Том 2 (1129331), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Векторы ив( должны удовлетворять трем условиям ортогональности: (ив, й) = — (ив Ю) = (ив, ив,) = О. (212. 6) Выбор нормировочного множителя перед знаком суммы в выражении (212,5) продиктован соображениями удобства. В силу условия периодичности внутри куба объемом У' = Еч значения волнового вектора й определяются равенством Е (212. 7) где п(=0, ~-1, -Е2, .... Частота волны а( связана с абсолютной величиной волнового вектора й законом дисперсии а( *йс. (212.8) Так как каждое слагаемое в сумме (212.5) состоит из двух комплексно-сопряженных по отношению друг к другу членов, то векторный потенциал А представляет собой действительную функцию переменных г и 1, как это и должно быть в классической теории Максвелла. Подставляя общее решение (212.5) в выражение для энергии (212,3), получаем сч ч -ч Г ( ч(ч(' К= — ~ ~„) 4 — —.ив,хмв„— [й' ивх) [й иль[~ Х вх вое ') ( [()в,,е((ве-и'о ()вме-((ве-чэ()) 1() е((ве-ип ()"хе-((ве-и(()((вх Если теперь перемножить выражения, стоящие в двух последних скобках, то после интегрирования по пространству у нас оста- УП.
Теория излучения н)ется только те члены с произведениями ЧЧ и Ч*Ч', в которых Й = — Й, и только те члены с произведениями ЧЧ' и Ч'Ч, в ко- торых й'=й. В результате выражение, фигурирующее в первой скобке, если еще учесть соотношения (212.б), примет вид /О, если Й'= — й, — 4 — (Ф' й)=( ала е- ( — 2 — аблл.. если Ф'=+ее, Таким образом, получаем лл м (ЧалЧа + Ча Чал). (212.9) С помощью аналогичных выкладок нетрудно показать, что выражение для импульса (212.4) приводится к виду Р = с,'л елй (Чыфал + Чал Чал) . (212.10) Теперь можно приступить к квантованию классического поля излУчениЯ, заменив классические амплитУды Чал и Чал опеРаторами Чал и Чал, которые удобно записать в виде Чал = Сабы и Чал = Сабы, Ф где Са — действительные нормировочные множители. Мы имеем а = Х и*СМЬ,лЬ„'+ Ь„"Ьы), ы Р—— ,~~ лзФС» (Ьал Ьач л + Ь~албал) .
В соответствии со статистикой Бозе подчиним операторы Ьал и Ьы перестановочным соотношениям Ф Ь Ьа — Ь;Ь =б,б и будем считать, что все другие комбинации этих операторов коммутативны. В силу указанных перестановочных соотношений собственные значения операторов Ь,лЬал, обозначаемые ниже через )ч'ал, оказываются целочисленными: )Чал = О, 1, 2, 3, (212.14) при этом собственные значения операторов ЬалЬал будут равны Мал+1 (см. задачу 31). Вслн далее положить (212.!5) е!3.
Вероятность нереяодое е изеочением одного фотона В61 то выражения для операторов энергии и импульса (212.12) при- мут вид )Р =,У, -(В„Ь„+Ь|,Ь„), нее Р = ~йй (Ь„Ь„'+ Ь„',Ь„), (212.16) а их собственные значения будут равны Я7 = ~~Ьсо (Уьь + е/ ) и Р=,~~И(Лгьх+е! ). (212,!7) Таким образом, мы можем интерпретировать величину Мех как число фотонов в состоянии с квантовыми числами Й и )ь, причем в указанном состоянии каждый фотон обладает энергией все, а его импульс направлен вдоль вектора )1 н равен по величине Ы = — Ы|с. Из (212.1) следует, что вакуум обладает энергией )р',= ~ —, ьсо (212. 18) (энергия нулевых колебаний поля). Несмотря на то что энергия вакуума бесконечна, ей не следует придавать особого физического смысла.
