И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Число состояний в интервале (длп блз) вблизи значений и, и лз равно ог( = йл, длз Имея в виду уравнение Ф~ + лз — — йз, где й, = л~я/а, йз — — пзх/Ь, отлов 3 з жим на осях координат величины йэ и йз. Построим затем в этом «А-пространстве» окружность радиуса й с центром в начале координат. Точки, попадающие на эту окружность, соответствуют одному и тому же значению й, а значит одной и той же энергии Е. Нас будет интересовать только 1/4 окружности„поскольку следует рассматривать лишь положительные значения й~ и лз.
отрицательные значения не дают новых состояний, как видно из выражения для у-функции. Число точек (состояний), заключенных между двумя окружностями с радиусами й и л + ол в первой четверти (рис. 4. 14) равно ЙХ = ) йлтйп~ = ) — бй~бйз = — — 2хлол.
л 4 хз 1ОЭ Уравнение Шредингера. Квантование Имея в виду, что Ьз = 2тЕ/Ьз, полу- чим 2Ь йй = 2т йЕ/Ьз, и в результате подстановки в (*) найдем: 1 аэ йЕ ар з йЕ' 4 хз Ь" 2хдз Удивительно, что плотность состояний йФ/йЕ в такой яме от Е не зависит. Заметим, что в прямоугольной (не квадратной) яме расчет показыва- 0 ет: йЮ/йЕ ю -/Е. Рнс. 4.14 Р е ш е н и е. Сначала найдем вторую производную у (х) по х: ц~' = -2АДх ехр(-))хз), у" = -2А(ехр( — ))хз) + х ехр( — Дхз)(-2Дх)) = -2АО(1 — 2Охз) ехр(-Дхз). Теперь подставим у" и у в уравнение Шредингера: 2т у" + — (Š— У) ч~ = О.
Ь После сокращения на экспоненту получим: -2(3 + 4))зхз + — (Š— У) = О. 2т Ьз Полагая в этом равенстве х = 0 и соответственно У(0) = О, имеем 2тЕ -2() + —.= О, Ьз (2) откуда Е = ()Ь~/т. Учитывая (2), находим из (1), что 2О~Ь~ У(х) = хз.
4.9. Частица массы т находится в одномерном потенциальном поле У(х) в стационарном состоянии у = А ехр(-()хз), где А и )) — постоянные ()) > О). Найти энергию Е частицы и вид функции У(х), если У(0) = О. 110 Глава 4 4.10. Прохождение частицы через порог. Частица массы т движется слева направо в потенциальном поле (рис. 4.1б), которое в точке х = 0 испытывает скачок Уэ. Прн х < 0 энергия частицы равна Е.
Найти коэффициент отражения В„если Е я Уз. Р е ш е н и е. Здесь следует повторить рассуждения, приведенные в б 4. б для случая 1. Отличие заключается лишь в том, что в выражении для лз (4.28) должно, как видно из рис. 4.15, стоять не Š— Уе„а Е э ()э. Рнс. 4.15 Таким образом, искомый коэффициент с учетом того, что Д, ~ зз, можно записать так: 1 э Вз йз йг йг (здесь мы пренебрегли величиной в~/Йэ в квадрате). Отсюда следует (чисто квантовый эффект), что чем меньше Е, тем ближе В к единице.
С классической точки зрения это в принципе невозможно. Глявя 5 Основы квантовой теории $5.1. Операторы физических величин Средние значения физических величин. Понятие среднего значения различных физических величин является весьма важным в квантовой теории. Рассмотрим этот вопрос на конкретном примере — определим среднее значение координаты х частицы, если известна ее у-функция, которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты х.
Мы уже знаем, что ~у(х)~з или у(х)у*(х) является плотностью вероятности найти частицу в окрестности координаты х. Тогда вероятность местонахождения частицы в интервале (х, х+йх) есть ЙР = элу*бх, и среднее значение х определяется как <х> = ~хцоу*бх. (5.
1) где интегрирование проводится по интересующей нас области. При этом предполагается, что у-функция является нормиро- ванной в (5.1). т. е. удовлетворяет условию (4.3): /Чу'Ь=1. В предыдущей главе было показано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием у-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля.
Кроме того, как выяснилось, у-функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы„таким как кинетическая энергия, момент импульса н др. Таким образом, у-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все ее динамические характеристики. Надо только знать рецепты, с помощью которых можно «извлечь» интересующую нас информацию из у-функции. К решению этой задачи мы и приступаем. Глава З 112 И вообще, среднее значение любой функции координат /(х) определяется формулой, аналогичной (5.1)„т. е. </(х)> = ~/(х)~лр*дх. (5.2) Значительно сложнее задача о нахождении среднего значения проекции импульса р„частицы, состояние которой задается определенной пои-Функцией >у(х). Весьма громоздкий расчет (выходящий за рамки данной книги) приводит к следующему результату: <р >= ) <у ~ — Й вЂ” дх.
*( . д~~~ дх > (5.3) Для единообразия перепишем выражения (5.1) — (5.3) в такой форме: <х> = )<у*х<у<)х </(х)> = ~ у*Нх) уб' (5.4) Запись средних значений этих величин именно в такой форме поможет нам в следующем параграфе сделать важный шаг в развитии адекватного математического формализма, выражаю- щего специфические свойства микрочастиц.
