Том 2 (1129331), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Гладкан потенциальная спозпенька 245 (207.24) говорит о том, что мы имеем дело с полным отраже- нием падающей волны, так что коэффициент отражения (207. 26) должен равняться единице. В этом нетрудно убедиться, взяв для амплитуд выражения (207.18а) и (207.18б) и воспользовавшись тождеством Г (г + ! ) = гГ (г) . Имеем В т+)о+ 4оо Г (т+)г гао) Г (т+)о+ то) Г ( — 2)ь) (207 27) А н — )ь+)о~ Г (т — )о+)о ) Г (о — )о — Ьо) Г (2)о) Так как величина )о всегда чисто мнимая, )о = — (о, то третий сомножитель в (207.27) не дает никакого вклада в абсолютную величину отношения ) В)А ~.
Если величина т действительная (случай б), то второй сомножитель также является отношением двух комплексно сопряженных величин и, следовательно, не дает вклада в'абсолютную величину рассматриваемого отношения. Таким образом, имеем ! ~'-'. "-. -- ° В (о ог+ (оо — а)о 2ао (о — а) Š— ср А ! но+(по+а)г 2а,(е+а) Е+ср' /ар ) ср' (Е' — ср') /ооя ! А ~г ср(Š— ср) (207.29) поэтому иа (207.26) действительно следует, что Я 1.
В случаях а и в (т — мнимая величина) в области далеко справа существует бегущая волна, поскольку вм'г н, кроме того, согласно уравнению (207.6), а ~ х пня !,псо В этих выражениях р' =Ы вЂ” импульс прошедших частиц, а Е' = Š— ог,. Плотность электрического тока прошедших частиц в силу соотношения (207.20) имеет вид — — — (207.2о) Отсюда с учетом выражения (207.22) для коэффициента прохождения получаем формулу 246 У). Релятивистское уравнение Дираки Чтобы теперь вычислить величину (А(з, мы, кроме тождества Г (г + 1) = гГ (г), воспользуемся общей формулой (Г(+4у))з = ' , у †действительн число.
у зн лу ' Учитывая, что р,= — 1а, о= — (а', с помощью (207.18а) получаем ! а а+ о' — ое зь 2ла зь 2ла' . (207. 30) ) А )' о' а+о'+оз зьл(о+а'+ос) зЬ ссре+о' — оз) ' При подстановке последнего выражения в формулу (207.29) в ней появляется множитель ср'(Е' — ср') а о+а' — о, (Е' — ср')(ср+ср' — У,) ср (Š— ср) а' о+а'+ из (Š— ср) (ср+ ср'+ Не) который, как легко показать, равен единице. Действительно, заменяя здесь )е, на Š— Е' и учитывая, что Е" — (ср')з = Е' — (ср)з = (тсз)з, получаем (Е' — ср') (ср+ср' — У,) (Е' — ср') (Е'+ср') — (Е' — ср') (Š— ср) (Š— ср) (ср+ср'-)-У,) (Š— ср) (Е-(-ср) — (Š— ср) (Е' — ср') Таким образом, выражение для коэффициента прохождения принимает вид Т— зи 2ла зь 2ла' (207.
31) зь л(а+а'+о,) з)1 л(а+о' — о,) ' В знаменателе этого выражения удобно выделить характеристическую величину о„, пропорциональную произведению высоты ступеньки па ее ширину и не зависящую от энергии частицы: Т— зл2 ь2 ' . (207.32 звз л (а+о') сняло,— с(зз л (а+а') зн'лое ' В случае а мы имеем а+а' — и,> 0 или У,< с(р+р ). Этот случай можно назвать нормальным; он имеет место и в нерелятивистской теории.
С другой стороны, а+а' — ов < 0 в случае в и, следовательно, Т ( О. Волна проникает в область отрицательных энергии (см. фиг. 72), где положительному импульсу сопутствует отрицательный электрический ток. В пределе лов)~ ) пли 2лтзс У )~— з 247 205.
Наклонное падение плавкой волны выражение (207.32) упрощается и принимает вид ги1, Т = — 4зй — 5Ь вЂ” е и(р Ыр' )е й Ь Отсюда видно, что проницаемость потенциальной ступеньки при переходах от положительных энергий к отрицательным быстро падает по мере роста „эффективного размера" ступеньки 1',1. Так как )7, > тс' в случае в, то экспонента в выражении для коэффициента прохождения Т дает вклад, который заведомо меньше Е " = Е-ппх, где Х =- Ь(тпс — комптоновская длина волны. Литература К1ееп О., ха.
