Том 2 (1129331), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Перейдем к новой переменной интегрирования 1 х = — (еог — еое) 1 и положим, кроме того, тогда йЕ =т йх. лй. У Отсюда, согласно формулам (183.2) и (!83.4), получаем йТ= — ~ р (Е ) —,1<1( Я7 (1>1ейх. При вычислении последнего интеграла мы вправе воспользоваться соображениями, изломсенными в предыдущей задаче. Вклад в интеграл по очень большому интервалу переменной х с центром в точке х=О дают лишь состояния из очень узкого интервала энергий с центром в точке Ег — — Ео поэтому йТ = — р (Е ) ( <11Ю (1>1е. й (183. 5) Для вероятности перехода целесообразно сохранить обозначение в виде дифференциала йТ, так как в величине рг пока еще содержится бесконечно малый интервал телесных углов й(1 (возможно, что в связи с этим саму величину р, было бы лучше обозначать посредством йр ).
Равенство (183.5) называют золотым правилом. Полученная вероятность перехода очевидным образом зависит от нормировочного объема Р и от начальной скорости о, = Ьйпе стслкивающнхся с мишенью частиц, Вместо вероятности пере- У. Неетацианариые задачи 170 хода целесообразно ввести величину е(о, не зависящую от нор- мировочного объема У, определив ее равенством 17 е'з ( У (183.6) Эта величина имеет размерность см' и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния, причем, согласно золотому правилу (183.5), сЬ= — рг(Е) — (<) ( (р' ) е>1з. азрУ ааааа состояний.
Учитывая, что е(ар = рз др еИ = т р е(Е йй, получаем тртаЕтазетУ рте(Е7 —— аазйз (183.8) и, следовательно, аа / т1' Хзат — =(,— ) —,.!<И"') >~ ед17 2авз ае (183.9) В случае упругого рассеяния множитель Фт/й;=1 и его в дальнейшем можно опустить. Для сферически симметричного потенциала Ф'(г) матричный элемент между состояниями, описываемыми плоскими волнами (183.3), имеет вид <) ! Ф' ~ 1> = — ) е- е"')р' (г) е('х, 1 П где К=йт — Ф,— так называемый переданный импульс (в едини- цах Ь). Интегрирование по угловым переменным дает (183.!1) Таким образом, нам остается вычислить плотность конечных состояний рт и получить выражение для матричного элемента. Плотность конечных состояний можно вычислить, приняв во внимание, что на одно состояние бесспиновои частицы в импульсном пространстве приходится объем, равньзй (2пЬ)з~р.
Поэтому в произвольном элементе объема импульсного пространства Фр содержится 1а4. Борноккое рассеяние е имн леенои иредопаелении 171 поэтому окончательно получаем Ю о (183.12) Задача 184. Бориовское рассеяние в импульсном представлении Пользуясь импульсным представлением и ограничиваясь первым порядком иестационарной теории возмущений, получить выражение для дифференциального сечения рассеяния. Считать, что возмущение включается в момент времени 1=0, а затем остается постоянным. Решение.
Как было показано в задаче 14, при переходе к импульсному представлению нестационарное уравнение Шредингера й ье — —. лр = — — т еф + )л (г) ф 2ое (184.1) заменяется ннтегро-дифференциальным уравнением вида — —.) (Ф, 1) = — И'~ (й, 1) + ~ Ю (Ь вЂ” й') ~ (й', 1) е(ей', (184.2) д. ьв где 1'(Ф, 1) и (й(й) соответственно фурье-образы ф(г, 1) и У(г) (нормировка та же, что и в задаче 14).
Уравнение (184.2) можно несколько упростить, введя вместо 1 новую функцию: 1(й, 1)ч о(й, 1)е '"", ее= — )ев. (!84.3) А 2т Мы имеем а1 Н,) = — — ( е' оо — "' ' (й (й — 'и"')о (Ф', 1) е(е)е'. (184.4) При решении уравнения (184.4) в первом порядке теории возмущений функцию о в подынтегральном выражении следует заменить невозмущенной волновой функцией оо(л, е)=С(2п) Л 8(й ло) (184.5) которая представляет собой фурье-образ плоской волны: лро (~ ~) Сел * ° (184.6) Результат (183.12), как и следовало ожидать, совпадает с формулой первого борковского приближения (см.
