Том 2 (1129331), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ьсл 6и (214.9) Значения, диаграммы направленности" Р,л приводятся в таблице. днаграмма яанрааланнасгн Р аля '!а еоа' ая нша 0 '/, соа'6 а!а о 1! +1 о — ! В случае Х = 2 излучение фотона в любом направлении равновероятно, но из начального состояния с т = 0 фотоны такой поляризации не излучаются вообще. Таким образом, распад Р-состояния с т = О происходит только путем излучения фотона с поляризацией Х= 1, причем угловое распределение фотонов характеризуется в этом случае множителем з!па 9, и, следовательно, для и = 0 они в основном испускаются в экваториальной плоскости (9 = 90'). Если же Х= 1 и еп = ~1, то угловг)е распределение характеризуется множителем созе() и фотоны в основном испускаются в направлениях 0=-0' и О = 180'.
в1о. Полная вероятность нереяода 2бт Задача 215. Полная вероятность перехода Электрон переходит с верхнего р-уровня на нижний з-уровень, испуская при этом один фотон. Выяснить, какова вероятность указанного перехода безотносительно к направлению испускания фотона и его поляризации, В качестве примера рассчитать среднее время жизни атома водорода в возбужденном 2р-состоянии. Решение. В предыдущей задаче была рассчитана дифференциальная вероятность излучения фотона в элемент телесного угла с(ься в направлении О, Ф для случаев пс=+1, О, — 1 и обоих состояний поляризации. С помощью этих формул после суммирования по состояниям поляризации получаем еввоз рв Рвь= ~-,; — с1ьвь з1пв во для т = О, (215.1а) Х4,- бл весов всв 1 Рях = — — сйь — (1+ сов' ()) для сп = ~-1.
(215.15) весов йв бл 44евсов Р = — — — = — Яв. йсв бл 3 9$св (215.2) Выражение для радиального интеграла )с было определено в предыдущей задаче, поэтому теперь можно приступить непосредственно к рассмотрению примера.
Атом водорода, находящийся в возбужденном 2р-состоянии, может перейти лишь в основное !з-состояние. В атомных единицах (Ь/тев является единицей длины) волновые функции этих двух состояний запи. сываются в виде 1с> = — 'г' 6 ы-'т)',, (215.3а) и 11> = 2е-'У„,, (215. Зб) Таким образом, с учетом выражения (214.5) получаем К вЂ” — — 2 ~ се-и' е егвс(г= — — ) 24; все= —,, о После интегрирования по направлениям вылета фотонов для вероятности перехода из р-состояния в з-состояиие независимо от значений квантового числа сл получается одно и то же выражение: 'е'е д Теория яелаченил или, если вернуться к обычным единицам, 2ге Ь Яе— 3' и'ел ' (2! 5.4) Частоту излучаемого света еэ можно определить из формулы энергетических уровней атома водорода: 3 елее "=в Ь (215.5) '=л)'(От (215.6) Величина, обратная этой вероятности перехода, имеет смысл среднего времени жизни т возбужденного 2р-состояния атома водорода.
Имеем =(И'~Ф)'=": (215.7) Множитель — =2,4187 к!0 "с эе те' (215.8) можно рассматривать в качестве удобной единицы времени, коль скоро дело касается времен жизни возбужденных состояний атома. Множитель -г- 137,0373 й ее представляет собой величину, обратную постоянной тонкой структуры. Таким образом, числовое значение среднего времени жизни 2р-состояния атома водорода оказывается равным т=!,5953х!0 'с. Задача 216. Правила отбора для дипольного излучения Если длина волны излучаемого света велика по сравнению с размерами атома, то вероятность перехода между двумя однозлектронными состояниями, как было показано в задаче 213, зависит от матричного элемента электрического дипольного момента. Получить отсюда правила отбора для дипольного' излучения и рассмотреть вытекающие из этих правил следствия в случае нормального эффекта Зеемана.
