Том 2 (1129331), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Б Очень большое число частиц Таким образом, вместо (174.14в) теперь имеем (174.16в) Вместо переменной г удобно использовать безразмерную переменную х, определив ее соотношениями (см. задачу 172). Так как при малых г, или, что то же самое, при малых х имеет место разложение ~р(х) =1 — р.х+ .. „ то в формулах (174.16а) — (174.16в) можно положить — 0рер')„ь= ~, ( — ) = — ~", ')г( — т) ~ =О. Отсюда окончательно получаем 3 лчеь кьь 8 а (Р )~ <и Е'е~ <ь1 ! ььеь ььчьи — 2 (174.18) где (174.!9) Выше и производная р и интеграл 7 не зависятот 2, поскольку они определяются исключительно универсальной функцией ер(х).
Таблица значений функции у(х) приведена а задаче 172. С помощью этой таблицы находим р = — р' (0) = 1,688, у = 0,464. (174.20) Отсюда для полной энергии атома, т. е. для суммы трех выражений (174.18), получаем гель Г 2 ~ ч гьеь Е = — — ( — р+ — У ~ = — 0,680 †. (174.21) а (5 10 7 ' а Так как и 2-ч», то полная энергия пропорциональна л*ьн Е = — 0,76872ч ридберг = — 20,932вь эВ. (174.22) С помощью метода, развитого в задаче 151, доказать теорему вириала для модели атома Томаса — Ферми. В качестве следствия этой теоремы получить связь между величинами р и о, определенными в предыдущей задаче (см.
(174.20)), и выяснить, каков относительный вклад составных частей энергии атома в его полную энергию. Решение. Пользуясь масштабным преобразованием, заменим функцию и (г) набором функций пх (г) = Лнп (Лг), каждая из которых удовлетворяет условию нормировки ~п,(г) ( =г. В результате отдельные части энергии электронов (выражения (174.2) — (174.4)] преобразуются к виду: Е,„, (Л) = ЛтЕ„„„, Ейотен (Л) ЛЕйоттн Таким образом, получаем Е(Л) = ЛеЕ„„„+ЛЕ„„,„. Так же как и в задаче 151, мы должны потребовать, чтобы дЕ(Л)1дЛ=О при Л= 1. Из этого требования сразу же следует теорема вириала 2Еннн+ Епотм (175.
1) Подставляя в последнее равенство выражения (174.18), получаем р= —.1 7 2 (175.2) в полном согласии с числовыми значениями (174.20). Различные части энергии электрона (174.18) теперь можно выразить через величину l. Мы имеем 3 Еннн ' где отел и= — у. о (175.4) 1Тд. Теорема оириала длл модели атома Томаса — Ферми Г49 Задача 175. Теорема нарвала для модели атома Томаса — Ферми 150 1е'. Мнагсчастичньее еадачи. Б. Очень большое шсла частиц Отсюда для полной энергии атома получаем Е= — —,(е, 3 (175.5) что опять-таки находится в согласии с числовым результатом, найденным в конце предыдущей задачи.
Как и должно быть, сравнение выражений (175.5) и (175.3) вновь приводит к теореме вириала. Задача 176. Приближение Тайтца для модели атома Томаса †фер В случае нейтрального атома вместо универсальной функции Томаса — Ферми ф,(х) можно воспользоваться очень хорошим приближенным выражением 1 ф(~) 11 связаны соотношением ! п(г)= — ( — 2 ) Бч (176.3) Отсюда следует, что условие нормировки ь 4я ~ ген(г) е(г =Л а (176.4) можно записать в виде — „(22) н ~ гн ф,п (х) Ь = Я. о (176.
5) Вто равенство является для функции ф,(х) точным, если х = — и а = 0,885342 ч» а (176.6) выбрав фигурирующий в нем параметр сс надлежащим образом. Предполагая, что функция ф удовлетворяет точному условию нормировки и что се не зависит от Я, найти числовое значение этого параметра, а также сравнить числовые значения функций е Решение. В задаче 172 было показано, что плотность электронов п(г) и потенциал атома (в атомных единицах) 'е'(г)= — —, р,(г) г (176.2) 175. 7)риближениа Тоатца длл модели атома Томаса — Ферми 151 Теперь мы заменим функцию фе приближенной функцией ф, определяемой выражением (176.1), но будем считать, что условие нормировки по-прежнему остается в силе.
После замены переменных у сзх=(а/а) г получаем 8 1' 2 ) .— ( а )»П ~ )» у»(у о (176.7) Последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки и = у'. Действительно, нетрудно проверить, что )" ~=2( ( 1 + р ) з 2 ~ ( и а ~ 1 ) з = 4 ь ( и + 1 ), + а ' С 1 К Подстановка пределов интегрирования у=О и у=оо дает зна- чение зз)8, и в силу (176.7) получаем а = ( — ) а = 0,60570лч а. »' 2Етц» (,9) (176.8) Отсюда с учетом соотношения (176.6) находим а = 0,53625, (!76.9) Используя полученное значение параметра сз, можно сравнить числовые значения функций ф, и ф.
Соответствующие данные приведены в нижеследующей таблице. Замечание. В оригинальных работах Тайтца (Т»е!з Т., Лопгп. Оьепт. РЬуз., 25, 787 (1956); 2з. Ме!иг1огзс)»., 23а, 191 (!968)! вместо наи»его нормироеочного множителя 0,60570 !рааенстио (176.8)) использован множитель 0,64309. Таким образом, приближение Тайтца не удовлетворяет точному условию нормироики. Однако и его приближении разности»р — »р» и наиболее существенной области 0 < х < 0,5 несколько меньше наших, хотя при х > 1 наше приближение лучше.