Фактически можно ограничиться рассмотрением разности энергий реального состояния и вакуума (212.19) А ~~>» ~еегзнсй (ь ее 1» г-гьо 1 (г~е е-е м г-ио)пью (212.20) «х Задача 213. Вероятность переходов с излучением одного фотона Электрон помещен в сферически симметричное поле ьг(г). Вычислить вероятность перехода электрона с верхнего уровня на нижний, если этот переход сопровождается излучением одного фотона. Эффекты запаздывания не учитывать. которая всегда конечна. Вклад же нулевых колебаний поля в импульс равен нулю, так как члены суммы (212.17) с )е и — я попарно сокращаются. В пезультате квантования векторный потенциал А становится оператором, порождающим и уничтожающим фотоны.
С помощью соотношений (212.5), (212.11) и (212.15) нетрудно показать, что в квантовой теории выражение для векторного потенциала имеет вид У1!. Теория излучения Решение. В классической теории Максвелла взаимодействие вещества (электрон) с излучением описывается выражением О' = — ') (А.,/) а(ах, (2!3.1) где А — векторный потенциал поля излучения, а / — плотность электрического тока частиц вещества. В теории квантованнык полей векторный потенциал, согласно результатам задачи 212, записывается в виде'> А =,) '1 — па1Ы (Ьахе'а а+Ьтхс-га г) (213 2) Отсюда с помощью формулы У= — — (ар''()ар — 7ар' ар) еа (заряд электрона равен — е) получаем /= — — 2л( ~ „~ (ип три„— мчали'„) сл сл.
(213А) здесь и„(т) и и„(т) — одночастичные волновые функции, явный вид которых можно найти путем решения уравнения (213.3); индекс и (или и') фактически означает совокупность трех квантовых чисел. Величины с, и с, являются операторами, введен- 1 ными в задаче 210, и подчиняются перестановочным соотноше- ниям 1 Ф СпСл' + Сл'Сл = Ьлл' СлСп + Си'Си = О. (213.5) Спонтанное излучение фотона происходит в процессе перехода электрона из начального состояния пг в конечное состояние пр На языке теории квантованного шредингеровского поля это означает, что электрон, находящийся в начальном состоянии по уничтожается, а вместо него рождается электрон в конечном В выражениях (213,2) и (213.3) мы опустили временные множители, фигурировавгиие в выражениях (212.20) и (210.5).
Это соответствует переходу от картины Шредингера к картине Гейаенберга. Выражение для плотности электрического тока можно написать, воспользовавшись результатами квантования шредиигеровского поля. Имеем й,а тр = ~~, с„и, (р), — у'ил+ Уи„= Елил. (213.3) л 2/д. Вероятность нереяодоо с излучением одною фоошна 263 Ь»хс. с„г / Если подставить выражения (213.2) и (213.4) в энергию взаимодействия (2!3.1), то легко убедиться, что в ней такой член действительно имеется и его можно записать в виде <) ~ Н' !1> Ь~~»с'„с„р (213. ба) где <~)Н'11> = — ) ~ й — — (е е»'е ° «» (и„уи„.— и„уи„) е(зх 1 1' Г2неа еа .
Од ' ' з е ) )// ч/'з 2т / ' ' / (213.6б) — обычный матричный элемент перехода между начальным и конечным состояниями. Вероятность интересующего нас перехода можно записать с помощью золотого правила (см. задачу 183): Р = — "р/) </(Н'(1> !ь. (213.7) В энергетической шкале плотность конечных состояний р/ полностью определяется фотонами: 'яздядИ»еда "ро = — й»с(»1», (2~)~ Деду (213.8) где Ю» — элемент телесного угла, в который вылетает испущенный фотон. Таким образом, остается лишь вычислить интеграл I = ~ е-'»' (и„уи„— и„л/и, ) с('х, и Е ь / фигурирующий в формуле (213.6б). Если длина волны излучаемого атомом света велика по сравнению с его размерами, то эффектами запаздывания можно пренебречь, так как в этом случае множитель е-'»' в подынтегральном выражении с хорошей степенью точности можно заменить единицей.