Подставляя теперь выражения (215.4) и (215.5) для )се и е» в формулу (215.2), после некоторой перегруппировки множителей находим 2)б. Правила отбора длл диаолоиого иолучеиил 2ва и и„'" = — з1п Ф, и'„а = соз Ф, и!и = О. (216.2б) Состояния атома описываются волновыми функциями ~ !> = т! (г) Уц (б, т), <Й = !рг(г) У!и ° (б, М, так что для матричного элемента радиус-вектора г можно написать <) ~ х ~ !у ~ (> = ~ Ь г~р!!ргф У!", тУ, „з1п бе~ !МЯ, о <) ~ г ~ !> = 1 !( '4~р!!ргф У!и,У, „сов б!((). о (216.3) Интегралы по угловым переменным легко вычисляются, если принять во внимание соотношения з(п бе*'оУ~ = ~А!„, .„„У...
~А! т У. (216. 4) созбУ,.=В„„аУ„, .+В, .У..., где А =' (+ )(+т У (2)+!)(2! — !) В э/ ()+т)(! — ) ' "' У (2! + Ц (2! — !) . (216.5) В результате имеем <" ~х~!у~!>=И!г( ~А! ц+ +~ба,!+!б .т*!~ ~А! т б...б, а,), (216.6а) <) ! г ) !> = )<,! (В,~, „бг „ , + В, „би , ,) б„, „, (216,6б) где через Л!г обозначен радиальный интеграл О Й!! -— — ~ гоар! (г) <рг(г) г(г. о (216. 7) Решение. Согласно (213.11б), в дипольном приближении вероятность излучения фотона с поляризацией ) в элемент телесного угла !(Ы» в направлении вектора й имеет вид Р, = — „' — "' о(а (<й(пЬи' «)(!>~'.
(216.1) Здесь ии — единичный вектор, характеризуюший поляризацию. бд Если обозначить сферические углы вектора й через 6 и Ф, то в соответствии с формулами (214.1а) и (214.!б) и„"> = сов 6) соз Ф, и„'" = сов В з1п Ф, иа' = — зйп !З (216.2а) П1. Теория изяаееиия 2то р=е+1 г ю-~ — '/е сае 8е иэиетАе - иь /ве Я;ТАЬ,„ 1 -иэ !е сае Ое й;ТАе„,,„+, — бее иайетА+, — ь!и ий;ТВе — е~п Оя;тне+, — е1е сае Ое~~ЯетАе+, — !ее Д'еТАе+ь -и~-~ еф с~с сае 8е ЙууАе ~1,е~~ИеТАе„. Если излучающий атом не имеет определенной ориентации в пространстве, то на опыте мы наблюдаем излучение, усредненное по начальной ориентации атома.
Если же атом ориентирован вполне определенным образом, как прн эффекте Зеемана, то можно получить более детальную информацию. В этом случае направление полярной оси сферической системы координат (6 = 0) совпадает с направлением магнитного поля. Если мы наблюдаем непускание света в направлении поля, то матричные элементы для перехода еп' =т равны нулю и наблюдаются лишь спектральные линии, соответствующие переходам, для которых т' = я+1 и т'=т — 1. С другой стороны, для любого направления, перпендикулярного полю, соз9=0, поэтому при переходах, для которых т' = т ~ 1, появляется спектральная линия с поляризацией )с= 2, а при переходах, для которых пе'=и, — спектральная линия с поляризацией Х= 1.
Все матричные элементы обращаются в нуль, за исключением случая Р = 1 ~ 1. Зто и есть первое основное правило отбора для дипольных переходов. Далее мы видим, что матричные элементы х +.(у отличны от нуля только при т' =еп ~ 1, а матричные элементы г †толь при т' =т. Другие изменения квантовых чисел 1 и т при дипольных переходах запрещены.
