Том 2 (1129331), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Имеем а 4 4пЛеь ! (!Уа !Н!! !УУ = 7~ ( ч д 1ь (219. 8 а) альт', й)./Н,(д,> — ~ — — а»'.(ьт, ' д'), (219 8б) Что касается первой вершины, то здесь у нас нет никакого закона сохранения, во второй же вершине должен выполняться закон сохранения импульса Й+ 17' = Дь. (219.9а) Отсюда с учетом ортогональности векторов иь и А получаем (Х! и!, (!Т, + ьт'1 = 2 (и<ы !у'). (219.10а) «уь, й)! Н.'1Ч>= —, 1,à —,иж! (Ч+Чь) еь / 2ясй (2! 9. 11а) 4яУеь ! Ч'!Н,)ць = — —. У 1ч — яь !ь (219.11б) В этом случае закон сохранения импульса имеет место в первой вершине й — у+уь=о (219.9б) и, следовательно, иь!ы! (д+ с)ь) = 2 (пьж! 41). (219.106) Энергия начального состояния йа, ь Е.=— 2т (219.12) должна равняться энергии конечного состояния ььу' Ег — — — + Тьс)ь, (219.!3) поэтому дь =д" + 2к1ь, (219,14) В случае процесса, изображенного на диаграмме фиг.
76,б, мы должны взять из Н, члены, пропорциональные с с Ььы и из Н,— Ф Ф члены, пропорциональные су сь„ ггУ. Тормаенае игеааение Для промежуточных состояний, согласно (219,9а) и (219.96), имеем га и Еа = о = 2 (и +и) (2!9.15) ~~'~ь аг Еь = ~ +вся= ~ 1(ч — А)г+2кд]. (2!9.16) Пользуясь введенными обозначениями, матричный элемент второго порядка можно записать в виде е~)у 1 ° <По !а><а!н ~ > </!н !ь><ь~н~ е> Подставляя сюда выражения для матричных элементов (219.8а), (2!9.86) и (2!9.!1а), (219.1!6), а также выражения для импульсов еу, и уь, находим елЛе~ еи / 2лс$ ! 1(иа ' г!') (иа'.и) ! у г гг г — м-яг 1г,-г, ~ г — г (219.!7) Для получения сечения тормозного излучения необходимо воспользоваться золотым правилом и, следовательно, прежде всего вычислить плотность конечных состояний рг Здесь имеется небольшая трудность, так как из-за отсутствия закона сохранения импульса направления, в которых вылетают конечные частицы, являются независимыми.
Для одной частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим индексом 1), как мы знаем, имеет место формула Ьгг!а'г аг аг Для другой частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим индексом 2) плотность состояний р, определяется аналогичной формулой, но ширина интервала <(Е, и его положение на оси энергий в силу закона сохранения энергии зависят от ширины и положения интервала <1Ег для первой частицы. Таким образом, необходимо положить Рг= РгргйЕг Если считать, что индекс 1 относится к электрону (и'), а индекс 2 в к фотону (ге), то в нашем частном случае имеем Рг с 'е'7Д Теория изерчеиия 282 Из общей формулы для дифференциального сечения, гг'о= "" ° — „ру) <7) Н'((>)е, и, после подстановки в нее выражений (219.17) и (219.18) получаем ее Лена д'я бЬ— Х ие д 1 аг — сг' — а ~4 гг (иеы су') (ий'~ ег) Х(в," .
+ . 7) е(а (2' й. (219.19) Здесь с1йз' — элемент телесного угла в направлении вылета электрона, с((з» вЂ” элемент телесного угла в направлении вылета фотона, а сйи и )а — его энергия и поляризация сосргветственно, Нам осталось получить формулу для энергетического спектра тормозных фотонов безотносительно к его поляризации и направлениям вылета обеих частиц. Это означает, что последнее выра- Ф и г. 77.
Тормозное излучение. Показаны направление осей выбранной снесены ноаряннат. жение, мы должны просуммировать по )с и проинтегрировать по всем угловым переменным. В задачах рассматриваемого типа процедура интегрирования по угловым переменным довольно утомительна, однако в настоящем случае, как мы убедимся ниже, все обстоит очень просто. На фиг. 77 показана система координат, в которой удобнее всего рассматривать три интересующих нас вектора импульса, Эти векторы некомпланарны, т.е.