задачу 105). Действительно, наша исходная формула (183.1) уже предполагает, что рассеивающий потенциал И7(г) рассматривается в качестве возмущения; именно по этой причине для описания начального и конечного состояний были использованы плоские волны. 1~. Ностаиианараои эадачи !72 В результате уравнение (184.4) приобретает вид = — — С (2п) о )й' (А' — йо) е' ~ - ац '. Решением этого уравнения служит функция С О (и-ао) ! о (оо, () = — — (2п)П 1(7 (оо — ооо) . (184.7) й о'о Следовательно, вероятность обнаружить частицу с импульсом )о внутри интервала Уа в момент времени 1 (см.
задачу 15) дается выражением 1'(а г)рц'а= ~, (Ю'(й — Ь,)1 (" — '" "Ими, где для краткости мы положили ! о (ы то)о Так как то вероятность перехода, определенная равенством г(Т= — е(о) ') (а) о(Ф, ()1ойа, (184.8) после интегрирования по о()о принимает вид 1 С 1о (эв)о тй ( 1)7 (184.9) причем выше (см.
задачу 183) )Ф(=11,(. Дифференциальное сечение связано по определению с вероятностью перехода соотношением дТ = ! С (о ооо(о = ! С )о — с(о, (184.10) поэтому о ~Я вЂ” ! Чг(Л вЂ” Ю,) ~ о((). (! 84. 11) В случае центрального взаимодействия эту общую формулу можно несколько упростить, так как при вычислении фурье- 765. Кулоноасное возбуждение атома 178 образа потенциала )г(г) удается провести интегрирование по угловым переменным. Мы имеем Ю (й йе) =(2п)з ) а "! (г)" х =(2н)е~~ (г) К„г'с(г, (184,!2) о где К=й — й,— переданный импульс (в единицах Й), причем К и угол рассеяния б связаны соотношением К = 280 з!и — . в (184.!3) Подставляя теперь выражение (!84.12) в формулу (184.1!), полу- чаем хорошо известный результат для сечения рассеяния в пер- вом борновском приближении: бт 2щ Г МпК« к.
о (184.14) Замечание. Переход от волновой функции 1, описывающей состонние частицы в импульсном представлении, к функции о соответствует в общем случае переходу от нартины Шредингера к картине Дирака (представление взаимодействия). В отсутствие взаимодействия йт(й) функция о не зависела бы от времени 1. Формула для сечения рассеяния (184.14) была нами выведена ранее в задаче !05. Заметим также, что фурье-образ йт(й — йе) с точностью до нар.
мировочного множителя есть матричный элемент потенциале )«(т) в обычном пространстве: (2ч)з )Г«(й йе) ~а-за.«!«(и) агв««бах ой ! !«! й З С учетом последнего замечания формуле для сечения рассеяния (!84.11) можно придать виа т 1е Ь=~ — <й)Р!й,>~ да, 2пйе (!84.)б) Задача 185. Кулоновское возбуждение атома Решение. Будем описывать положение валентного электрона относительно атомного остова (фиг. 71) радиус-вектором г (х, 1), г). Если налетающий электрон находится в точке Р, то энергию его Пусть на расстоянии (т (прицельное расстояние) от' атома щелочного металла пролетает электрон. Скорость электрона и предполагается большой по сравнению со скоростью валентного электрона н атоме.
В результате кулоновского взаимодействия атом может перейти в возбужденное состояние. С помощью нестацнонарной теории возмущений рассчитать эффективное сечение такого процесса. У. Наса«ацаонарна«а аадаеи 174 взаимодействия с валентным электроном можно записать в виде !г(1) =— Ф~1) ' (185. 1) где (185.2) И =(о! — х)а+у«+(Ь вЂ” г)а. Ниже будем пренебрегать эффектами, связанными с замедлением или отклонением налетающего электрона. Кроме того, рассматривая налетающий электрон как классическую частицу, мы, конечно, не 1 р учитываем и все обменные эффекты. а Если длина волны налетающего электрона мала по сравнению с прицельным ь~ я расстоянием Ь и с линейными размера1 ми атома, то такое приближение вполне п-о.м разумно.