Некоторые свойства операторов. Операторы можно складывать: А + В. Действие такого суммарного оператора на любую функцию /(х) дает результат А/(х) + В/(х). Под цронзведением операторов АВ понимают оператор, результат действия которого на любую Функцию /(х) равен А(В/(х)). Т. е. функция Дх) сначала подвергается действию оператора В, а затем полученный результат — действию оператора А. Операторы.
Опералгоро>я называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на х или на какую-либо функцию /(х), дифференцирование по х, т. е. д/дх„дз/дхз и т. д. Операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например О, и его действие на некоторую функцию /(х) записывают как Щх). Основы квантовой теории х — у=х —, д ) д д) — х г= — (хУ)=1+х —. дх ~ ох дх Следовательно, д д х — в — х. дх дх Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел.
Отличие лишь в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок операторов-сомножителей: это зависит от того, коммутнруют они или нет. Оператор А называют линейным, если для любых двух функций г, и гг и любых постоянных аг и аг выполняется соотношение А (агг г + аггг) = а,А 6г + агА уг Именно с линейностью операторов связан принцип суперпозиции со- стояний. й 5.2. Основные постулаты квантовой теории Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины ге находится по формуле (5.5) где Ц вЂ” оператор физической величины Я. Сопоставив (5.5) с (5.4),приходим к выводу, что операторами величин х и р, являются д х=х, р, = — )й —.
ах' Аналогично для операторов у, х, р„,р,. Операторы х и р, являются основными в квантовой теории. Следует иметь в виду, что не всегда АВ = ВА. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы А и В коммуагируюгп друг с другом (номмупгируюи(ие операторы). В противном случае операторы некоммутирующие.
Пример некоммутирующих операторов — это х и д/дх. В самом деле, 114 Глава З Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково: формуль< классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин. Так, например, связь между квадратом импульса и квадратами его проекций в классической механике дается формулой Р =Рх+Ру+Рд' Поэтому оператор квадрата импульса Р =Рх+Рз+Рг = 1" — + — >Л вЂ” + дх) ~ ду) ( дг) В результате получим д д д ( г г г) Р --й — + — + — --51', (д' ду' де) (5.
7) где оператор Ч вЂ” это лапласиан, т. е. выражение в круглых г скобках. Аналогично находим оператор кинетической энергии: йг ( д' д' д' 1 йг К= — Р =- ' —,+,+ —,-'- — рг 2т 2т ~ дхг дуг дгг ~ 2т (5.8) и оператор полной энергии частицы — гамильтониан (его обо- значают Н): Г (5.9) Нрнмэр Найдем среднее значение кинетической акергии <К> частицы з состоянии Чах) = е, Й = р/а. Функция у(х) нормирован ,>2( на з интервале — 1 ч х < й вне этого интервала Ч~(х) = О. Зная выражения операторов Р, К и Н, можно найти средние значения <Рг>, <К> и <Е> по формуле (5.5)„если известна у-функция частицы.
Осколы квзвтовоа теорав 115 Согласно (5.8) х~. /~к,а*. — ' Ь-"1 —" — '."*)о = 21, ~ 2т дхг 1 аг бгйг г = — ) — ьгях = — =— 2),2т 2т 2т квк и должно быть. Но такой простой результат получается не всегда. Здесь зто связано с тем, что в простой дебройлевской волне импульс н кинетическая энергия имеют вполне определенные значення. Средние значения данных величин совпадают с зтнмн единственными нх значениями. Найдем, наконец, оператор момента импульса. Согласно классической механике 1 ) )г х у х Рх РГ Рг (5.10) М=гхр= В соответствии с общим правилом оператор проекции момента импульса, например, на ось У имеет вид: М,= хр„— ур„= х -й — — у -15 — ~=-1Ь х — — у — . (5.11) Зу,) ~ а,) ~ бу З)' (5.
12) Заметим, что вид этого оператора похож на вид оператора р„. Вернемся к оператору полной энергии (5.9). Найдем с помощью этого оператора связь между средними значениями полной, кинетической и потенциальной энергий: (К) = ~у*(К+О)ч ау= ~ у'Крат + ~у*брат. В дальнейшем нам придется использовать этот оператор, но не в декартовой, а в сферической системе координат (г, О, у). В этой системе оператор М„как показано в задаче 5.8, имеет вид Освоэы квантовой теории где 4 — оператор физической величины (е.
Убедимся, что это уравнение правильно решает поставленную задачу. Для этого найдем среднее значение Я в состоянии, которое описывается у-функцией, удовлетворяющей уравнению (5.16): (Я) = ~Р ФР<П'= ~Р ОЧИ~ = ()~Ч э<П'= О. Прн нахождении (се) мы заменили в подынтегральном выражении Я~у на Яу в соответствии с (5.16) и учли условие нормировки у-функции. Полученный результат очевиден, поскольку других значений (Е в этом состоянии нет.
Таким образом, Р-функции, являющиеся решением уравнения (5. 16)„действительно, описывают собственные состояния. Уравнения (5.16), вообще говоря, являются уравнениями в частных производных. Согласно математике, для однозначного решения таких уравнений нужны дополнительные ограничения, например, граничные и начальные условия. Условия же, которые накладывает квантовая теория на решения уравнения (5.16), имеют несколько иной характер: физический смысл могут иметь лишь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия, как уже говорилось, называют естественными или стандартньсми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