если векторы д и й в выбранной системе координат располагаются в плоскости хг, то вектор р7' имеет составляющую вдоль оси у. Имеем 7 =,7(О, О, 1), Ф =А(з(пй, О, созб), д'=с)'(з)пд'соэф', э)пд'81ПФ', созб') ееу. Тормозное иоеучение п~ь'=( — созд, 9, созб), и1~ьь=(0, 1, О), Из формулы (2!9.14) следует, что й ~~(д и й<, и', поскольку величина х велика, поэтому в нижеследующих расчетах мы воспользуемся типичным для нерелятивистской теории приближением и пренебрежем импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона. Это позволяет упростить энергетические знаменатели, фигурирующие в формуле (219.!9).
Пользуясь соотношениями (219.12), (219.15) и (219.16), получаем ве Ее — Е. = — Ы' — г)" — 2 (ц' й) — ле), ль Ее — Еь= 2 ( — 2хй+2(9 Ф) — йе). В обоих этих выражениях можно пренебречь двумя последними членами, а величину 2хй заменить, согласно (219.14), разностью дь — д". Таким образом, имеем 2 Е,— Е, ж 2 (е)ь — е)") ж — (Е; — Еь). Следовательно, энергетические знаменатели в формуле (219.19) в этом приближении оказываются равными по величине и противоположными по знаку, так что мы можем просто вычесть один числитель из другого, полагая либо 1=1, либо 1=2: (и„'" ц') — (и,'" ц) = и'( — соз д з!п б' соз ф'+ з(п О соз д') — д з!и б, (219.
21) (и„'м г)') — (и7' ьт) = д' з!и б' з! и ф'. Чтобы произвести суммирование по )ь, необходимо возвести эти выражения в квадрат и сложить. Наконец, резерфордовский знаменатель в формуле (219.19) в том же приближении можно записать в виде (е) — еу' — й)' ж (е) — е)')е = (уе+ е)" — 2е)9' соз д')е. (219.22) Собирая рассмотренные множители вместе, легко заметить, что углы б и ф' фигурируют только в сумме, содержащей квадраты выражений (2!9.21).
Интеграл по указанным угловым переменным вычисляется элементарно, и мы находим ео фА)„~ е(ф' "ь ~1(и)м ц) — (и~м д)!' = — (ь)о+ ь)" — 2е)9' сов 9'). о х (219.23) УХ!. Теория излучения 284 Согласно (219.22), точно такое же выражение, но только возведенное в квадрат, имеется у нас н в знаменателе, поэтому е! /ее'хе 16 д' дд 1' 0(сов о') ) Ес! 3 д д „1 д*+д' — 2дд'созе' ' -! где через г(о (й) обозначено сечение тормозного излучения фотонов с энергиями в интервале с(й безотносительно к направлению их вылета и поляризации н безотносительно к направлению вылета электронов.
Последний интеграл вычисляется элементарно, е! 0х ! д+д' = — !п —,„ о'+д' — 2дд'х д д д д так что окончательно имеем г(о(Й) — Ла ( — „с) ( —,1п ) -хт) у. (219.24) Из этой формулы с помощью соотношения (219.14) можно исключить импульсы, выразив величину г)' через энергию Е падающего электрона и энергию Ед =Ы тормозного фотона: д+д 1 (д+д')' 1 ) (~ Е+ )у Š— Ел~а ~ 1п ° и, . и„ Ед Описываемый полученной формулой энергетический спектр тормозных фотонов показан на фнг.
78. Мы видим, что в области очень 42 04 00 02 50 Едггк Ф и г. 78. Распределение интенсивности тормозного излучения. учет акраннроакн кулонааского поля устраняет логернемнческую расходнмасть прн ад=в малых энергий фотона имеется сннгулярность, которую обычно называют инфракрасной расходимостью. Замечание. Последовательное релятивистское решение задачи, а Танисе вопросы, связанные с зкраннровкой, см. в книге Гайглера: НМ11ег )Р.,ГЕоап1пш Тйеогу о1 ))ай!а1)оп, Згй ед., Ох!оси, 1954, рр. 242 †2. (Имеется перевод; Гайльгер В., Квантовая теория излучения, ИЛ, !956, стр.
