Том 2 (1129331), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ред.) Задача 218. Эффект Комптона Ограничившись нерелятивистской теорией, рассмотреть рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне. Решение. При наличии поля излучения плотность электрического тока шредингеровского поля электронов описывается формулой ы ей ез ,7'= — — (фт уф — уф! ф) — — Афтф =,/'+,7'", (218.1) а взаимодействие полей ф и А имеет вид Ч)г = — 1 Ц А) с(~х = 57' + ()7". (218.2) Подставив в энергию взаимодействия вместо квантованного шре- " В ранее рассмотренных нами задачах об излучении последний дополнительный член в формуле (218.1) не давал вклада в процесс первого порядка и по этой причине не учитывался.
274 у)д Теория излучения дингеровского поля тр выражение 1 тр = — ~Ч ся егэ', (218.3) а вместо квантованного поля излучения выражение л ~~," '~/ 2пс и!х! ()) нгэ г 1 (71, н-сэ г) (218,4) легко заметить, что энергия 1(г"" (оиа возникает из члена с 7'") дает вклад в рассеяние уже в первом порядке теории возмущений, энергия же ЯТ' (она возникает из члена с уь) дает вклад в рассеяние лишь во втором порядке теории возмущений. По этой причине мы сосредоточим наше внимание на энергии взаимодей- ствия ((7~ е' ~ ~э,~тф(зх (218.5) Возникновение этого члена в энергии взаимодействия легко объяснимо и с точки зрения классических представлений.
Напряженность электрического поля световой волны ! е)= — — А, с падающей на электрон, приводит его в движение, так что е шг= — е~ = — А с и следовательно, В результате возникает индуцированная плотность тока У= рг = — рА, /ИС где р †плотнос заряда. Согласно же теории Максвелла„ взаимодействие тока и поля излучения имеет вид )Р" = — ) (/" А) оэх= — ~ рАэРх. 1 Г е г с з — /ПС* Если сюда подставить выражение р= — ертф, то в результате мы придем к формуле (2!8.5). При комптоновском рассеянии начальный фотон, иаходяп(яйся в состоянии с квантовыми числами й и ), и начальный электрон с импульсом Йд уничтожаются и заменяются фотоном в состоя- 2И.
Зффелт Коллтола нии с квантовыми числами й' и Х' и электроном с импульсом ги7'. Такой процесс в первом порядке теории возмущений описывается тем членом гамильтониана, который содержит комбинацию опе- раторов с~о соЬа л4и.. (218.6) Матричный элемент интересующего нас члена энергии взаимодействия (218.5) имеет вид <~ ~ йг" ! !> = — —., ( "'" (ил а,'~ ') е' м "ч-"'-оч'еРх. (218.7) тее ! л,;а )соо Фигурирующий здесь интеграл не обращается в нуль лишь при условии й+е7= й'+еу', (2!8.8) т. е. в том случае, если в рассматриваемом процессе выполняется закон сохранения импульса. С учетом закона сохранения импульса выражение (218.7) принимает вид („цн „(х ! где плотность конечных состояний описывается выражением л "ол'й2'7/о ру= ззче, а суммарная энергия фотона и электрона в конечном состоянии имеет вид (218.11) Е! — — йсй'+ — ~7' = Ьс ~й'+ — (й' — й — е7)'~ (218.12) Перейдем теперь к рассмотрению поляризации.
На фиг. 75 импульсы фотона А и й' до и после рассеяния расположены в плоскости фигуры. Оба вектора ио~" и ио~" также лежат в этой плоскости, а векторы а~а" и и,"1 (на фигуре оии не показаны) перпендикулярны к ней. Скалярные произведения, стоящие в выражении (218.9), как следует непосредственно из фиг. 75, Для определения сечения рассеяния воспользуемся золотым правилом. Имеем ~(а(й', )') — — рг(<7(%'"~!>!', (218,10) )У!Д 7)юрии излучении 276 имеют вид (ив)') ав))))=0, (ий)') иЯ=1.
(218.13а) (218.!Зб) Поэтому в рассматриваемом процессе возможны лишь те переходы, при которых векторы, характеризующие поляризацию соответственно до и после рассеяния, либо оба лежат в плоско- Фиг. 7Ь. Эффект Коыптоии. Векторы и и и,), характеризующие поляризацию в нзчельном состоянии М) н конеч- ()) ном состовнин )В'), расположены в плоскости некторов * и ВЗ векторы и) ) и и),) нервен.
й и Пикулярны этой плоскости )нз фигуре они ее покззены) сти векторов я и уу', либо оба перпендикулярны ей. В первом случае вероятность перехода пропорциональна соз'д, во втором случае она от угла рассеяния не зависит. Если вначале свет пе поляризован, то необходимо вероятность перехода усреднить по поляризации 7) и просуммировать по конечной поляризации л,'.
Таким образом, получаем ,«',„(ий) ий ')* =- — (1+созеб). (218.14) Ниже будем предполагать, что в начальном состоянии электрон покоился. Это означает, что д=о, (218.!5) тогда с учетом формулы (218.12) закон сохранения энергии можно записать в виде Ьс ~й' + — ()р' — гс)'~ = ))сй. (2!8.!6) Так как ()й' — )й)з = й' -)- Рз — 2йй' соз д, то предыдущее равенство представляет собой квадратное уравне- ние относительно й'. Его решение имеет вид й' =й сов д — к+1 из+ 2)й(! — созб) — йз з(пзд.
