х ии, где и = 1, 2, 3, ... (и = 0 отпадает, так как при етом у = 0 — частицы вообще нет). Подставив й из (4.13) в (4.11), получим „гйг Ев= иг, и=1,2,3, 2ги) г (4.14) Энергия оказалась квантованной и ее спектр — дискретный (рис.
4.1, б). где а и и — произвольные постоянные. Теперь самое главное; мы должны потребовать от функции фх). чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что ~р(х) в виде (4.12) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там у(х) = О, и для непрерывности у-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = ) функция (4.12) была бы равна нулю. Из условия Глава 4 Итак, собственные значения Е мы нашли — это (4.14). Теперь найдем соответствующие им собственные функции.
Для этого подставим значения )е из (4.13) в (4.12), где а = О, тогда у(х) = а з1п(пкх/е). Для определения коэффициента а воспользуемся условием нор- мировки (4.3). В нашем случае оно примет вид аз~вша е(х =1. з пйх е На концах интервала (О, е) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса (а оно равно 1/2) на ширину ямы й аз(1/2) ( = 1, откуда а =,/2/й Таким образом, собственные функции в данном случае имеют вид ул(х) = ч(2/( з)п(пкх/(), п = 1, 2, 3, ... (4.15) Графики нескольких собственных функций показаны на рис.
4.2 пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности — сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии (и = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы. и 1 п=2 п=3 п=4 О Рие. 4.2 С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа и) максимумы распределения у„(х) располагаются все бли- 2 же друг к другу. При очень больших значениях и картина рас- Уравнение Шредин»ера.
Квант»ванне вз пределения ~р„(х) практически «сливается» и представляется в равномерным — частица начинает вести себя совсем «по-классическии» . Внимательный читатель по-видимому заметил, что найденные нами собственные функции (4.15) удовлетворяют не всеи естественным условиям: на границах ямы у-функции не гладкие, испытывают излом. Это обстоятельство является следствием того, что на границах ямы У «о, чего в реальном мире не бывает. При любом конечном разрыве потенциальной энергии у-функция все равно остается гладкой (об этом подробнее ниже).
Заметим также, что в отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме согласно (4.14) не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия. Случай 2. Частица движется в одно- У мерном потенциальном поле У(х), показанном на рис. 4.3. Уже этот случай свя- Е) Уе зан с достаточно громоздкими математическими преобразованиями.
У е Если полная энергия частицы Е Уе, Е<У то говорят, что частица находится в потенциальной яме, или в связанном состоянии. (1) (2) Будь частица классической, она не смогла 0 Х бы при этом условии выйти за пределы Рис. 4.3 ямы, поскольку там ее кинетическая энергия была бы отрицательной, что невозможно. Отражаясь от стенок ямы, частица двигалась бы только в ее пределах и могла быть с равной вероятностью обнаружена в любом месте ямы.
Существенно иначе ведут себя частицьп подчиняющиеся квантовым законам. Чтобы выяснить, как именно, воспользуемся уравнением Шредингера (4.9) в одномерном виде. Поскольку функция У(х), как видно из рис. 4.3, является ступенчатой, то удобно разбить область изменения х на два участка, 1 и 2, с постоянными значениями У, получить решения для каждого участка, а затем «сшить» зти решения так, чтобы у-функция была непрерывной и гладкой.
Глава 4 Снабдим решения на участке 1 индексом 1, а на участие 2— индексом 2. Теперь запишем уравнение Шредингера для этих двух участков: у," + Фэу, = О, 'т'з + х Ч'з = О, йз = 2тЕ/Ьз ка = 2т(Уо — Е)/Я'. (4.16) (4. 1 7) Общие решения этих уравыеыий имеют вид ~р,(х) = а эш(йх + а), Мх)=се + Они должны удовлетворять естественным условиям. Из условия непрерывности у-функции, учитывая, что при х < О у~ =О, имеем ~у1(О) = О, откуда а = О. Из требования конечности у-функции следует, что коэффициент с = О, поскольку экспонента с положительыым показателем соответствует непрерывному росту вероятности обнаружеыия частицы в области 2 с увеличением глубины проникновения х. И наконец, требование непрерывности и гладкости ~у-функции в точке х = ( означает, что Отсюда мы приходим к трансцендентному уравнению ФдЫ = — й/к, (4.18) которое удобнее представить через сиыус по формуле В результате получим (4.19) где С = Ь/ч(2тР~У~.
Изобразив графики левой и правой частей этого уравнения (рис. 4.4), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При атом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям Е, будут соответствовать тем точкам пересечения, для которых ФаИ < О согласно (4.18). Это значит, что корни уравнения (4.19) должны находиться в четных четвертях окруж- Уравиеиие Шредивгера.
Кваитеваиие 95 ности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками). Из рис. 4.4 видно, что корни уравнения (4.19), т. е. связанные состояния, существуют в такой яме не всегда, Пунктиром показано предельное полоРис. 4.4 жение прямой СЫ. Например, первый уровень, как следует из этого рисунка, появляется при условии Н = и/2, когда СЫ = 1, откуда Е = (/р. Второй уровень — при И =(3/2)х и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
