Том 2 (1129331), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Такими свойствами обладает клнффордово число С=узу„ (194. 10) которое и является единственным элементом из всех 16 базисных элементов клиффордовой алгебры, удовлетворяющим четырем соотношениям (194.6). Как следует из (194.10) С~= — С, С'= — 1, (194.11) поэтому, согласно (194.5), зарядово сопряженная волновая функция в стандартном представлении имеет вид зр.=М' (194.12) Задача 195.
Состояния со смешанной спиральностью Дана дираковская плоская волна, распространяющаяся вдоль оси г. Показать, что спинорную амплитуду невозможно выбрать таким образом, чтобы волновая функция зР была одновременно собственной функцией оператора о„. Решение а. Как следует из уравнения Дирака, в случае плоской волны ф = Сеызз- '>, 1195. 1) должно выполняться алгебраическое соотношение з)С =— (Иуз — — 7,+х) С =О, с (195. 2) где С вЂ” спинорная амплитуда.
Оператор з1, определенный соотношением (195.2), не коммутнрует с оператором и„= — с7,7„ (195.3) так как о„зе =- йу, +1 — 7,7,7„— (нуз7„ по .ю !со„= — пуз + с — 7зуз74 — Риузуз. Заметим, что в стандартном 71 = 71з 7з = 7з~ представлении 7з = 7з 74 74 П.
Релятивистское уравнение Дарана Следовательно, функция тр не может быть общей собственной функцией обоих указанных операторов '>. б. В стандартном представлении соотношение (195.2), если его расписать по компонентам, дает (195.2а) Отсюда, вводя обозначения ы д — +х= —, с ч ' м — — х=йч, с (195.3а) (195.4) получаем С, = — чС,. С,=чС„ С другой стороны, задача на собственные значения ояс=Х.С, (195.5) где Х вЂ собственн значение, если перейти к компонентной записи дает с, = ) С,1 с, Хс, (195.ба) (195.6б) С, =Хс„ С, = с.с,.
Обе пары уравнений удовлетворяются только в том случае, если Х= ~1. Пользуясь далее уравнениями (195.5), можно исключить компоненты С, и С, из уравнений (195.4). В результате получаем два соотношения с„= чс, и ХС, = — час„ г1 П общем случае такой вывод неправомерен, так как соответствующая теорема утверждает лишь, что у некоммутирующнх операторов нет оби!ей системы собственных функций, хотя отдельные общие собственные функции вполне могут быть.— прим.
рсд. 0 оС= 1 О 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 +х)с,=о, +х)С,=О, +х) С,=О, +х) С, =О. )С, )С, Хс, Хс, )Рд. Среднее эначение саина 266 которые противоречат одно другому. Следовательно, спинор С, удовлетворяющий уравнениям (195.4), не может одновременно удовлетворять уравнениям (! 95.6). ЗаиэниииЕ. В НЕрЕЛятнннетСКОМ ПрЕдЕЛЕ (Ч -ч. О) КОМПОНЕитЫ Са И СЕ, а вместе с ними и вторая нара уравнений (196.В) выпадают иа рассмотрения, и противоречие устраняется. Задача 196.
Среднее значение спина Вычислить среднее значение оператора о„ в состоянии, которое описывается суперпозицией двух плоских волн, распространяющихся в направлении оси г и имеющих противоположные спиральности. Решение. С помощью спинорных амплитуд (см. выражения (190.15) и (190.16), в которых в данном случае необходимо положить 6 = О! отвечающих соответственно положительной и отрицательной спиральностям, мы сконструируем амплитуду смешанного состояния С = С~ соз пеев+С зйп ае-ев, (196, 2) удовлетворяющую прежнему условию нормировки ) Ст С с("х = 1.
(196. 3) Выше се и 6 — произвольные действительные постоянные. Среднее значение оператора о„определяется по формуле <о„> = ) Се о„С!(ах. (196.4) Учитывая, что 0 — 1 У У (1+ т)') о,С т) !) 0 УУ(1+ и ) о„с, =- получаем Сто„С,=О, 1 1 — т)е С оС 1 С 1 0 Уъ (! + Чч) Ч 0 0 и С = —, (!961) УУ(1+ч') 0 т) И. Релятивистское уравнение Дорона 206 Отсюда имеем <о >= — сон а 61п а (е'еа+е-"а) х 1+ЧЯ ' или <ох> = — 91п 2а соз 2~) —, (196,5) Таким образом, абсолютная величина среднего значения оператора ох оказывается всегда меньше 1.
В ультрарелятивистском случае, когда параметр э) приближается к единице, среднее значение <о„> стремится к нулю, так что волна оказывается почти полностью поляризованной параллельно или антипараллельно направлению распространения ". С другой стороны, в нерелятивистском случае, когда параметр Ч очень мал, становится возможной и поляризация в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.
