И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это сечение а = лбе, где Ьс — прицельный параметр, г при котором 8 = 8с = 90'. Ясно, что все протоны с прицельным параметром, меньшим Ьс, рассеятся под углами 8 > 8с. Используя формулу (2.1), получим: гс' гс' Ьо = тоз)б(8/2) тоз (2) Теперь найдем выражение для с как яЬез и учтем, что число ядер на единицу поверхности фольги л = лей, где лс — концентрация ядер (их число в единице объема).
После подстановки полученных выражений в (1) находим, что Р = яиебЕез/тсз = 0,006. 2.3. Формула Резерфорда. Узкий пучок протонов, скорость которых о = 6. 10э м/с, падает нормально на серебряную (2 = 47) фольгу толщиной д = 1,0 мкм. Найти вероятность рассеяния протонов в заднюю полусферу (8 > 90'). Плотность серебра р = 10,5 г/смз. 56 Глаза 2 Здесь ле = Фхрй/М, Ь(х — постоянная Авогадро, М вЂ” молярная масса серебра. 2.4. Узкий пучок а-частиц с кинетической энергией К = 0,60 МэВ па- дает на золотую фольгу, содержащую п = 1,1 10~э ядер/смз.
Найти относительное число и-частиц, рассеивающихся под угла- мн 0 < Оз, где Оо — — 20'. Р е ш е н и е. Непосредственно использовать Формулу Резерфорда для этого интервала углов мы не можем„поскольку для углов, ме- ньших порядка 3' она, как было сказано ранее, несправедлива. Поэтому искомую величину представим так: — = 1 — ла(Ое) = 1 — ллЬэ, 2 Х где Ьэ — прицельный параметр, соответствующий углу рассеяния Оо. Величину Ьо находим с помощью Формулы (2.1): ге К(3(Ое/2) (2) Подстановка (2) в (1) дает АЬ/ хл2ех К 13 (Ор/2) Р е ш е н и е. Для простоты будем считать, что в любой момент па- дения на ядро электрон движется равномерно по окружности.
Тогда, согласно 2-му закону Ньютона, тоз/г = ез/гз, откуда кине- тическая энергия К жег/2 ег/2„ и полная энергия электрона в поле ядра то е е Ж =К+(/ = — — — =-— 2 г 2г (2) В соответствии с классической электродинамикой, потеря энергии заряженной частицы на излучение в единицу времени опреде- 2.5. Классическое время жизни атома.
Оценить промежуток времени т, за который электрон, движущийся вокруг ядра атома водорода (протона) по окружности радиуса го = 0,53. 10 з см, упал бы на ядро из-за потери энергии на излучение. Атом Резерфорда — Бора бт ляется формулой бЕ 2е з а . бг 3с' (3) Учитывая (1) и (2), преобразуем (3) к виду Разделив переменные г и ц получим — 'аг = - — аа 4 е 3 т'сз Остается проинтегрировать это уравнение по г от ге до 0 и по Г от 0 до т. В результате получим: т~с г„з (0,011 10 ~~)~(3 10ю)э(0,33 10 ~)з 1 3 0 и 4ее 4(4,8 10-1е)е Р е ш е н не.
Исходим нз 2-го закона Ньютона: о д(/ т — = — = хг г дг где справа написана проекция силы на нормаль и к траектории. Согласно правилу квантования (2.18) имеем." гти = Ьп, и = 1, 2, ... Из этих двух уравнений находим возможные значения г: г„=,~пЦ /хгп. Возможные значения полной энергии (2) (3) шо хг Е„= е =пЬ ~х/ж, 2 2 где приняты во внимание формулы (2) и (3).
2.6. Квантование. Частица массы т движется по круговой орбите в центрально-симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния г до центра поля как 1/ = хгз/2, х — постоянная. Найти с помощью боровского условна квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле. Глава 2 б8 2.7. Атом водорода. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана.
