Том 2 (1129331), страница 34
Текст из файла (страница 34)
11) + г ( +~)г' 5+р т (202.9) цг -1- (ив р — — 1пв= — (!е — 9) —, а/ причем выше мы ввели обозначения р= 2 ()и — — ), д= 2 ((л+ — ), я=!'+ 2 . (202.10) Согласно первому из уравнений (202.9), имеем = — — [ '+(з+р)о! а+о цг = — — [го" +(з+ р+ 1) о'1. а+о Подставляя зти выражения во второе уравнение системы (202.9), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению вто- рого порядка для функции о: го" + ~(2з+!) — г1 о' — — (з+ р) о = О.
(202.12) Уравнение (202.12) — зто уравнение Куммера, а его регулярное в нуле, но произвольно нормированное решение представляет собой вырожденную гипергеометрическую функцию о=,р,(з+р, 2з+1; 2 — ). (202. 13) Пользуясь далее общей формулой (.—.- ." г — + а ),Р, (а, с; г) = а,г, (а+ 1, с; г), д из соотношений (202.1!) получаем ео= — — '~,Р,(з+р+1, 2з+1; 2 — ). (202.!4) Подставляя зти выражения в формулы (202.8), находим функ- ции 6 и г", а затем с помощью формул (202.6) и радиальные функции д и !': д= — Сг'-'е-а' Р з-(-р, 2з-1- 1; 2 — ~— 1 ! г 2 а,) — — гРР,Р,(з+р+1, 2з+1; 2 — ) ~ „ р+ч о (202.15) 1= — — '-Сг'-'е-'т),Р, (а+р, 2з+1; 2 — ') -1- -1- — +,Р, (з+р+ 1, 2з+ 1; 2 — )~.
224 у!. Релятивистское уравнение дарана Обе фигурирующие здесь вырожденные гипергеометрическне функции асимптотически пропорциональны е'*'г', н, следовательно, полученные решения будут ненормируемыми до тех пор, пока первые аргументы вырожденных гипергеометрических функций не равны нулю нлн же целому отрицательному числу: э+р= — п„п„=О, 1, 2, 3, .... (202.16) Когда з+ Р = О, первый аргумент второй вырожденной гипергеометрической функции а+р+1 равен +1, однако прн этой функции имеется множитель д+ р, так что в рассматриваемом частном случае асимптотическн расходящиеся члены из выражений (202.16) попросту выпадут. Таким образом, искомые собственные значения полностью определяются условием (202.16).
Подставляя в это условие вместо Р и р соответственно выражения (202.10) и (202.3), получаем для определения допустимых значений энергии Е уравнение Отсюда для уровней энергии водородоподобного атома находим формулу Е= (202. 17) у' ра +(и + в)з До сих пор мы еще пе рассматривали вторую систему уравнений (201.96) для определения радиальных волновых функций. Нетрудно убедиться, что в этом случае вместо системы (202.4) у нас получилась бы система уравнений, отличающаяся от (202.4) заменой )ь на — 1/)ь. В результате величины а и Р, фигурировавшие выше, заменились бы соответственно на — с) и — Р, а условие для определения собственных значений (202.16) приняло бы вид Все эти изменения, однако, ничего не меняют в формуле для энергетических уровней, поэтому каждый уровень оказывается двукратно вырожденным.
Если р ) ! (я ) (37), то определенный соотношением (202.5) показатель и в случае основного состояния оказывается чисто мнимой величиной и наше решение перестает удовлетворять граничному условию при г =О. сцля очень больших значений 2 потенциальная яма становится настолько глубокой, что энергия основного состояния Е оказывается меньше — тсз.
