И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 20
Текст из файла (страница 20)
а)хир,; б)хир„; в)р,иру. Р е ш е н и е. а) Вопрос сводится к установлению разности: дуу д ), ( ду дуЗ хр,уу — р„хуу = — Рл х — — — (хуу) = — рй х — — х — — уу = (Ауу. дх дх ) ( дх дх Следовательно, зти операторы взаимно не коммутируют. ( ду ду') б) хр„уу — р„хуу зз х — — х — = О„ ду ду) т. е.
операторы коммутативны. ( д дЧ, д дю) суу д'уу в) Р Ру'М Рур '4 Уз ~ ! д = О. ( дх ду ду дх) дхоу дудх Операторы коммутативны. 5.3. Собственные значения и собственные функции. Найти собствен- д ное значение оператора А = —, принадлежащее собственной дхз функции уу = С ып2х, С вЂ” постоянная. Р е ш е н и е. Согласно (5.16) 2 — — уу = Ар. дхз Дважды продифференцировав функцию уу по х, получим д — — (2 сов 2 х) = 4 еш2х. дх (2) Из сопоставления (2) с (1) находим А 4. 5.2.
Коммутативность операторов. Проверить, коммутнруют ли операторы: Главе б 126 5.4. Найти собственные функции у и собственные значения оператора — 1 —, если ~р(х) = у(х + а), а — постоянная. дх Р е ш е н и е. На основании (5.16) запишем . д Ч' = 1Ч' ах откуда — = (Гаях. г„ Ч (2) Проинтегрировав это уравнение, получим )пЧ~ = 11х + С, где С вЂ” произвольная постоянная. Потенцируя (3), получим Ч~ = Се"" По условию (Ч~ — периодическая) следует, что е"' = еп'*'', откуда еа" = 1, 1а = 2ял, л = О, й1, а2, ... В результате (3) ~у=Сев, 1= —, «=О„х1, +2, а Постоянная С остается неопределенной. а) координаты х; б) проекции импульса р,. Р е ш е н н е. а) В соответствии с формулой (5.1) (х) = ) хЧлу'йх = АА ) х ехр(-2х~/а )бх. Поскольку подынтегральная функция нечетная, то интеграл ра- вен нулю, значит и (х) = О.
5.5. Средние значения. В некоторый момент частица находится в состоянии, описываемом у-функцией, координатная часть которой ц~(х) = Аехр(Их — хз/аз), где А и а — неизвестные постоянные. Найти средние значения: Основы квантовой теории 127 б) Согласно (5.3) сначала найдем производную 3<У/дх: — = ц>(х) ()й — 2х/а ). ац 3 рх После подстановки этого выражения в (5.3) получим (р,) = -ЙАА' )(1<< — 2х/а ) ехр(-2хз/а )йх. Из условия нормировки следует, что (2) Кроме того, интеграл (1) представляет собой разность двух интегралов. Второй нх них равен нулю, так как подынтегральная функция его является нечетной.
Остается первый интеграл: <р„> =-йлАА ~ехр( — 2хз<аз)йх. Учитывая (2), получим в результате <рт> = 55. 5.6. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в состоянии, описываемом нормированной пои-функцией 1 е"'" <у(г) = — — -, ~/2ла где г — расстояние от центра поля, а — постоянная. Найти (г). Р е ш е н и е. В данном случае в формуле (5.1) под йх надо понимать элемент объема йУ. Б качестве такового для упрощения расчета наиболее целесообразно взять сферический слой с радиусами г и г+ йг, Для него йг' = 4лгзйг и -зй <г> = )гц< 4лгзйг = )' 4лгзйг = — )е=й'гйг. 2лаг со Введем новую переменную 2г<а = у. Ч'огда предыдущее выражение примет вид <г> = — )е "уйу.
2о Глава 5 Взяв интеграл по частям, находим, что он равен единице. Таким образом <г> = а,<2. 5.7. Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (О < х ( (), если частица находится в состоянии <р(х) = Ах(1 — х).
