И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Таким образом, кратность вырождения л-го энергетического уровня М = 2лг. (6. 9) Символы состояний. Различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального квантового числа й Квантовое число ) О 1 2 3 4 5 (6.10) Символ состояния э р И г' я Ь Глава 6 Двз Принято говорить о з-состояниях (или з-электронах), р-состояниях (или р-электронах) и т. д. Значение главного квантового числа л указывают перед символом состояния с данным д.
Например, электрон, имеющий главное квантовое число л = 3 и д = 2, обозначают символом Зд и т. д. Выпишем последовательно несколько состояний электрона: 1з; 2з, 2р; Зз, Зр„Зд; (6.11) Собственные функции уравнения (6.2) представляют собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от г, а другая — только от углов О и <р: уа~ (г,О,др) = Яд(г) У~ (9,<р), (6.12) где первый сомножитель зависит от квантовых чисел л и д, второй же — от 1 и лд. Функция У~ (О, др) является собственной функцией оператора квадрата момента импульса М . Для з-состояний (д = 0) эта функция является константой, так что у-функция вида др„эз зависит только от г.
Вообще же (6.13) У~ (9 <р) О( 39), едл1в В таблицах (6.1) и (6.2) приведен в качестве примера вид наиболее простых функций Вы(г) и О(„((9) с точностью до нормировочных множителей. Таблица 6.2 Таблица 6.1 (2-р)е-Р)2 ре РД2 Здесь р = г/гд, гд — боровский радиус (2.24). В соответствии с формулами (6.12) и (6.13) и этими таблицами представим, как выглядит, например, функция дрздд. Ч'здд =Агс" "'з)пО е'", где А — нормировочный коэффициент. Кваитоваиие атомов Расвределение плотности вероятности. В квантовой теории нельзя говорить о траекториях электрона в атоме.
Имеет смысл лишь состояние (у-функция) и вероятность местонахождения электрона в том или ивом месте в поле ядра. Для наглядности вводят представление об электронном облаке, плотность распределения которого в каждой точке пропорциональна плотности вероятности ЙР/Й)г местонахождения электрона в этой точке. Плотность вероятности местонахождения электрона дается квадратом модуля волновой функции Цг или уу*. Ограничимся для простоты рассмотрением основного состояния электрона 1з атома водорода, которое является сферически-симметричным, т. е. его у-функция зависит только от г: (6.14) е,~ Е-от где а = 1/гг, гг — боровский радиус. Вероятность нахождения электрона в объеме Й)г, как мы знаем, равна Цгй)г. Возьмем в качестве элементарного объема ЙИ сферический слой толщиной Йг и радиусом г: Й)г = 4хггйг. Тогда вероятность ЙР нахождения 1з-электрона в этом слое ЙР = АггцРЙг (6.15) где А — нормировочный коэффициент.
Отсюда плотность вероятности ЙР/Йг, т. е. вероятность местонахождения электрона в сферическом слое единичной толщины вблизи радиуса г есть ЙР/Йг =Агге г ' ое гге г '. (6.16) Эту плотность вероятности ве следует смешивать с плотностью вероятности ЙР/Й)г, отнесенной к единице объема вблизи точки с радиусом-вектором г и равной Цг. Видно, что (6.16) обращается в нуль при г — + 0 и при г -+ ео.
Найдем значение г, при котором (6.16) достигает максимума. Для этого продифференцируем (6.16) по г и приравняем нулю полученное выражение (после сокращения на экспоненту). В результате получим наиболее вероятное расстояние электрона от ядра: г = 1/а = гг. (6.17) Гаааа З Мы видим, что г в точности совпадает с радиусом первой боровской орбиты электрона в атоме водорода (2.24). На рис.
6.1 показаны графики зависимостей у(г), ЧР(с) и ЙР/йс с с "йа»ч сз~у2. Следует обратить внимание на то, что пространственное распределение в электронном облаке атома можно характеризовать ..:,'..рс,.'~";-".':-~~-.- .-",",'.," либо квадратом модуля пси-функции ~у(г)), либо величиной гз)у(г))з. Первое выражение определяет вероятность местонахождения электрона е единице объела, второе — в сФерическом слое единичной толщины.
