Том 2 (1129331), страница 43
Текст из файла (страница 43)
— кок п-П ! папе Функции Бесселя Решение дифференциального уравнения 1, г и" + — и'+ (! — 1-) и = 0 е ~ г ) 1 1 2 6 2ч 120 О, 0,925 1,920 5,836 23,506 118,01 Функции Бесселя 289 можно записать либо в виде и = А/, (г) + В)Ч я (г), и= С,Н'," (г)+С,Н!, !(г). (2) либо в виде (3) Функция /, называется функцией Бесселя, а функция М,— функцией Неймана.
Если т не является целым числом, то можно пользоваться определением Л',(г)=- „. (созпИ,(г) — р я(г)) . ! (4) В противном случае (т. е, при т=-п, где а=О, ~1, 3-2, ...) функции /„и о' „не являются линейно независимыми и связаны соотношением l „ (г) = ( — 1)" ./„ (г). (5) Функцию й!„(г) можно определить и в зтом случае, исходя из ее асимптотнческого поведения (см. ниже).
Функцию Бесселя l, можно также определить посредством ряда (6) Н!,'!(г) = /, (г) + !У, (г), Н'," (г) = о', (г) — !Ж, (г). (7) Функции, образующие фундаментальную систему решений (2), принимают действительные значения при действительных значениях г, а их вронскиан равен 2/(пг). Вронскиан фундаментальной системы решений (3) равен — 4!У(лг). Если т не есть целое число, то функции У, и о', образуют третью фундаментальную систему решений с вронскианом, равным — 2з)ппч/(лг). Рекуррентные соотношения.
Для каждого из четырех типов функций, определенных равенствами (2) и (3), имеют место рекуррентные соотношения: 2.я и,, -)-и„„,= — и,, и,,— и,я,=2и„ г (йа) !О н !!72 который сходится на всей комплексной плоскости г с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси (точка г =-О является в общем случае точкой ветвления). Функции Н!," и Н!'! называются функциями Ханкеля соответственно первого и второго рода. Эти функции определяются соотношениями Математическое приложение 290 или ч 2ч (гче! „, ич ичч ичч-т е ич ич-т' (8б) Асилептотическре поведение. Для дальнейшего удобно ввести обозначение (9а) Если 1г~)) 1+(ч! и (агдг( < и (т.
е. для больших значений ~г) в комплексной плоскости г с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси), то можно пользоваться асимптотическими формулами Г 2 l, (г) — зу — соз ц, Г 2 )ч', (г) "зл — з)п г.; (9б) Н 7 (г) 1~ — е -лс 1 пг Г (х) =(-ч.У (гх) (10) Кч (х) 2 1 Нч ((х) (11а) или (если т не равно целому числу) К, (х) — . (е', (х) — ), (х)] (11б) принимают действительные значения, когда х действительная и положительная величина. Функция К, представляет особый ин- терес благодаря ее асимптотическому поведению при больших значениях х: К,(.)- 1à — ".—.. г 2х (!2) Большое число формул для функция Ке и К, имеется в задаче 195.
В задаче 99 было показано, что решением днфференцйального уравнения и" — гех — "и = О (1За) является функция и= $'хК, (гдх "), зь (1Зб) Функции вида г-"* Н" ,"(г) при действительных положительных г описывают соответственно расходящиеся и сходящиеся волны. Модифицированные фрикции Бесселя, Функции Функции Бесселя где Л=— л — 2 2 В некоторых дифракционных задачах оптики большую роль играет функция Эйри А((Х)= — 1г — К., ( — хн ).
° У з ° (,з (14а) Аналиуическое продолжение в область отрицательных значений х приводит к соотношению ( х) з Р х ~l'т'(з хч )+У и( — хч )1. (14б) В втой книге функция Эйри использовалась в задаче 40, там же на фиг. 28 приведен ее график. Функцию Эйри можно было бы использовать и а задаче 117, по мы предпоч.чи вернуться непосредственно к функциям Бесселя е и ! с т= штка. (16) (17) Эти функции являются решениями дифференциального уравнения и" + 1 —, и=О (18) " В литературе наши функции й и т. д.
часто обозначают через )с и т. д. и, кроме того, вводят функции ! -. гс = — й. Прйимущество такой системы обозначений состоит в том, что теперь функции Й1~ы з1(г)=-Ц'а1 (г) г имеют смысл расходящихся и сходящихся сферических волн. 10* Сферические функции Бесселя. функция Бесселя с индексом т=1+т)„где 1=-0, 1, 2, ..., играют в физике большую роль, так как они появляются при решении волнового уравнения методом разделения переменных в сферических координатах. Обычно вводят функции четырех стандартных типов "': й (г) = )/ 2 А + о (г), (15) / тг „., /пг рс 2 д1'+ч'(г) ( 1) у' 2 е "(1+мы(г)' гг'," (г) =1,(г)+сне(г), й)м (г) =1,(г) — т,(г).
292 Математическое лриложеиие н обладают очень простым асимптотическим поведением: !л '( / (их 1',(г) — 3!п(г — — ) п,(г) — соз(!г — — ), 2 2 й(((,1-(1+((е(ч 1!(м (г) 11+'е 1* (19) Для справок приведем значения наиболее часто встречающихся вронскианов: !',и,'— п 11 = 1, ((1("111(г' — й(("Ц" = — 21'.
(20) При ~г(((1+1/, имеют место приближенные формулы 21 П,+, (2!) ! 11 (г) г "1(г) (2!+ !) ! 21! ( (21) Рекуррентные сооп(ношения. Для каждого из четырех типов функций, определенных равенствами (15) — (17), справедливы соотношения 2!+! !+! п(+( ', и( — 111-1 и,+! —, и, — и,'. (22) Первое из указанных соотношений можно также использовать для определения сферических функций Бесселя при отрицательных значениях 1.