Р е ш е н и е. Прежде всего найдем нормировочный коэффициент А: ) <р~<)х = Аз)х~(( — х) <)х = А (~<30. с Из условия нормировки полученный результат должен быть ра- вен единице. Отсюда Аз = 30<'(з. Средняя кинетическая энергия согласно (5.5) определяется как <К> = ~ у(КЧ>)<)х, с где выражение в круглых скобках можно представить с помощью (5.8) в виде дг дз Кж = — — = — — ( — 2А). 2т <)хз 2а> После подстановки в выражение для (К) и интегрирования полу- чим: <К> = ба /т)~. 5.8. Оператор проекции момента М,. Показать, что в сферической сис стеме координат оператор М, = — >й —.
Использовать формулы, с<р связывающие декартовы и сферические координаты, а также выражение для оператора М, в декартовой системе координат. Р е ш е н и е. Запишем с помощью рис. 5.6 связь между декарто- вмми и сферическими координатами: х = г вшбсозср, р = г в)п О з)п<р, з = г сов О. Основы кззитовов теории 129 С помощью этих формул выразим ча- стную производную по и через произ- водные по х, у, з. д дхд дуд дгд + (2) до до дх дср ду дср дз Вычислив частные производные дх/дср, ду, до и де~Ар формул (1), подставим результаты в (2) и получим гз! Рве. 5.6 с .. д с — = — г еш В еш о — + г з!и В соз о — + О. дэ дх ду (3) Из сопоставления с (1) видим, что (3) можно переписать так; д д д — =-у — +х— др дх ду (4) Правая часть этого равенства полностью совпадает с выражением в скобках формулы (5,11).
Дальнейшее очевидно. Р е ш е и и е. Искомое число линий должно быть равно числу вращательных уровней между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями (о = 0 и о = 1), интервал между которыми согласно (4.23) равен Ьо. Задача, таким образом, сводится к определению максимального вращательного квантового числа г уровня с энергией Ьеь Учитывая (5.33), запишем бг аи = — г(г+ 1), 21 откуда ~х + г — 2ег11а = О. Решение этого уравнения дает г„,„;. -~'/1+~( ~Ю г„ 2 ь 2 в 1? л = ЗЗ. 5.9. Вращательный спектр молекулы. Оценить, сколько линий содержит чисто вращательный спектр молекулы СО, момент инерции которой 1 = 1,44 10 зэ г смз и собственная частота колебаний а=4,1 10Рзсз? Глава б Следовательно, чисто вращательный спектр данной молекулы со- держит около 30 линий.
5.10. Колебательно-вращательная полоса. В середине колебательно-вращательной полосы спектра испускания молекул НС1, где отсутствует внулевая* линия, запрещенная правилом отбора, интервал между соседними линиями равен Лио. Найти расстояние между ядрами молекулы НС1. Р е ш е н и е. Сначала найдем интервал ЛЕ между соседними вращательными энергетическими уровнями. Согласно (5.34), 32 ЛЕ = — (г+ 1). Е Соответствующая ему частота перехода ы, = ЛЕ/Ь = (г + 1) ЯЕ.
Прн переходе к соседней линии г меняется на единицу, согласно правилу отбора (5.35), и интервал между соседними линиями Ла =(Лг) ИЕ=Ь/Е, где Лг = 1. Остается учесть, что в середине колебательно-вращательной полосы этот интервал будет вдвое больше, а также выражение (5.37) для момента инерции молекулы. В результате получим Лме = 2Лю = 26/1к(з, откуда с( = .„/2 Ь/рЛа~, где р — приведенная масса молекулы, р = т~иззЕ(ж~ + тз).
Квантование атомов е 5 6.1. Квантование атома водорода Рассмотрим простейшую систему, состоящую из электрона е, который движется в кулоновском поле ядра с зарядом Яе. Такую систему называют еодородоподобноб. При Я = 1 это атом водорода, при Я = 2 — однократно ионизированный атом гелия — ион Не+, при Я = 3 — двукратно ионизированный атом лития — ион 11~+ и т. д. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна Яе У(г) = — —, г (6.1) где г — расстояние между электроном и ядром, которое в нервом приближении будем считать точечным (здесь и далее).
Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид 2ж( Яе Ч у ~- - — Е + — у = О. (6.2) — — — — ~з1пΠ— ~ + — . (6.3) д 2д 1 д(. д) 1 д дгз г дг тз в1п9 сО~, д91 гз в)пзО д~Р Мы не будем воспроизводить здесь этапы решения уравнения (6.2), поскольку оно слишком громоздко (об этом красноречиво свидетельствует уже сам вид оператора Лапласа). Остановимся лишь на сути процесса решения и на анализе окончательных результатов. Поле (6.1)„в котором движется электрон, является центрально-симметричным, т. е. зависит только от г.
Поэтому решение уравнения (6.2) наиболее целесообразно проводить в сферической системе координат г, О, у, где оператор Лапласа Ч~ имеет следующий вид: Глава 6 Р ешение уравнения (6.2) проводят методом разделения переменных с учетом естественных требований, налагаемых на ~с-функцию: она должна быть однозначной, конечной, непрерывной н гладкой. В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно удовлетворить при любых положительных значениях энергии Е„но в области отрицательных значений Š— только при дискретных значениях Е, а именно, если те Я Еч= — ' п=1,2, 3, ... (6.4) Этот случай (Е < О) для нас представляет особый интерес, поскольку он соответствует связанным состояниям электрона (электрону в атоме).
Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера приводит в случае Е < 0 к формуле (6.4) для энергетических уровней — без использования каких-либо дополнительных постулатов (в отличие от первоначальной теории Бора). Кроме того, совпадение с формулой (2.25) означает, что мы пришли к той же самой системе энергетических уровней (см.
рнс. 2.7). Это же относится и к частотам излучения прн переходах между уровнями. Поэтому повторять нет необходимости. Различие в интерпретации относится только к состояниям электрона: в теории Бора это движение по стационарным орбитам, здесь же орбиты теряют физический смысл, их место занимают у-функции. Собственные функции уравнения (6.2), т. е. у-функции, содержат, как выяснилось, три целочисленных параметра — и, 1, т: у = уы (г,О,о), (6.5) где и называют главным квантовым числом (зто то же п, что и в выражении для Е„). Параметры же 1 н т — это орбитальное и магнитное квантовые числа, определяющие по формулам (5.25) и (5.26) модуль момента импульса М и его проекцию М,.
В процессе решения выясняется, что решения, удовлетворяющие естественным условиям, получаются лишь при значениях 1, не превышающих и — 1. Таким образом, при данном и квантовое число ( может принимать п значений: (6.6) (=0,1,2, ...,и — 1. Кэаатоваияо атомов 135 В свою очередь, при данном 1 квантовое число т согласно (5.26) может принимать 2( + 1 различных значений: т=0,11,12,...,15 (6.7) Энергия Е„электрона (6.4) зависит только от главного квантового числа л. Отсюда следует, что каждому собственному значению Е„(кроме случая л = 1) соответствует несколько собственных функций уыи, отличающихся значениями квантовых чисел ( н т.
Это означает, что электрон может иметь одно н то же значение энергии„находясь в нескольких различных состояниях. Например, энергией Ег (л = 2) обладают четыре состоя- ннЯ: Ч~гоо Ч~гг-г Ч'гго Ч~ггьы Кратность вырождения. Состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, а число различных состояний с определенным значением энергии ń— кратностью вырождения данного энергетического уровня. Кратность вырождения и-го уровня водородоподобной системы можно определить, учитывая число возможных значений ( н т.
Каждому нэ л значений квантового числа 1 соответствует 2) + 1 значений т. Поэтому полное число М различных состояний для данного л равно М = , '(2( + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2л — 1) = лг. (6.3) Следовательно, кратность вырождения л-го энергетического уровня водородоподобных систем равна лг. В действительности, как будет показано в дальнейшем (3 6.3), это число надо удвоить нз-за наличия собственного момента (спнна) у электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