Найти: а) скорость отдачи, которую получил атом; б) отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испу- щенного фотона. Р е ш е н и е. а) В этом процессе атом приобрел импульс р, равный импульсу вылетевшего из него фотона: р = Ьег/с. Кроме того, энергия возбуждения Е' атома распределилась между энергией фотона и кинетической энергией атома, испытавшего отдачу: Е' = Ьсг +рг/2т, где Е* = ЬЕ(1 — 1/2г) = (3/4) ЬЕ. Из этих трех формул находим г 3 — и +тси — — ЬЕ=О, 2 откуда следует, что скорость отдачи атома 3 ЬЕ и = — — = 3,27 м/с, 4 тс здесь т — масса атома. б) Искомое отношение с учетом (*) равно г Р/2т Р = и =О,бб 10з, Ьег рс 2 те 2с т. е. оказывается величиной чрезвычайно малой, н поэтому энер- гией отдачи атома, как правило, пренебрегают.
2.8. Водородоподобная система. При каком наименьшем значении приращения внутренней энергии иона Не', находящегося в основном состоянии, он смог бы испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера? Р е ш е н и е. Из рис. 2.7 следует, что для этого ион необходимо возбудить на уровень с л = 3. Именно в этом случае может быть испущен указанный фотон (при переходе с л = 3 на л' = 2). 59 Атом Резерфорда — Бора Искомое приращение внутренней энергии согласно (2.25) и (2.27) равно Е„„„= Ьсо,з = ЬВЯ ~ — — — ~ = — ЬВ2 = 48,5 эБ. 1 1 8 (1з зз! 9 2.9.
У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана АХ = 59,3 нм? Р е ш е н и е. Запишем выражение для частот и этих линий. Со- гласно (2.26) и (2.27) имеем: се = (5~36)В2з ю = (3/4)ВЯг Из этих формул находим ( 1 1) 176 ас А1 = Ьв — Ьл = 2кс ~ю юл~ 15 Вгз откуда 176 кс 2= — — =3. Это двукратно ионизированный атом лития, 1л+". 2.10. Энергия связи электрона в атоме Не равна Е, = 24,6 зВ. Найти минимальную энергию, необходимую для яоследоеагяельяого удаления обоих электронов из этого атома.
Р е ш е н и е. На первый взгляд кажется, что это 2Ее Но зто не так. После удаления первого электрона оставшийся оказывается в кулоновском поле ядра, а значит его энергия связи станет больше, и потребуется большая энергия для удаления второго электрона. Таким образом, искомая энергия Е„»=Ее ьЬВ2г 246+ 545 79эБ Здесь величина ЬВЯз — это энергия связи электрона в основном состоянии иона Не+. Волновые свойства частиц 5 3.1. Гипотеза де-Бройля Луи де-Бройль (1923) высказал и развил идею о том„что материальные частицы должны обладать и волновыми свойствами. К тому времени уже сложилась парадоксальная, но подтвержденная опытом, ситуация о свете: в одних явлениях (интерференция, дифракция и др.) свет проявляет себя как волны, в других явлениях с не меньшей убедительностью — как частицы.
Это и побудило де-Бройля распространить подобный корпускулярно-волновой дуализм на частицы с массой покоя, отличной от нуля. Если с такой частицей связана какая-то волна, можно ожидать, что она распространяется в направлении скорости т частицы. О природе этой волны ничего определенного де-Бройлем не было высказано. Не будем и мы пока выяснять их природу, хотя сразу же подчеркнем, что эти волны не электромагнитные. Они имеют, как мы увидим далее, специфическую природу, для которой нет аналога в классической физике.
Итак, де-Броиль высказал гипотезу, что соотношение (1.12), относящееся к фотонам, имеет универсальный характер. Т. е. для всех частиц длина волны х Р Р (3.1) Эта формула получила название формулы де-Бройля, а Х вЂ” дебройлевснсй длины волны частицы с импульсом р. Де-Бройль также предположил, что пучок частиц, падающих на двойную щель, должен за ними интерферировать. Вторым, независимым от формулы (3.1)„соотношением является связь между энергией Е частицы и частотой а дебройлевской волны: 3 Вовиовые свойства частиц В принципе энергия Е определена всегда с точностью до прибавления произвольной постоянной (в отличие от ЛЕ), следовательно частота и является принципиально ненаблюдаемой величиной (в отличие от дебройлевской длины волны). С частотой со и волновым числом )с связаны две скорости— фазовая оэ и групповая и: ы дсо оз= — и и=— )) ой (З.З) Умножив числитель и знаменатель обоих выражений на В, получим: Ьсо =Е и ЬЙ = 2ид/) =р, (3.4) где второе равенство написано на основании (3.1).
