И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.12 з)п О, где Я = 2я/Х. Зта величина характеризует и неопределенность Ьр, фотона. Но при рассеянии фотона на микрочастице последняя испытывает отдачу, в результате чего ее импульс получит такую же неопределенность ЛР„, как и фотон: Ьрз» ЬЬ вш О.
Имея, кроме того, в виду, что неопределенность координаты х микрочастицы Лх» Ы = Х/э(п О, получим в результате: Ь 2лЬ Лх. ЛР, » — — зш 0 = 2яЬ, зпЕ Ь в чем и следовало убедиться. 3.9. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с очень высокими ьстенкамиь. Ширина ямы Ь Оценить с помощью (3.20) силу давления электрона на стенки ямы при минимально возможной его энергии. Р е ш е н и е. В данном случае Ьх» й Кроме того, при минимальной энергии можно считать, что Лр» Р. Тогда согласно (3.20) р» Я/1 и полная энергия электрона в яме (учитывая, что потенциальная энергия здесь равна нулю) определяется как Рз Ьз Е»н» вЂ” » —. 2ю 2ю(з Теперь представим себе, что одну иа стенок ямы отодвинули на малое расстояние Ж, Это овначает, что сила Р, с которой электрон действует на эту стенку, совершила работу Рб( за счет убыли энергии 22 ЕИ = -ЙЕ = (Ь~/впз)Ж.
Отсюда искомая сила Р = Ьз/жР. Глава 3 3.10. Частица массы ж движется в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия (У = и хе/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью (3.20) минимально возможную энергию Е частицы в этом поле. Р е ш е н и е. При Е = мин можно считать, что р е Лр и х м Лх. Тогда в соответствии с (3.20) р = Ь/Лх ~ Ь/х, и мы можем записать выражение для полной энергии Е как 2 2 Ьз 2 г 2гл 2 2тхз 2 Из условия дЕ/с)х = 0 находим значение х„, при котором Е = мин: х,„=- Ьз/тк (2) После подстановки (2) в (1) получим Е„„„= Ьт/к/т.
Точный расчет дает величину вдвое меньшую. Уравнение Шредингера. Квантование 5 4.1. Состояние частицы в квантовой теории Рассмотрение вопроса о математическом формализме, адекватном парадоксальному поведению микрочастнц, мы начнем с выяснения принципов, на которых строится фундаментальная физическая теория. Проследим за содержанием этих принципов в классической и квантовой теории на простейшем примере движения нерелятивистской частицы в стационарном силовом поле. Для этого должны быть определены: 1) величины, задающие состояние частицы; 2) уравнение движения, определяющее изменение состояния частицы во времени; 3) физические величины, доступные измерению, и способ получения их значений в данном состоянии (это необходимо для сравнения выводов теории с экспериментом).
Будем предполагать,что читателю достаточно хорошо известно, как это делается в классической теории. Поэтому обратимся сразу к решению этих вопросов в квантовой теории. Для микрочастиц из-за соотношения неопределенностей классическое определение состояния частицы (координаты и импульс), вообще говоря, утрачивает смысл*. В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовой теории состояние частицы задается пои-функцией Ч'(г, г), которая является комплексной величиной и формально обладает волновыми свойствами. Понимание физического смысла пои-функции пришло после того, как выяснилось, что волновые свойства характерны для отдельных частиц.
Этот факт можно истолковать по идее Бориа (1926) так. Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется вероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее это движение, проявляется в результате регистрации достаточно большого числа частиц. Это распределение оказывается таким же, как распределение интенсивности Это относится и к понятию силн, которая по определению является функцией классического состояния.
Глава 4 Вб волны: там, где интенсивность волны больше, регистрируется и большее число частиц. В квантовой теории постановка вопроса состоит Не в точном предсказании событий, а в определении веролльносглей этих событий. По значениям вероятностей согласно определенным правилам (см. ниже) можно найти средние случайных значений физических величин, которые и доступны эксперименту. Пси-функция Ч'(г, г) и является той величиной, которая позволяет находить все вероятности.