Действительно, для значений р = 0 и а = ~ и/4 в этом предельном случае получаем <о„> = ~1. Задача 197. Алгебраические свойства волнового спинора Днрака Дираковская частица помещена в поле с потенциалом 1'(г). Волновой спинор, описывающий состояние частицы, в котором ее спин направлен либо параллельно, либо антипараллельно оси г, можно считать не зависящим от координат х и у (одномерная задача). Рассмотреть движение частицы, пользуясь, насколько это возможно, клиффордовой алгеброй, не обращаясь к конкретным матричным представлениям.
Показать, что задача сводится к нахождению четырех функций переменной г, удовлетворяющих некоторой системе дифференциальных уравнений. Выяснить, каким образом упомянутые функции связаны с компонентами волновой функции в стандартном представлении. Решение. Волновой спинор можно записать в виде ф(г, 1) =е-'лихи(г), (197, 1) где спинор и(г) удовлетворяет одномерному уравнению Дирака 7,— +уЯ(г) и+хи=О, Я (г)= (е) .
(197,2) Конструкция выражения, стоящего в левой части этого уравнения, такова, что оно целиком содержится в подтеле, базисными элементами которого являются клиффордовы числа 1, у„ у„ 7,7„ " Более подробный анализ спиновык свойств электрона см., например, в книге: Соколов А. А., Тернов Н. М., Релятивистский электрон, изд-во „Наука", М., 1974, стр. 192 — 196.— Прим. ред. 797.
йлгвораиивснив свойства волнового снинора Дарана 207 поэтому решением уравнения должен быть спинор вида о(г)=А(г)+В(г)у,+С(г)у,-!-сл(г)у,у,. (197.3) Разумеется, если и — решение уравнения Днрака (!97.2), то решением будет и любой спинор и=-оГ, (197.4) где à — произвольное, не зависящее от г клиффордово число, в частности любой элемент клиффордовой алгебры, образованный с помощью базисных элементов у, и у,. Далее, очевидно, что спинор о коммутирует со спиновым оператором ов = — 17,7„ (197.5) хотя и не является собственным спинором этого оператора.
Обобщенное выражение (197.4) позволяет сделать решение уравнения Дирака собственным спииором оператора о,. Мы имеем о,и =- олиГ = ио, Г. Поэтому, если Г есть некоторый собственный спинор оператора о„ о,Г=-~ Г, (Г97.5) то мы получаем (197.7) Собственные значения +1 и — 1 называются спиральностью (см. задачу 190). Далее нетрудно убедиться, что Г = 1 — 17,7, = 1 + о, Г = 1 -!- 17,7, = 1 †(197.8б) представляют собой собственные спиноры оператора о„принад- лежащие соответственно собственным значениям +1 и — 1. Действительно, о~Г = ов (1 ~ о,) = и, ~ ! = ~ (1 -Е о,) = ч- Г Таким образом, имеем и (г) = о (г) (1~(у,у,), (197.9) где спинор и(г) еще необходимо определить путем подстановки выражения (197.3) в уравнение Дирака (!97.2).
Несложные вы- числения дают (В'+ ЯС+ хА)+ у, (А' — Я 0+ хВ) + у, (сл'+ Я А + хС) + + увув (С вЂ” Я В+ хО) = О, (197.10) причем выше штрих означает дифференцирование по переменной г. Выражение, фигурирующее в левой части равенства (197.10), обращается в нуль в том н только в том случае, когда обраща- ются в нуль все четыре выражения, стоя цие в круглых скобках. 'е'е. Релатаваетенае аравненае Дарана (В+Р)'+(х+Я)(А+С)=О, (А+С)'+(х — Я) (В+Р) =О. (197,126) Мы видим, что первая пара уравнений полученнои системы содержит лишь две неизвестные функции, 1 ! ев,= ~ ( — Р), н~е= — (А — С).
Во второй паре уравнений содержатся также только две неизвестные функции ие = — (А + С), еве = 2 (В + Р), (197.136) Подставляя полученные результаты в выражение (197.3), окончательно находим п(г) =(еве+нееуе)(1+уе)+(еее+нееуе) (1 — у,).
(197.!4) Если функции ева удовлетворяют уравнениям (197.12а) и (197.126), то оба члена, фигурирующие в правой части выражения (197.!4), порознь удовлетворяют уравнению Дирака (197.2). Умножая каждый из этих членов справа на Г или на Г (см. выражения (!97.8а) и (197.86)), получаем решения уравнения Днрака, которые одновременно являются собственными спинорами оператора о,. В заключение остается показать, каким образом функции ша связаны с компонентами и волновой функции в стандартном представлении. Пользуясь стандартным представлением, уравне- ние Дирака (197.2) можно расписать по компонентам: — !и,'+ Я+и) и,=О, еи,'+(Я +х) и, = О, (197.!5) еи', +(х — Я) и,=О, — (и',+(х — Я) и,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