В силу соотношения (202.3) величина а прн этом становится чисто мнимой н функции у н ) [см. (202,6)! не будут больше экспоненциально убывать ка больших расстоя- 203. Тонкая структура энергетических уровнеа атома водорода 2эо пнях г, что физически обусловлено проникновением электронной волны в область отрицательных энергий (парадокс Клейна). Более подробно мы обсудям это явление для случая потенциальной ступеньки в задаче 207 (случай в)гп Задача 203. Тонкая структура энергетических уровней атома водорода Для атома водорода фигурировавший в предыдущей задаче параметр () совпадает с зоммерфельдовской постоянной тонкой структуры е' 1 а= — = —. ас 137 11 а' я = (1+ — 71 — — + О (а'). 2 7' 2)+1 (203.1) Подставляя это разложение в формулу для энергетических уровней (202.17) и вводя главное квантовое число 1 П=пе+1+ —, (203.2) находим Е= тсз~1+ (аз((п=~) ~ ) илн Е тсз'(1 — —,~1+ з ( г 4 )] +0(а') ~.
(203.3) Так как те' тсзаз =— лз ' то формула для уровней энергии водорода с учетом первой ре- лятивистской поправки приобретает вид (203.4) м Согласно квантовой электродннамике, при 2 > 137 точечный заряд спонтанно рождает позитроны. Более подробно с этим кругом вопросов можно ознакомиться в обзорной статье: Зельдович Я.
В., Попов В. С., УФН, 188, 404 (1971).— Прим. ред. 8 ж 11!я Этот параметр достаточно мал, и для анализа полученных выше результатов можно пользоваться степенными разложениями. С помощью указанных разложений подтвердить нерелятивистскую теорию и найти первые релятивистские поправки к ней. Решение. Раскладывая по степеням а показатель з, определяемый соотношением (202.5), получаем И, Релятивистское уравнение Дарана 226 Здесь первый член представляет собой энергию покоя, второй совпадает с нерелятивистской бальмеровской энергией (см. задачу 57) и, наконец, последний член дает первую релятивистскую поправку, пропорциональную а' = 0,532х 1О ', т.
е. состав- лающУю пРимеРно 'Г' о% энеРгии свЯзи. Так как эта попРавка зависит от обоих квантовых чисел л и /, то каждый нерелятивистский уровень энергии расщепляется на несколько близко расположенных подуровней, о совокупности которых говорят как о тонкой структуре уровней атома водорода. Рассмотрим теперь степенное разложение параметра а, который определяется соотношением (202.3) и имеет размерность длины. Это разложение записывается в виде е'п11 — 2 з( е — 1)1+0(х') (203.5) ле Г а'/ л Если в выражении, заключенном в квадратные скобки, пренебречь релятивистской поправкой, то в результате получится боровский радиус и-й электронной орбиты атома водорода. Так как отношение 2г/а входит в качестве аргумента в вырожденные гипергеометрические функции и так как в выражения (202.15) для радиальных волновых функций входит множитель е-ао, то размеры атома водорода определяются величиной параметра а точно таким же образом, как и в нерелятивистской теории.
Чтобы от релятивистских волновых функций (202.15) перейти к волновым функциям нерелятивистской теории Шредингера, необходимо рассмотреть степенные разложения параметров р и д, определенных соответственно соотношениями (202.3) и (202.10). Мы имеем (203.6) (203.7) В нерелятивистском приближении множитель, стоящий при второй гипергеометрической функции в формулах (202.15), принимает вид в+р ле ле 1.1 с/ +л ле+(2!+)) и, следовательно, по порядку величины равен единице (исключением является случай а, О, когда указанный множитель также равен нулю). Так как параметр р в рассматриваемсии приближении в силу (203.5) по порядку величины равен а, то функция Г примерно в 100 раз больше функции д.
Поэтому в нерелятивистском приближении радиальные волновые функции (нор- УОЗ. Тонкая структура энергетическая уровней атома водорода е27 мировка произвольная) определяются соотношениями д=о, ) = г!-М е-по ~,Р ( — п„21+ 2 2 — )— — + ',,Р, ( — и,+1, 2!+2; 2 — ')~. (203.9) Если теперь в выражении для функции 1 положить 1=!+ "/„ то оно действительно перейдет в выражение для шредингеровской волновой функции [см.