Рвуа., 53, 157 (1929). Баи!ег Р., Ев. Рпуа., 69, 742; 73, 547 (193!), (См. также Зоммерфельд А., Строение атома и спектры, т. 2, М., стр. 270 — 282. — Лрим, ред.) Задача 208. Наклонное падение плоской волны на прямоугольную потенциальную ступеньку Частица, описываемая дираковской плоской волной с произвольной поляризацией, наклонно падает на потенциальную ступеньку, высота которой меньше кинетической энергии частицы. Получить законы отражения и преломления, а также вычислить поляризацию прошедшей волны. Решение. Обозначим посредством ф, ф' и тРг соответственно падающую, отраженную и прошедшую волны. Пусть далее 7к, й' и й" — волновые векторы этих волн, направления которых характеризуются (а Р соответственно сферическими углами О, р, 0', гр' и 0", гр".
Мы будем считать, что преломляющая плоскость совпадает с плоскостью 3=0 и что волны ф и тр' распространяются в области г < О, а волна трв в области г > 0 и (см. фиг. 73). В плоскости г = 0 для всех зна- чений х и у должно выполняться со- Фиг 73 Наклонное паде- отношение ние плоской волны на по- тенциальную ступеньку. Ф+Ф'=Ф', (208.1) П. Релятивистское уравнение Дирака А сов — + В ь)и— 6 .
Гт 2 2 Ф Ь А в(и — — В савв 2 2 гт . 6 "1 т) (А сов — — В в)и — ) 2 т) (А ь(п — + В сов — ) ох 2 2,) Сяп — +Всовт) !) 2 2 б . о Ссов — — Вв)и— 2 2 () т) '( С яп — — О сов — ! 2 2/ о, д~ т! (С сов — + Е) яи — ) 2 2 ) е' . 6" Е соь — + Р в)и— 2 2 д" дл Еяп — — Рсов— 2 2 о" . е" ~ т! (Е сов — Р я'и — ) 2 2) АЯ. е Ур ()+ч') сея' е е Ур ()+ч') (208.5) р" (Е яп — +Рсоа — ) 2 2/ в силу которого все три волновых вектора )г имеют равные проекции на оси х и у: Йв!пдсовф=йв)пб'совф'=й в)пд" совф"„ йв)п Ояпф= йыпре'в)пф'=й" яп д" ь!пф". ййы сможем удовлетворить этим соотношениям, положив ф=ф =ф (208.2) 6' = и — О, (208.3) й в)и 6 = й" ып 6". (208.4) Равенство (208.2) показывает, что все три волновых вектора )г лежат в одной меридиональной плоскости, которую мы можем выбрать в качестве плоскости хг.
При таком выборе у-компоненты волновых векторов обращаются в нуль (ф = О, ф' = О, ф" = 0), Равенство (208.3) в этом случае выражает закон. отражения, а равенство (208.4) — закон преломления, причем показатель преломления, очевидно, определяется соотношением п=й"/й, Оба закона совпадают с соответствующими законами дли нерелятивистских шредингеровских волн (см. задачу 45). Дополнительные эффекты в релятивистской теории связаны с поляризацией волн. Полагая ф=О и д'=и — О, запишем три рассматриваемые волновые функции в стандартном представлении: 20В.
Наклонное падение плоеной волны 249 А+ РВ+ РС+ 0 = г (Е+ РР), РА — В+С вЂ” р0 = г (е(Š— Р), А — РВ+ РС вЂ” 0 = гЛ (Š— г(Р), РА+В+С+р0 гЛ(г)Е гР), (208.6) где (208.7) о' — еов— / 1-(-Чв сов Т Комбинируя равенства (208.6), получаем А + РС = — г [(1+ Л) Е+ (1 — Л) дГ~, 1 РА+С= 2 г[(1+Л)ЧЕ (! — Л)Р! (208.8а) В+ р0 =- — г [ — (1 — Л) цЕ+(1+Л) Р) (208. 86) РВ-,-0 — — г [(1 — Л) Е+(1+Л) дР). Из первой пары уравнений исключим амплитуду С, а из второй пары — амплитуду 0.