Например, вероятность нахождения частицы в интересующем нас объеме Й)г в момент г определяется как бР =- М Рак = Ч.р'бу, (4.1) где Ч' — комплексно-сопряженная функция. Отсюда плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в единице объема, р ~глг Ч р (4.2) Эта величина является экспериментально наблюдаемой, в то время как сама пои-функция, будучи комплексной, не доступна наблюдению. Напомним, что в классике величины, характеризующие состояние частицы, являются принципиально наблюдаемыми.
Пси-функция, вообще говоря, определяется с точностью до произвольного постоянного множителя. Это не влияет на состояние частицы, которое она описывает. И тем не менее пси-функцию выбирают так, чтобы она удовлетворяла условию нормировки'. (4. 3) где интеграл берется по всему пространству или по той области, в которой Ч' отлична от нуля. Условие нормировки (4.3) означает, что во всей области, где Ч' я О, частица находится с достовер- Условие (4 3) мажет оквзвться невозможным, например, в случае, если Ч'-функция представляет собой плоскую волну де-Бройля, когдв вероятность обнвружения чзстицм однвековв во всех точках прострввстве.
Такие случви следует рвссмвтриветь квк идеввизвцию реальной свтуеции, где частица находится в боль. шой, на ограниченной области прострвжтвв, и тогда трудность устраняется. Уравнение Шредингера. Квантование постыл. Пои-функцию, удовлетворяющую условию (4.3), называют нормированной. Принцип суперпозиции. Итак, непосредственный физический смысл имеет не сама Ф-функция, а квадрат ее модуля ~Ч1г нли Ч'Ч'*.
И тем не менее в квантовой теории оперируют с Ч'-функцией, а не с экспериментально наблюдаемой величиной ~Ч1г. Это необходимо для истолкования волновых свойств микрочастиц — интерференции н днфракции. Ситуация здесь совершенно идентична той, какую мы имеем в волновой теории. В волновой теории принимается принцип суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей. Именно так вводятся в теорию явления интерференции и дифракции. Подобным же образом в квантовой теории принимается как один из основных постулатов принцип суперпозиции пси-функций.
Если у некоторой системы возможными являются состояния Ч'1 и Ч'з, то для нее существует также состояние (4.4) Ч' = е,Ч', + сгЧ'з, где с1 и сз — некоторые постоянные коэффициенты. Найдя таким образом Ч', можно далее определить и плотность вероятности Ч'Ч" пребывания системы в этом состоянии.
Подтверждением принципа суперпозиции (4.4) является согласие с опытом вытекающих из него следствий. 5 4.2. Уравнение Шредингера Поиск уравнения, управляющего изменениями состояния системы, т. е. ее Ч'-функции во времени успешно был завершен Э. Шредингером (1926). Это — основное уравнение нереллтивиетекой квантовой теории„уравнение Шредингера. Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом. Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной теории Бора и соответственно — с результатами наблюдений.
Глава 4 Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике. Уравнение Шредингера имеет следующий вид: (4.5) дг 2н» где 1 — мнимая единица (~/ — 1), »и — масса частицы, «7 — олег ратор Лапласа, У вЂ” потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция У(г) не зависит явно от времени). Обратим внимание на следующую особенность уравнения (4.5).
В то время как, согласно интерпретации Ч'-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия У рассматривается в (4.5) как функция локализованной глочечной частицы в силовом поле. Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама Ч'-функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаема. В стационарных состояниях она имеет вид Ч'(г,1) = у (г) е ' ', м = Е(Я, (4.6) где функция у(г) не зависит от времени, а выражение для частоты «» написано согласно (3.2).
При таком виде Ч'-функции плотность вероятности Р остается постоянной. В самом деле, Р =Ч Р' = у(г) у'(г), (4.7) т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не зависит. Для нахождения функции»у(г) в стационарных состояниях подставим выражение (4.6) в уравнение (4.5), и мы получим 89 Уравиеиие Шредингера. Квеитовеиие Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