(218.!7) 218. Эффект Коматома 277 Таким образом, с учетом выражений (218.9), (218.10), (218.14) и (218.18) окончательно получаем — (! +. созе б) ! сЬ вЂ” (,), ээ, с(й', (218.19) !+ — ((е' — а сое б) где величина й' определяется соотношением (218.17). До сих пор все наши формулы в рамках нерелятивистской теории были совершенно точными, но, разумеется, ими следует пользоваться только в том случае, если кинетическая энергия электронов мала по сравнению с енсе: Е„„,=йс(й — й') фтсе или й — lг' ~~н, поэтому в формулах (218.17) и (218.19) целесообразно прибегнуть к разложению в ряд по степеням отношения я!н. Имеем (е' (е ее — = — — — (1 — сов 6)+...
н н н' с(о = — ( —,) ~! — 2 — (1 — сов 6)~ (1-1- соз' д) с(й'. (2!8.20) Отсюда после элементарного интегрирования по угловым переменным получаем выражение для полного сечения рассеяния: н (218.2!) Как хорошо известно из классической электродинамики, в длинноволновом приближении сечение рассматриваемого процесса описывается формулой Томсона: о.= — ( —,) =6,662 х 10 *'- см'. 8л/ е' те (218.22) Фигурируюший в выражении (218.21) дополнительный множитель представляет собой первую квантовую поправку, благодаря кото- Поскольку, далее, в силу (218.!6) ое! г —, = 'Ьс ! 1 + — ()е' — й соз б) ~, то выражение (218.11) для плотности конечных состояний рт можно представить в ваде р = ~ с(й'. (218.18) 8леьс (+ ! (А' — е сов Е) н 278 )7!1.
Теория излучения рой величина сечения уменьшается с ростом энергии фотона (м1х=Ьш!пзсз). Разумеется, мы можем ограничиться только этой поправкой лишь в том случае, если й)х<с1, т. е. если длина волны падающего света велика по сравнению с комптоновской длиной волны 11х=й)тс (при Йш=тсз=-0,51 МзВ или й=х мы имеем )ь=2пй)тс). Замечание 1. Если е =О, то вклад от члена Гг" энергии взаимодействия (218.2) во втором порядне теории возмущений равен нулю. При релятивистском рассмотрении интересуюшего нас процесса обычно для плотности тока используется выражение (199.1), так что комптановские переходы оказываются возможнымн лишь во втором порядке теории возмущений. Однако и в релятивистском случае решению можно придать форму, полностью аналогичную приведенной выше, если разбить выражение для плотности тока на две части, как это было сделано в задаче 199.
Замечание 2. Если энергия фотонов велика, то для опичания электронов необходимо пользоваться уравнением Дкрака Прн этом вместо формулы (2!8.21) получается формула Клейна — Нишины. Следует, однако, заметить, что наше приближение оказывастся хорошим в довольно широкой области энергий.
Тан, например, при й)х=0,2 из (218.21) получаем п1па=0,714, а точная формула Клейна — Нишины дает 0,737. Далее при й)н=! соответственно имеем 0,333 и 0,431. Фактическая величина сечения рассеяния уменьшается с ростом энергии значительно медленнее, чем зто следует из нашей приближенной формулы. Так, например, при й)х= 1000 вместо точного значения 0,0215 получаем значение п1пе = 0,0030. Задача 219.
Тормозное излучение В рамках нерелятивистской теории столкновение электрона с тяжелым ядром, сопровождаю!цееся рождением у-кванта, можно рассматривать как процесс второго порядка, в котором ядро считается бесконечно тяжелым и описывается просто его электростатическим полем. Пользуясь указанным приближением„ рассчитать спектр тормозного излучения. Решение. На фиг. 76 показаны две простейшие диаграммы, соответствующие рассматриваемому процессу. В начальном состоянии имеются покоящееся ядро и электрон с импульсом йлу. В конечном состоянии мы опять имеем покоящееся ядро, электрон с некоторым меньшим импульсом й!7' и фотон в состоянии с квантовыми числами й и Х. Так как масса ядра предполагается бесконечной, то в процессе столкновения меняется лишь его импульс, а энергия остается прежней (М = оо, р — конечная величина, рз12М =О, о=О).
Таким образом, начальное и конечное состояния всех остальных частиц удовлетворяют закону сохранения энергии, закон же сохранения импульса для них не имеет места. Энергия возмущения состоит из двух членов, Н'= — и,+Вю (219. 1) 2Т9 2тэ. Тормознас излучение причем первое слагаемое Н, = — Лет ~ — тРттйсРх (219.2) где и 2яи (т е 1 ем а б Ф н г. 76. Диаграммы Фейнмана низшего порядка для тормозного излучения.
двоанме линии относятся н беснонечно тяжелому ядру, одиночные линии-н елентроввм, волнистме линни-Н фотонам представляет собой энергию взаимодействия электрона с полем излучения. Имеем л=д,)уг —,~Рфм 'ть'и но (т1е. ° ) ! а~Р т 'ртР = — дст и г7тс е'чт'. (219. 5) т Подставляя выражения (219.4) и (219.5) в формулы (2!9.2) и (219.3), после интегрирования по всему пространству получаем ЛЕ' мч 4н Н,= — — ~ сес, и а, Хм,т Х ст„с,(бааба,,„а,+Ь|,,„ба,ч, а„). (219.7) Чтобы найти отличные от нуля матричные элементы, соответствуюгцне процессу, изображенному на диаграмме фиг. 76, а, нужно описывает кулоновское взаимодействие ядра (заряд Яе) и электрона (плотность заряда р = — етрттр), а второе слагаемое Не = — ) (А'Л "в" (219.3) 2зо УН. Теаррл излучвлия взять из Н, члены, пропорциональные с~~ су, и из Н, члены, д пропорциональные су ст,б~~„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