Ограничимся рассмотрением только нерелятивистского случая. Полагая Е = рз/2т (кинетическая энергия), перепишем соотношения (3.3) с помощью (3.4) в иной форме: ос= —, и= — — = — =о. р др(2т! т (З.б) Отсюда видно, что групповая скорость равна скорости частицы, т. е. является принципиально наблюдаемой величиной, в отличие от оз — из-за неоднозначности Е.
Из первой формулы (3.5) следует, что фазовая скорость дебройлевских волн 42тЕ 2т 2т (3.6) т. е. зависит от частоты м, а значит дебройлевские волны обладают дисперсией даже в вакууме. Далее будет показано, что в соответствии с современной физической интерпретацией фазовая скорость дебройлевских воли имеет чисто символическое значение, поскольку эта интерпретация относит их к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Впрочем, сказанное видно и сразу, так как Е в (3.6) определена, как уже говорилось, с точностью до прибавления произвольной постоянной. 62 Глава 3 Х= =7 10 см.
2яб -зэ /2л»л (3.7) Т. е. даже у такого небольшого макроскопического объекта как пылинка дебройлевская длина волны оказывается неизмеримо меньше размеров самого объекта. В таких условиях никакие волновые свойства, конечно, проявить себя не могут. Установление того факта, что согласно (3.5) групповая скорость дебройлевских волн равна скорости частицы, сыграло в свое время важную роль в развитии принципиальных основ квантовой физики, и в первую очередь в физической интерпретации дебройлевских волн. Сначала была сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты весьма малой протяженности и таким образом решить парадокс двойственности свойств частиц.
Однако подобная интерпретация оказалась ошибочной, так как все составляющие пакет гармонические волны распространяются с разными фазовыми скоростями. При наличии большой дисперсии, свойственной дебройлевским волнам даже в вакууме„волновой пакет «расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона пакет расплывается практически мгновенно, в то время как частица является стабильным образованием. Таким образом, представление частицы в виде волнового пакета оказалось несостоятельным.
Проблема двойственности свойств частиц требовала иного подхода к своему решению. Вернемся к гипотезе де-Бройля. Выясним, в каких явлениях могут проявиться волновые свойства частиц, если они, эти свойства, действительно существуют. Мы знаем, что независимо от физической природы волн — это интерференция и дифракция.
Непосредственно наблюдаемой величиной в них является длина волны. Во всех случаях дебройлевская длина волны определяется формулой (3.1). Проведем с помощью нее некоторые оценки. Прежде всего убедимся, что гипотеза де-Бройля не противоречит понятиям макроскопической физики. Возьмем в качестве макроскопического объекта, например, пылинку, считая, что ее масса т = 1 мг и скорость э = 1 мкм/с. Соответствующая ей дебройлевская длина волны Воаиовыо свойства частиц Иначе обстоит дело, например, у электрона с кинетической энергией К и импульсом р = /2лтК. Его дебройлевская длина волны 2иб 1,22 Х= = — им, ~Г2тК ~/К (3.8) где К в эВ. При К = 150 эВ дебройлевская длина волны электрона равна согласно (3.8) Х= 0,1 нм или = 1 А. Такой же порядок величины имеет постоянная кристаллической решетки.
Поэтому, аналогично тому„как в случае рентгеновских лучей, кристаллическая структура может быть подходящей решеткой для получения дифракции дебройлевских волн электронов. Однако гипотеза де-Бройля представлялась настолько нереальной, что довольно долго не подвергалась экспериментальной проверке. 3 3.2. Экспериментальные подтверждения гипотезы де-Бройля Опыты Дэвиссона и Джермера (1927). Идея их опытов заключалась в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