Сферические функции Бесселя являются элементарными функциями. Несколько первых функций приводятся ниже: и,= — созг, сог г п = — — 3!пг, /3 ! 3 п,= — (! —.— 1) соя г — — 3!пг '!г' ) г /3 ! . 3 ! =( — — 1 (51пг — сояг, г л(г( = (е '*, Яп) (е(г Функции Лежандра Дифференциальное уравнение (1 — г') и" — 2ги'+ и(т+!) и = О принадлежит к уравнениям гипергеометрического типа с тремя особыми точками: г=~) и г=оо.
Общее решение уравнения 1, =3!пг, Миг ! = — — созг, г й'," = ( — — — 1) е", (.(1( 3! 3 Ь =(! — — — — +1) е 1( гг г й(т ( ' 1) е-1( й =! — — — — 1)е- 13( 3 =(гг г ) Функции Лежандра 293 (1) можно записать в виде и„=А,Р,( — т, т+1, 1; )+ 2 1 3 11 +Вг "-' Р ( — +1, — + — ч+ —, 1(,2т 2 2' 2' гг)' (2) имеют простой геометрический смысл. Свойства е1плиномов Лежандра. Эти полиномы образуют ортогональную систему; 41 Р,(х) Ре (х) йх= —,би . ! 1+— -1 2 Первые пять полиномов имеют вид Р„(х) = 1, Р, (х) =х, Р,(х) = — х' — —, 3 2 2 ' 5 3 35 15 г 3 Р (х) = — х' — х, Р (х) = — х' — — х'+ —.
г =2 2 ' ' а 4 8' Все они либо четные, либо нечетные функции переменной х. Четность полиномов Лежандра определяется четностью индекса 1: Р, ( — х) = ( — 1)' Р, (х) . (б) Полииомы с 1: 2 можно получить с помощью рекуррентного соотношения (1+ 1) Р, 4, (х) + 1Р,, (х) = (21 + 1) хР, (х).
(7) Полиномы Лежандра и их производные связаны простым соотношением к ) ' е =1(Ре-1 хРе) =(1+ 1) (хР,— Ре+г), (8а) из которого, в частности, следует (21 + 1) Р, = Р~„— Р;,. (8б) где первое и второе слагаемые представляют со"ой, если отвлечься от нормировочных множителей, так называемыефункции Лежандра первого и второго родов, которые обычно обозначают соответственно через Р,(г) и (1,(г).
Если ч — целое число (ч=1; 1=0, 1, 2, ...), то функция Лежандра первого рода вырождается в полинам. Когда г=х, где х — действительное число и ~х(! или х=.соз О, полиномы Лежандра, будучи связаны со сферическими гармониками У, соотношением Математическое ирилохсение 2я4 При х= ~-1 имеем (9а) Р, (~1) =( — 1)' йн Р, (м 1) ч+ „(1+ и) ! ахо ' ) 2"а! (1 — а) ! (9б) Если ввести новую переменную х=сояд, то определение (2) полиномов Лежандра можно представить в иной форме: Р, (соя д) =,Р, ~ 1+ 1, — 1, 1; я1п ' — ) = от 2,) =~,( — 1)" (1+а) ! .
„Ь я1иеи (и!)' (1 — )! о=0 =1 —:я)п' — -1- ' я)п' —... (10) 1(1+1) . д (1 — 1)81+1)(1+2) ., б 110е 2 12!)' 2 Когда 1>) 1, а модуль ~ я1п 612~ по порядку величины равен !)1, последний ряд упрощается и мы получаем Р! (соз д) ж Уе((21+ 1) Я!и — ), (!!) е!п пч,ен ( — !)" (2и+1) , х = „~~ „„„(х). о=о Ряд (12) †частн случай разложения функции 1(х) = ~'(2п+ 1) )„Р„(х) (12) (1За) и=а с коэффициентами (13б) причем ошибка этого приближения имеет порядок 1/(е. Что же касается корней полиномов Р„то и при ббльших значениях угла д они довольно хорошо описываются приближенной формулой (11). Для случая 1=!О полинам Лежандра и соответствующая ему аппроксимирующая функция Бесселя показаны на фиг.
55 (том 1, стр. 284). О соотношениях, связанных с геометрической интерпретацией, см. раздел, посвященный сферическим гармоникам. Функции Лежандра первого рода. Когда т не является целым числом, ряд (10) уже не обрывается на конечном члене, и Р,(х) становится трансцендентной функцией с особенностями в точках х= ~1. Эту функцию можно разложить в ряд по полиномам Лежандра: Функции Лежандра 295 Так как полиномы Лежандра образуют полную ортогональную систему, то такое разложение возможно для широкого класса функций.
Приведем примеры часто используемых разложений: е"е= — ~~у' (21+1) Р/,(у) Р,(х) для (х~ < 1, ех ь«о = ~,(21+ 1)!) (у) Ре(х). (16) В физических приложениях обычно у=йг и х=соз6, так что у ~ 2 (1 — х) = 2йг з(п 2 . о Ряды (14) и (16) сходятся прн всех действительных значениях переменной у, Другой важный пример: = ~~' у" Р„(х) при (у ( < 1. 2ху+ уе (16) — = ~~',(2п+!) 1~„(г) Р„(х), «=о (1ба) где г — произвольное комплексное число, не принадлежащее отрезку действительной оси 1+1, — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