Для простоты будем также считать, что прицельное расстояние Ь в Ф н г. 71. Схема столкноае к але рона с атомом. свою очередь велико по сравнению с линейными размерами атома, и, следовательно, можно воспользоваться разложением ! ! (1 Их+э«1 У-(„„.+Ь. ~1+ (сф +;Г (185.2а) В этом приближении матричный элемент перехода из основного состояния (индекс 0) в возбужденное (индекс Ь) записывается в виде <й ! )г(1) /О> = ' ч (о(<Ь !х!О>+Ь<lг!г !0>1, (!85.3) О ! й > = йот«) Ф>, то возмущенное состояние записывается в виде ~ тр> г а '"л ! 0> + ~а а«(() е — "'«' , 'А>, (185.4) где (см. задачу 18!) а«(И) = — й ~ « ' <А ~ У (!') / 0> М'. (185.5) поскольку первый (статический) член из выражения (185.2а) дает вклад только в диагональный матричный элемент <0)Р~О>, отвечающий упругому рассеянию.
Если невозмущенное состояние ~ Ь> удовлетворяет уравнению . Шредингера 175 1дд. Кулоноесное еаобуесдение атома Отсюда вероятность обнаружить атом в возбужденном состоянии ~)е> после того, как процесс столкновения закончится, равна р„= ) а„(оо) )о, (185.6) а эффективное сечение возбуждения состояния )й> получается из нее интегрированием по прицельному расстоянию: <о оо — 2п ) ) а„(оо) )5!с(Ь, о Таким образом, задача в основном сводится к вычислению ампли- туды ае(оо). После подстановки выражения для матричного эле- мента (185.3) получаем оо ае(оо)= — — е" 5Г П, [Ы<)е(х(0>.)-Ь<)е ) г) 0>15(д Л Но1Р+Ь'1 1' Вводя обозначения а (555 о55) " (185.8) последнее выражение можно переписать в виде Оба фигурнруюптие здесь интеграла нетрудно вычислить, восполь- зовавшись интегральным представлением модифицированной функ- ции Ханкеля: (185.10) Последний интеграл можно представить в ином виде: „ж (1+55)Ч5 1 11+ 521' о ) (1+55)О5 о поз~ ому 5,Ч., ,, с(а = 2д1(, (5).
11+ 551 и (185.11) +Ф + Ю сео с са е а' ае(оо) = — — <й(х)0> ~, 5(а+<а)г)0> ~, сЬ Аь~ (1+5 ) (1+ 55)ч (185.9) У. Неетаиаанараоее задачи Дифференцируя равенство (185.11) по р, получаем йи (, з(з = 2 — фК, (Щ~ = — 2~К„ф). (' (185.12) Таким образом, имеем аз(оа) = — — — (<й)х! 0>( — рК, ф))+1<й/ г(0>(ЗК, ф)). ьа (185.13) Если атом не поляризован, то усреднение по поляризации дает <й(х)0> = <й)г)0> = О, )<й)х)0>!о = )<й)г)0>(о, (185.!4) поэтому !ае(аа)( =( — ! ° — ° !<А(х(0>!о(!о(К',ф)+ Ко,(р)~. (185,15) ~йо~ С учетом соотношений (185.7) и (185.8) для эффективного сечения возбуждения состояния ~а> получаем о оз — — 8п ( — ) )<Ь (х ) 0> !'~(К! (~)+К,'(8)! ()еф.
(185.!6) о Если бы в последнем интеграле нижний предел был отличен от нуля, то мы могли бы написать ~ (Ко(Р)+Ко (Р )1РеФ'=0Ко(~3) К, ф). (185.17) з При малых значениях !) справедливы предельные соотношения 8Ко ф) 1 Ко ф) — С+ )п —, (185.18) где С = 0,5772...— постоянная Эйлера. Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится при малых значениях р, т, е., согласно (185.8), при малых значениях прицельного расстояния Ь. Эта расходимость связана с использованием разложения (185.2а) для энергии взаимодействия, которое имеет смысл лишь в том случае, если расстояние г между валентным электроном и атомным остовом мало по сравнению с прицельным расстоянием Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