Интегрируя далее второй член по частям, получаем /= 2 ~ и„уи„л(ьх. / е состоянии и/. В то же самое время происходит рождение фотона в состоянии (й, Х). Указанный процесс описывается тем членом в энергии взаимодействия, который содержит произведение опе- раторов 'е'//. Теория и»яр»ения С помощью уравнений Шредингера для функций и„, и и'„не/ трудно вывести тождество (см.
задачу 187) 7=-~-(Е/ — Е/) ~и„гия,е(»х. Если теперь еще учесть закон сохранения энергии Е; — Е/ —— йео, то матричный элемент (213.6б) можно записать в виде </ ( Н' ) (> = — ', ( — "', ео <7' ( (а»' г) ) ~>, (213.9) где <) !(а»а ' г) ! 1> = ) и„ (а»~'. г) и.,е(»х. (213. 10) После подстановки выражений (213.8) и (213.9) в формулу (213.7) окончательно получаем Р»,х- а — — !</!(а»' г))1>)». яп дс с' Последнее выражение можно представить в более привычной форме, введя вместо ео частоту ч ео(2п Р»,х= —, сИ»'!</'!(а»а' г)11>!».
(213.11б) Фигурирующий здесь матричный элемент удобно записать в виде произведения </ ! (а» ' г) !1> (а» ' ге/), (2 13.12) в котором первый сомножитель зависит только от направления вылета н поляризации излучаемого фотона, а второй полностью определяется внутренними параметрами излучающего атома. Задача 214. Угловое распределение излучения Пользуясь формулами предыдущей задачи, проанализировать угловое распределение фотонов, испускаемых при переходе электрона из Р-состояния в 5-состояние. Рещение. Обозначим через то и Ф сферические углы вектора й.
Определим далее два состояния поляризации, в1»брав вектор а~»" в меридиональной плоскости, а вектор а»~" — перпендикулярно к ней. Зти единичные векторы имеют следующие 214. Углаеае раенределение иэлеленил 265 компоненты: ио' =сов 1Зсоз Ф, и'„" =соз9 яп Ф, ио' = — яп6 (214.1а) и„'"= — яп Ф, и„"'=сов Ф, и'," =О. (2!4.!б) Чтобы получить компоненты вектора г,г, мы прежде всего выразим компоненты радиус-вектора г через сферические гармоники: !г — ()'ь, + )',,), -/2я / 2И у юг ()г !' ), / 4л г=г )/ — !' У з (214.2) Замечая далее, что )',, = (4п)-'и есть попросту постоянная, получаем = — Д(б., + б„,), !' 6 ! р„= — — )( (б„,, — б„,,). е 1 гг — — =ЯЬ г — и,е (214.4) где через Я обозначен радиальный интеграл: Ю )~ = ~ рл (г) о (г) г'г(г = )/ 3 ~ гы!. о (214.
5) Согласно формуле (213.11а), вероятность излучения фотона с поляризацией Х в телесный угол е((е» имеет вид е'еее и11е ~., Рю = — — ~ (мл ' гег) Р. аел 2н С учетом выражений (214.!а) и (214.!6) для векторов 44,',м и выражения (214.4) для вектора го скалярное произведение (пл г,т) (м Запишем теперь матричные элементы этих компонент для перехода между двумя электронными состояниями 1!>е в(г)У'ь (д, ф) и (~>=и(г))', е(6, ф). (2!4.3) 'г7!. Теории излучения в случае 1 = 1 записывается в виде — соз бе-еи', й 1' 6 — = 51П 'сг г — соз Ое'ч'. й ~е при т=+1: (214.7) при еп=О: при т — 1: Если же 1=2, то мы имеем е-еФ )е 6 О, 1 ! ееФ й )г 6 при т=+1: (214.8) !п=О: и= — 1 при при и, следовательно, еаага Ра х= — — еааИл0лх(6, Ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