Комбинируя полученные правила отбора с выражениями (216.2а) и (216.26), можно рассчитать матричные элементы (~ | (Ф» г ) 1 1>, фигурирующие в формуле (2!6.1) для обоих состояний поляризации Х= — 1 и А=2, Результаты таких расчетов приводятся в следующей таблице: 277. Интенсивности линий лайманоеслсй серии 271 В качестве примера разберем зеемановские переходы из 0-состояния (5 компонент) в Р-состояние (3 компоненты). Если в отсутствие магнитного поля излучается спектральная линия с частотой О1„ то при наличии магнитного поля излучение (фиг. 74) может происходить на трех частотах: Озт=отв+гос при т'=т — 1, Ото при т' =т, От 1=.О1,— О1е при т'=т+1, где еЯ Оз 2ню Если наблюдение излучения производится в направлении поля (9=0), то средняя линия (От,) отсутствует и мы имеем дублет м= зг о -г -г нт +7 й "7 йт -7 йег О йлт +7 Ф н г.
74. Зееминовснне переходы 77 -т Р. В соответствии с правилом Лю= + 1, О, — 1 спеитрвльнмв линии имеют рвзлисиую поляризацию с частотами соо+Озс и тоо — Ото В напРавлении же, пеРпендикУ- лярном магнитному полю, наблюдаются все три составляющие нормального зеемановского триплета, но его компоненты относятся к различным состояниям поляризации. Задача 217. Интенсивности линий лаймаиовской серии Сравнить интенсивности двух первых линий серии Лаймана, 1.уа и 1.у(1, в спектре излучения атома водорода. Решение.
Мы должны рассмотреть два перехода: (.усе: 2Р— !з и 1.ур: ЗР- 1з. У!1. Теория иолучеиия Вероятность излучения, проинтегрированиая по всем направлениям и проауммированная по обоим состояниям поляризации, имеет вид ! 1~ (>! 3 йое (217.1) Интенсивность спектральной линии (т. е. энергия, излучаемая в 1 с) пропорциональна произведению чор, поэтому для рассматриваемых линий (217.2) В атомных единицах для энергий соответствующих переходов имеем 1 ! 3 1 1 4 Е = — — — = — и Еа= — — = —.
2 В 8 2 1В 9 (217.3) Таким образом, остается вычислить два матричных элемента. Согласно результатам задачи 67, волновая функция конечного состояния записывается в виде ~ 1з> = = е-', 1 Ул (2 17.4а) а для волновых функций начальных состояний мы имеем в случае линии 1.уа выражение ~ 2р> = = ге-ч*'соз О, 1 (217. 46) 41' 2л а в случае линии (.ур выражение 4 7 1 чь з (Зр> — ~г- —.го1е-н*'соз(). (217.4в) 27)' 2л Выше для обоих р-состояний мы произвольно положили т=0. Это отнюдь не ограничивает общности рассмотрения, поскольку мы ие собираемся обсуждать эффекты, связанные с ориентацией атома. Радиус-вектор г имеет компоненты х ~ 1у=гз(п беь'ч и г4 гсоз О. Как непосредственно видно, матричные элементы х ~ (у в результате интегрирования по углу ~р обращаются в нуль.
Таким образом, остается вычислить лишь матричный элемент <1')г(1>. Имеем Ф ф (Ясозчб ~ .4е- Ьч.( 4л)' 2 а 273 2/В. 3(йфекгп )<омал!оно <1з(г(ЗР>= 4 Г ') г(Я совед ) г' (г — — г ) е- и с(г. Г 7 1 27п)' 2 5 а Последние интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем <18!г)2р>==2тй и <1з!г(ЗР>==н4. (2175) 1 255 1 27 рг 2 2 У" 2 4' Собирая вместе соотношения (217.2), (2!7.3) и (217.5), окончательно находим — =(32) (2еййу) =0,510Х6,23, !в (217.6) нли 3,18. !з Занечание. Радиальные матричные элементы для других пар состояний атома водорода приведены в монографии Бете и Солпитера: см.
Ве!йе П, А., Яа!ре!ег Е. Е., в кни~е: Епсус!ореснз о1 Рйуз(сз, 5рг!пйег, Вег)!и — бо!!(пйеп— Неые)ьегй, 1957, Ъ'о1. 35, 4 53 и особенно табл. 13. (Имеется перевод: Белы Г., Ссллигпер 9., Квантовая механика атомов с одним и двуми электронами, Физматгиз, 19бв, стр. 412 — 415.— Прим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
