Том 2 (1129331), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

В этой связи необходимо отметить, что отношение 135 171. Белий карлпа При этом условии давление газа практически не отличается от давления при абсолютном нуле. Для электронов энергия Ферми определяется формулой Вычисленные с помощью этой формулы значения ь надо сравнить со значениями тепловой энергии.

Прн температуре 1О' К мы имеем йТ щ 1ОО эВ, и даже для плотности р = 1Оз обе величины оказываются одного порядка. При этом газ ионов вообще будет невырожденным, а его вклад в полное давление будет сравним с вкладам электронного газа. Что же касается радиационного давления, то для него справедлива формула рр=2,52 1О-та Тл дин)смз. С другой стороны, согласно (!71.5) в (171.4), имеем р 3,16 1Отз ( — ) дин)см'. (,а) При Т= 10' К радиационное давление по порядку величины равно 1О'днн/смз, и для плотностей вещества, с которыми мы сталкиваемся в белых карликах, его действительно можно не учитывать.

Комбинируя формулы (1?1.6) и (171.4), получаем уравнение с осто я н и я р=Ы', (171.6) где 1 = †,„ ~ †) (агп )-'1 = 8,17 10тэсь-'1* г-'1 ° см' с-'. Когда функциональная связь между давлением и плотностью имеет Вид 1 1+ р-Ь то говорят, что мы имеем полипгропу с показателем и. Таким образом, можно сказать, что состояние вещества в белом карлике описывается политропой с показателем и='1ж Подставляя выражение (171.6) в условие равновесия (171.1), получаем Ург. 8= 5, й ор 3 йг гз Отсюда путем дифференцирования находим — — 1тг Р-1 — ) = — 4пг Р.

бр~ 30йг~ йг) (171. 7) Вместо плотности р удобно ввести безразмерную функцию =(,".)" (171.8) !36 сУ. Мноеочастичние задачи. Б. Очень большое число частиц где р,— некоторая постоянная, а вместо радиуса г — безразмерную переменную х= —, (171.9) Г, где величина г, используется в качестве единицы длины и определяется соотношением ро 5! -0» (171.10) В результате этих преобразовании уравнение (171.7) приводится к виду, не зависящему ни от каких физических постоянных: (171.11) Если мы отождествим постоянную р„с плотностью вещества в центре звезды, то к уравнению (171.11) надо присоединить начальные условия ф (О) .= 1, р' (0) = О.

(171. 12) обращается в нуль (ф(Х)-О). В этой же точке = — Р = — 0,206. ~ — "\ (171. 13б) Согласно соотношению (171.8), нуль функции ф определяет радиус звезды )ч. Зная радиус звезды, можно записать ее полную массу: и х М = 4п ~ г'р (г)й.= 4ярьг,' ~ кзфо с(к. о о Последний интеграл можно вычислить, не зная всех числовых значений функции ф (х).

Действительно, в силу уравнения (17!.11) имеем кфг — — (х — ~, дк( дк ) поэтому М = 4п)зчг|Х'Р = 34,5рьс*. (171.!4) Единственное решение нелинейного дифференциального уравнения (171.11), удовлетворяющее начальным условиям (171.12), находится путем численного интегрирования.

Это решение монотонно убывает и в точке х = Х = 3,6537 (171.13а) 171. Белый карлик !зт Когда масса звезды известна из опыта, между величинами р, и г, в силу (171.10) и (171.14) имеется два соотношения: (171. 15а) где а=а — — — 9,46 10"со-по гп см, Б) ало р,г', = Ь, (17!.15б) где Ь = 0,0290М. Отсюда г, =аь-чо, ро= Ь'а- (171. 16) так что радиус звезды )т можно записать теперь в виде й = г, Х = 3,6537г,. (!71.17) Для средней плотности звездного вещества имеем зо р = у Ро = 0*169ро (171.18) следовательно, она составляет примерно Чо плотности вещества в центре звезды. Числовой пример.

Наблюдения за движением Сириуса показывают, что Сириус В, входящий в состав этой двойной звезды, имеет массу, примерно равную массе Солнца, а именно М = 1,94.10" г. Таким образом, в данном случае г,=2,47 1Ооа-Ч см, )7 8 98, 10о ох-'и см р,=3,73 1Оосоо г см *, р=6,15 1О'ао г см ' Известно также, что радиус Сириуса В составляет примерно '/„ радиуса Солнца (Ко=6,95.10'о ем); этому в нашей модели соответствуег значение х = 0,445.

Найденное значение довольно близко к значению а=0,5 для водородной звезды, хотя и располагается с неправильной стороны. Надо, однако, иметь в виду, что в нашей модели для радиуса звезды получается заниженное значение, так как при вычислениях мы не учитывали температурные эффекты и, следовательно, отбросили существенную часть давления. фактически звезда должна раздуться до замееио ббльших размеров. 138 е'е'. Мноагчастичные еодачи, Б. Очень большое число частиц Задача 172. Приближение Томаса — Ферми Рассчитать плотность электронов в атоме (или положительном ионе). Чтобы получить приемлемое приближение, предположите, что во всякой области, где электростатический потенциал можно считать практически постоянным, имеется достаточно большое число электронов, так что их допустимо рассматривать статистически.

Решение. В основу этой модели атома положено две идеи: одна заимствована из электростатики, другая — из квантовой статистики. Мы начнем с электростатической части нашей задачи. Если на расстоянии г от атомного ядра в единице объема содержится л (г) электронов, то электростатический потенциал, создаваемый в пространстве совместным действием электронов и атомного ядра, удовлетворяет уравнению Пуассона.