В результате у нас получатся соотношения, связывающие амплитуды прошедшей волны Е и Р с амплитудами падающей волны А и В: (1 — Р ) А = 2 г [(1+ Л) (1 — р у) Е+ (1 — Л) (р + д) Р), 1 (208.9) (! — р') В =-и-г [ — (1 — Л) (р+д) Е+(1+Л) (1 — рг!) Р), Среднее значение спиральности (или, иначе, продольная поляри- зация) падающей волны определяется выражением А' — Ве 1 — (В/А)в (208.10) Ав+Вв 1+(В!А)е Выше первые части спиноров, пропорциональные постоянным А, С и Е, характеризуют состояния с положительной спиральностью +1, а вторые части, пропорциональные постоянным В, 0 и Р,— состояния с отрицательной спиральностью — 1.
Граничное условие (208.1) применительно к амплитудам дает П. Релвтивистское уравнение Дирана Аналогичным выражением определяется и продольная поляризация прошедшей волны: Ее — Г' 1 — (Р)Е)е Ее+ Ре 1-1- (Р)Е)' (208.11) Из соотношений (208.9) находим  — (1 — Л> (р+ д>+Н+ Л> 0 — рд> (Р)Е> А (1+Л) (1 — рд)+(1 — Л) (р+д) (Р)Е) (208.!2) Последнее выражение можно значительно упростить, введя параметр и: Л р+д Ч Ч 1"+1> и= — = — „1п 1+Л 1 — рд Ч+Ч" 2 (208.13) С учетом (208.13) выражение (208.12) принимает вид В (Р!Е) — и А 1+и (Р/Е) ' (208.14) Когда падающая волна полностью продольно поляризована (й=~ 1), имеем 1 — и" й"= ~— 1+ив ' т.
е. потенциальная ступенька частично деполяризует волну; однако эта деполяризация является эффектом второго порядка по параметру и. С другой стороны, в случае продольно неполяризованного пучка (й= О) получаем 2и й" = —— 1+ив ' так что наличие потенциальной ступеньки приводит по крайней мере к частичной продольной поляризации пучка, причем этот эффект линеен по параметру и. На практике параметр и оказывается сравнительно малой величиной (и ж 0,1), поэтому частичная поляризация первично неполяризованного пучка представляет больший интерес, чем частичная деполярнзация пучка с вполне определенной спиральностью.
В заключение следует отметить, что параметр и обращается в нуль в случае нормального падения, поэтому рассмотренные эффекты проявляются более отчетливо при скользящем падении первичного пучка. Если в этой формуле выразить отношения В/А и Г/Е через поляризации й и й", определяемые формулами (208.10) и (208,11), то нетрудно показать, что (208.15) 20У.
Отражение от прямоуеояьной потенциальной гтупеньки 25! Задача 209, Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки при наклонном падении Частица, описываемая плоской волной со смешанной спиральностью, падает наклонно на потенциальную ступеньку. Вычислить коэффициент отражения и доказать, что плотность тока непрерывна на поверхности, где потенциал испытывает скачок.
Решение. Плотность электрического тока 1, = !есф! у,у,ьр .= есфт сеььр можно следующим образом выразить через компоненты спинора ьр в стандартном представлении: 1„= СС (ьр;фь+ ьрььрь+ «рьярь+ ф',ф,), 1„= сс! ( — ф,'ьр, + яр,"ьрь — ьр.'ьр, + ьрььрь), 1, = ес ц;ьр, — ьряьр, + ьрьф, — ь)ььр,). к(!+ч'! ~~ + ( А з1п — — В соз — ) т! ( А соз — В з1п — ) ! 2 ! = !г(!+чь) 11, 2 2) (, 2 2) ~ ( А соз — + В з! и — ) т! ( А соз — — В э!и — )— — ( А гйп — В соз — ) ь) ( А з!и — + В соз — ) ~ . 2 2) (, 2 2) Отсюда после очевидных упрощений получаем !г !1+ Чь! 2есц 1,=, ц~ „(А'+В')созе. (209.1) Аналогичные формулы справедливы для отраженной волны: 2.ч 1; =,, (С'+!9ь) з!пд, 2еоц 1;= —,, (С'-)-Вя)созй (209.2) В случае плоской волны экспоненциальные множители, входящие в ф'„и ф,, взаимно сокращаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