Их графики существенно отличаются друг от друга, как видно из рисунка. Заметим, что ум(с) не является гладкой в точке г = О. Это есть следствие того, что потенциальная энергия электрона при г — + 0 обращается в бесконечность (в предположении, что ядро является точечным). Учет конечных размеров ядра устраняет этот дефект у-функции. Состояние движения электрона в атоме не всегда имеет даже какой-то приближенный аналог. Например, во всех з-состояниях орбитальный момент электрона равен нулю (1 = 0). С классической точки зрения это соответствует движению электрона вдоль радиуса, т.
е. электрон при своем движении должен был бы пересекать область, занятую ядром. Это в классике невозможно. В квантовой же теории состояние с нулевым орбитальным моментом существует — зто з-состояния электрона, в которых распределение »плотности» электронного облака сферически-симметрично. Итак, в основном 1з состоянии угловой момент электрона, в отличие от теории Бора, Равен нулю. В заключение несколько слов о распределении электронного облака в других состояниях (р, д, ...). Здесь оно уже не сферически-симметрично и в сильной степени зависит от угла 6. Вместе с тем; выяснилось, что при усреднении по углу 0 остается зависимость ч-функции только от г, и максимумы распределения в состояниях с 1 = и — 1 ( т. е.
наиболее вероятные расстояния электрона от ядра) приходятся на соответствующие боровские 1ЗВ Квввтовввво атомов орбиты. Это показано для трех состояний на рис. 6.2, где на оси абсцисс длинными вертикальными отрезками отмечены радиусы соответствующих орбит в боровской теории атома водорода.
Аналогия с теорией Бора на атом скромном (но любопытном) факте и исчерпывается. 0 2 4 6 8 10 12 г/г, Рвс. 6.2 5 6.2. Уровни и спектры щелочных металлов Спектры щелочных металлов. Спектры испускания атомов щелочных металлов, как и спектр атома водорода, состоят из множества спектральных линий. Кропотливая систематика этих спектральных линий позволила сгруппировать их в серии, каждая из которых связана с переходом возбужденного атома на какой-то определенный уровень. Для атомов лития это показано на рис. 6.3. Схема уровней других щелочных металлов имеет аналогичную структуру. Анализ полученных результатов позволил сопоставить их с весьма характерной структурой электронной оболочки атомов щелочных металлов.
Если атом щелочного металла имеет всего Я электронов, то можно считать, что Я вЂ” 1 электронов вместе с ядром образуют сравнительно прочный остов, в электрическом поле которого движется внешний (валентный) электрон, довольно слабо связанный с остовом атома. В некотором смысле атомы щелочных металлов являются водородоподобными, однако не полностью.
Дело в том, что внешний электрон несколько деформирует электронный остов и тем самым искажает поле, в котором движется. В первом приближении поле остова можно рассматривать как суперпозицию поля точечного заряда+е, и поля точечного диполя, распо- Глава 6 О о 8 эВ Я я -5,37 Рве. 6.3 Каавтавааиа атомов ложенных в центре остова.
При этом ось диполя направлена все время к внешнему электрону. Поэтому движение последнего происходит так, как если бы поле остова, несмотря на искажение, сохранялось сферически-симметричным. Это позволяет представить потенциальную энергию внешнего электрона в поле такого остова как е е У(г) =- — — С вЂ”, г Г» (6.18) где С вЂ” некоторая постоянная. Решение уравнения Шредингера для электрона с потенциальной энергией (6.18) приводит к тому, что теперь дозволенные значения энергии Е в области Е < 0 (для связанных состояний внешнего электрона) будут зависеть не только от главного квантового числа и (как в случае атома водорода), но и от орбитального квантового числа й йВ «! (и э а,) (6.19) где а~ — ридбер»овская поправка (или квантовый дефект), зависящая от 1.
Заметим, что у лития (см. рис. 6.3) основным состоянием является 2», поскольку состояние с и = 1 уже занято двумя электронами, входящими в состав остова. Энергетическому уровню (6.19) соответствует терм, имеющий согласно (2.30) вид В та! (и+ о,) (6.20) Зависимость энергии электрона от орбитального квантового числа ( является принципиальным отличием уровней энергии атомов щелочных металлов от уровней энергии атома водорода. Эта зависимость означает, что в данном случае снимается вырождение по (. Физически зто связано с тем, что в атомах щелочных металлов внешний электрон находится в электрическом поле атомного остова.
Заряд последнего не точечный, и распределение его несколько отличается от сферически-симметричного. Электрическое поле остова уже не кулоновское (не со 1/г»). Благодаря этому и получается зависимость энергии 142 Глава 8 Е электрона не только от и, но и от!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