Таким образом, первое основное уравнение нашей задачи гласит: 1ч ьФ = 4пе л (г), (172. 1) где р(г)= — ел(г) — плотность заряда электронного облака. На решение этого уравнения необходимо наложить два граничных условия: в непосредственной близости от ядра с зарядом Яе Ф= — при г- О, Бе (172. 2) и, кроме того, если )с — радиус положительного иона с зарядом ге, то Ф= ~ при «) )с, (172.3) Фактическое значение радиуса положительного иона нам предстоит определить в дальнейшем. На границе иона, т.

е. в точках г=)с, не должно быть никаких сиигулярностей, поэтому здесь непрерывен не только потенциал, но и напряженность поля. В связи с этим граничное условие (172.3) можно переписать по-иному: ФЯ)= — и ге /дФ '1 ге г ~ б. 7'я — Лг. (172.4) Перейдем теперь к квантовостатнстической части нашей задачи. Рассматривая любой элементарный объем внутри атома (или иона), мы видим, что импульс р всякого находящегося в нем электрона связан с его энергией соотношением Е =- —" — еФ (г). 772, Приближение Томаса — Ферми 139 (172.5) Согласно же квантовой статистике, величина р„,„, связана с плот- ностью электронов п(г) (см.

задачу 167) соотношением г 4и Риеке л=2— 3 (ЗиЦз (172.6) Сравнение соотношений (172.5) и (172.6) приводит к другому основному уравнению нашей задачи: л (г) = — (2те [Ф (г) — Ф (Я)ДПк. (172.7) зигике Уравнения (172.1) н (172.7) в принципе позволяют определить обе неизвестные функции и (г) и Ф (г). Исключая функцию а (г) и пользуясь сферической симметрией задачи, получаем Ч'Ф = — — „,, (гФ) = — (2те [Ф (г) — Ф (14)1)пк.

Вводя вместо Ф (г) безразмерную функцию ' [Ф (,) Ф()7)1 (172.8) а вместо независимой переменной г безразмерную переменную К=— а к (172.9) где а=( ) ' — =0,88534е-ч* — т Г 9лг тик Вк Р (, !283) аик лез приходим к универсальному дифференциальному уравнснию (172.10) Граничные условия (172.2) и (!72.4) теперь принимают вид р (0) = 1 (172.11) Чтобы электрон был в связанном состоянии, зта энергия во внутренних областях атома, очевидно, не должна превышать потенциальную энергию — еФ(Й) на его границе.

Отсюда следует, что импульс электрона, находящегося на расстоянии г от ядра, не может быть больше р„„„где г "'" = е [Ф (г) — Ф ( 17)1. 140 )Р. Мнагочасгаичные задачи. и. Очень балмиое число чаапиц р(Х) =О, Хр'(Х) =- —,' (172.12) причем выше мы положили Х=)с!а.

Я Х 4и~ а(г) ге г)г =2 ~ 1' х ф Г* (х)с!х. с помощью уравнения (172.!О) функцию ф г', фигурирующую в последнем интеграле, можно выразить через производную ф", так что этот интеграл будет равен Х х ~ р" ах=и( р — ф),"=г(ф(о)+хр'(х)). С учетом же граничных условий (172.1!) и (172.!2) последнее выражение попросту равно Таким образам, число электронов, эаключенных внутри сферы радиуса )с, дей.

ствительно равно Š— з. Мы свели нашу задачу к интегрированию унизерсального уравнения (172.10) при граничных условиях (172.11) и (172.12). Чтобы получить общее представление о разнообразии решений этого дифференциального уравнения, У целесообразно проинтегрировать его при одном и том же начальном условии ф (0) = 1 н различном наклоне касательных в начальной точке(ф'(0)< О). Четыре таких решения показаны на фиг. 69. Кривым 1 и 2 соответствуют конечные радиусы Х, и Х„, так как в Ф н г.

б9. Решения уравне. обоих случаях ф' (Х) ( О. Ооа указанная Томаса-Ферми(!72. !О) ных решения, согласно условию отличающиеся наклоном касательной в начальной тачке. (172.12), описывают положительные ионы. Для нейтрального атома из (172.!2) следует, что ф'(Х) = О. Это условие не удовлетворяется ни при каком конечном значении Х. На фиг. 69 такому случаю соответствует кривая д (радиус атома бесконечен). Что касиется кривой 4, то для свободных атомов нли ионов она не имеет непосредственного физического смысла, однако с ее помощью можно Необходимо подчеркнуть, что при таких граничных условиях все Š— х электронов действительно заключены внутри сферы радиуса )7.

В этом можно убедиться стедующим образом. Из уравнения (172.7) и соотношения (172.9) следует 14! 77л. Приближение Томаса — Ферми ош:сывать атомы, связанные внутри кристаллической решетки (разумеется, граничные условия в этом случае будут совсем иными). Ниже нас главным образом будет интересовать кривая 3, соответствующая нейтральному атому. Мы назовем полученное решение стандартным н будем обозначать его через (р,(х). Числовые значения функции ~ро (х) приведены в нижеследующей таблице. Наклон касательной в начальной точке в рассматриваемом случае характеризуется значением ср,'(О) — 1,58 807, а асимптотическое поведение имеет вид ~Ро(х) — 144(хо [заметим, кстати, что указанная асимптотика является точным решением дифференциального уравнения (172.10), однако при х= 0 это решение имеет сингулярность).

Характеристики

Список файлов книги