соотношение (67.12)1 1,в=г'е-",Р,(!+1 — л, 21-1-2; 2уг), (203.9а) где 7=1!а. В этом можно убедиться следующим образом. С учетом Равенства 1=!+'/е из опРеделеииЯ главного квантового числа (203.2) следует, что и = л,+1+ 1, поэтому л„=п — 1 — 1 и (=г'е-те~,Р,(!+1 — и, 2!+3; 2уг)— —,Р,(1+2 — и, 21+3; 2уг)~. Воспользуемся теперь общей формулой а,Р„(а-к!, с+1; г) =(а — с),Р,(и, с+1; г)+с,Р,(а, с; г) и, учтя равенства а=!+1 — п, с=21+2, г 2уг, преобразуем с помощью этой формулы выражение, стоящее в фигурных скобках: ,Р,(а, с+1; г)+о —,Р,(а+1, с+1; г), к виду — аеРе(а„с; г) = ! ~ еР,(!+1 — п, 2!+2; 2уг) Так как в рассматриваемом случае 1=1 — '/„то теперь имеем у = г' 'е-т („Р ( — п, 21+ 1; 2уг) —,Р (1 — и, 21+ 1', 2уг)).
Таким образом, выражение (203,9) действительно переходит в выражение (203.9а). Чтобы получить нерелятивистское приближение для решений второго типа, требуется специальное рассмотрение. В результате замены величины р величиной — 1/р функция !становится малой, а функция д — большой, поэтому в нерелятивистском приближении (нормировка опять произвольная) мы должны положить у=ге-мее-т'(,Р, ( — п„2!+2; 2уг) —,Р, (1 — п„21+2; 2уг)). й/.
Ренятиаисинное уравнении Ди рани Чтобы убедиться, что последнее выражение совпадает с (203.9а), воспользуемся общими формулами а(,Р,(а+1, с — 1; г) —,Е,(а, с — 1; г)) =ги-.,/',(а, с — 1; г) (с — 1) — „,Р, (а, с — 1; г) =а,Р,(а+1, с; г). С их помощью нетрудно показать, что с точностью до постоянного множителя 2у/(21+1) для функции а получается выражение р= г'е-т',Е, (1 — и, 2/+2; 2уг). Так как, согласно (203.2), 1 — и„=/+'/,— и и, кроме того, 1 — 1 1/ то первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции опять оказывается равным 1+1 — и и, следовательно, получен- ное выше выражение совпадает с (203.9а), До сих пор мы рассматривали величину 1 просто в качестве удобного параметра, не интересуясь его физическим смыслом.
Чтобы восполнить этот пробел, вычислим для обоих типов ре- шений среднее значение оператора 1.'. Пользуясь соотношением Е'У, „лр1 (1+ 1) 1', „, нетрудно показать, что в обоих случаях интересующее нас сред- нее значение описывается формулой Ю 1 1(1 ~/%1(!+1/и)Мэ+(1+1/а)(!+и/ЗЦа г1 Гзиг <Е'>=пи ' (203.11) Для решений первого типа функция )й !' в а ' раз меньше функции ~ ! ~' и ее можно не учитывать, следовательно, в этом случае <Е'> =(! — '/,) (!+'/,) Й' (203.12а) и мы имеем 1 — '/,— 1. Для решений второго типа можно пренебречь ~ !)* по сравнению с )д ~' и получить Ж> = (1+'/,) (1+'/,) Ь, (Я03.12б) и, следовательно, в этом случае ! + '/, = 1.
Именно такими подстановками мы и пользовались в приведенных выше расчетах. 203. Тонкая структура энергетических уровней слюна водорода 212 Другими словами, в нерелятивистском приближении, когда функ. ции / и д больше не входят одновременно в один и тот же спннор, / снова становится хорошим квантовым числом. дополнение. Как мы показали, собственные спиноры связаны с двухкомпоиентными функциями 1 /г'г')+г/зу;.„Н, вЧГ )' 2(/+1) ) р"/+з/,у,,/ и могут быть двух типов: ф„( ) или ърь=( ), причем и~/ длн решений ф и /сну для решений фь. Приближенно мы. таким образом, имеем Рассматриваемое приближение соответствует нерелятивистской двухкомпонеитной теории спина, в которой /=1+ '/, для волновых функций ф н /=/†'/ для волновых функций фь, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