275 †296.— Прим. иерее.) Математическое приложение Криволинейные координаты 1!иже приводятся формулы, связывающие прямоугольные декартовы координаты х, у, г с наиболее часто встречающимися криволинейными координатами, а также выражения для расстояния между точкой и началом координат т =)тх'+у'+ г' и для оператора Лапласа дг д' д' 7= †.+ †+ †.
дхг дуг дг' ' а. Сферические координаты. Если полярная ось сферической системы координат совпадает с осью г, и угол между радиус- вектором г и этой осью обозначен через О, а азимутальный угол — через <р. то (см. фиг. 33 стр. 154, том 1) х = т з!п б соз ~р, у = т яп О яп ~р, г =- т соз б, дги 2ди ! ! ! д ~ .
ди'~ ! дги! Уги= —.+ — — + —. ~ —.— ! з1п Π— )+ —, дтг т дт т' ~з!и ддд (, дд) Магд д~у'~ ' б. Цилиндрические координаты. Пусть ось г является общей осью коаксиальных цилиндрических поверхностен о=сонэ!, а ~р — снова азимутальный угол, и пусть координаты точки характеризуются тройкой чисел р, ~р, г, тогда х=рсозф, у=рз!п<р, г=-г, т=1 рг+гг, дги ! ди ! дги д'-и 7гп- — — — + — — + — — г+ —.
дрг р др рг йрг дг' ' в. Параболические координаты. Пусть ось г является общей осью двух систем параболоидов вращения $=сопз! и !!=-сопз1, фокусы которых расположены в начале координат (г=О), а раструбы направлены соответственно в положительную и отрицательную стороны оси г. Азимутальный угол радиус-вектора г снова обозначим через !р. Чаше всего используются две следующие системы координат $, !1, Ф.
Математитеское приложевие Первая система х = г' ст) соз ф, у = р' ст) з)п ф, г = — (ь — т!); ! г= — (С+т!), 5=с+а, т!т г — г, р=г $т); Вторая система г (Ст т) )1 1 2 х=-$т~созф, у=ст)з!пф, с =- — (Ст+т)т), $т = с-)-г, 1 т)' = г — г, р = $т); Область изменения переменных: 1<~< оо, — 1<т) +1, О~ф<2п. !д т ди д т да $т — Чт д'и'! сто' — чт) (дс (~ ) дть+дч( т) ) дч+(1 чт) Ят 1) дфт) Г-функция Г-функция представляет собой обобщение функции п1 = 1 2 3 ... а.
(1) Эта функция определена лишь для целых положительных чисел и удовлетворяет равенству (и + 1) 1 = (и + 1) л! (2) г. Эллипсоидальные координаты. Две точки, лежащие на оси г!г=~с), выбираются в качестве общих фокусов Вытянутых элли псоидов вращения, которые описываются уравнением с =- сопз1. Пусть далее уравнение т) =сонэ! описывает систему двуполостных гиперболоидов вращения, фокусы которых расположены в тех же точках.
Как известно, эти две системы поверхностей ортогональиы между собой. Обозначим через ф азимутальный угол радиус- вектора г, а через г, и с, †расстоян от точки соответственно до фокусов г= — с и г=+с, тогда к=с1/(ст — 1)(1 — Ч')созф, у=сРс(ст — 1)(1 — т!')з!пф, г=-ссЧ, с,=с(ч+т)), г,=с($ — т)), Ь= ("т+Е~) т)=2 (Гт Гт) 1 1 с =- с ~/ ст + т)т — 1, р = с г'(ст — 1) (1 — Ч').
Математическое арилоасекие 288 где С= ~е '1п — й1= 0,577215 ..., о (11г) — так называемая постоянная Эйлера. В частном случае, когда к= 1, имеем 5*=)Г(!+!у) ~ =,— „""„. (12) Асимпп!отическое поведение. При (г!)) 1 и )агяг( ч и (тем самым исключаются точки г, лежащие на действительной отрицательной полуоси, где расположены полюсы Г-функции) можно воспользоваться формулой Сп!ирлинги! ! т 1пГ(г)=(г — ) 1пг — г+-е.!п2п — , '0( — ), 2) ~ ) (13) или Г(г) 1г — ' ееппе-е! г г Для точных вычислений часто используется формула г! !. (г+ !! г!'(г) ~/~~~венке-ч! (1+ ! + ) (!5) Фигурирующий здесь ряд является асимптотическим.' О точности агой формулы позволяет судить приводимая ниже таблица (при расчетах ряд в скобках был заменен 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