о О,) 0,2 0,5 ),О 2,0 5,0 !0,0 1 О,9ОО8 О,8156 0,6219 0,4237 0,2328 0,0738 0,0247 ! 0,88!7 0,7931 0,6070 0,4240 0,2430 0,0788 0,0243 о -1-0,0!9! +0,0225 +0,0!49 — о,оооз — 0,0! 02 — О,ОО5О +0,0004 !52 Я. Многочастичиые оодочи, Б. Очень большое число частиц Задача 177, Вариационный метод для модели атома Томаса — Ферми В вариационной задаче, эквивалентной дифференциальному уравнению Томаса †Фер, использовать в качестве пробных функций функции Тайтца ! сь(х) =(1 / Р1 считая а параметром Ритца.
Решение. Дифференциальное уравнение ч Ч Н (177.2) эквивалентно вариационной задаче об экстремуме- интеграла и 7= ') ( — ~р" + — х- ьф ь /с/х 71, 2 (,2 5 о (177.3) прн фиксированныс граничных условиях ср(0)=1 и !р(оо) =О. Подставляя удовлетворяющую граничным условиям пробную функцию (177.1) в интеграл (!77.3), получаем Ю 2ич 2, 1 ,) 1(1+ах)е+ 5 (!+ах)ь) + — х-Не 1 с/х. о Для вычисления этого интеграла положим во втором слагаемом ах=/е и воспользуемся формулой Ж ! / ! 7 1 35 (1+)е)ь 8 1(1-!-)е)т+ б (1+(е)о+24(1+)е)е+ 35 1 35 + — — + — агс1п /), 18! +)е 16 справедливость которой нетрудно проверить. В результате на- ходим 5 ( +128 )' (177.4) Таким образом, условие экстремума с/.//с/а=О дает а=(255 ) =0,570.
(177. 5) Это значение а лишь слегка отличается от значения а=0,535, которое, как было показано в предыдущей задаче, удовлетворяет 178. Влияние экранировки на к-мектроры 133 точному условию нормировки О ~Ухр' (х=1. о (177. 6) В нашем же случае значение интеграла равно з в 32 ч 8 33' т. е, приближенная функция, минимизирующая значение интег- рала у, соответствует наличию в атоме "/„Е электронов, Задача 178. Влияние экранировки иа К-электроны Найти поправку к энергии связи К-электрона, обусловленную экранировкой. При расчетах использовать приближение Тайтца для модели атома Томаса †Фер.
Решение. Предположим, что из атома с зарядом ядра Е удалены единичный ядерный заряд и один из двух К-электронов. В результате такой операции у нас получился бы нейтральный атом с зарядом ядра Я вЂ” 1. Если теперь вернуть ядру удаленный ранее положительный заряд, но пренебречь его влиянием на движение оставшихся г. — 1 электронов, то полученная таким образом система зарядов будет создавать в пространстве электростатический потенциал, описываемый формулой (ниже используются атомные единицы) Ф (г) = —, + —,!р(х), ! Я вЂ” ! (178.1) где !р(х) — функция Томаса — Ферми от переменной х= — ', а=0,88534(7 — 1)-ч.
р (178.2) Если теперь добавить к этой системе ранее удаленный К-электрон (заряд — 1), то его потенциальная энергия будет равна У (г) — Ф (г). (178.3) У (г)= —— 2 Для дальнейших расчетов воспользуемся теорией возмущений. Без учета экранировки выражение для потенциальной энергии К-электрона имело бы вид 154 Л'. о1ноа(частичное еадачи. Б.
Очень большое число часе(иа Таким образом, с учетом экранировки имеем г †! 2 вЂ У (г) = — †: (р (х) 1г, (г) + — 11 †(р (х)]. (178.4) В пренебрежении экранировкой энергия Е, н соответствующая ей волновая функция и,(г) К-электрона определяются выражениями лме Е, = — — Ле, и„- — е- в'. (178.5) Благодаря экранировке энергетический уровень в первом порядке теории возмущений сдвигается иа величину ,2 — 1 ЛЕ, = ) и', — (1 — (р) и, е!т.
Последнее выражение после подстановки в него функции и„ принимает вид ЬЕ, 4Е' (Я вЂ” 1) ~ гв-~в'~! — ф (х)~ с(г. (178.6) о Теперь уже можно воспользоваться приближением Тайтца (см. задачу 176): (р(х) + ,, а 0,53625. 1 (178.7) Чтобы вычислить интеграл (178.6), перейдем к новой переменной г р (1+ах), (178.8) где ~ = 22 — = 3,3028 (Š— 1)-'г . (178.9) В результате получаем Ш рч реч ье е(е — це~ '(( — ь — — ь —,)е(.
((78.(ы Фигурирующий здесь интеграл Е,(р) е '— (178.11) представляет собой хорошо известную функцию, асимптотическое поведение которой прн больших значениях р описывается, рядом е ВГ 11 21 3( Е (Я = — ~ 1 — + — — — ' ~ ... ) . (178. 12) е р ~ р рч рз 156 гч'. Мноеочастичние задачи. Б. Очень большое число частиц то для грубой оценки квадратный корень можно заменить степенным разложением, и мы получаем аЕе АЕ ЯЖЛ 21Е,!= г Таким образом, экранировочная постоянная примерно пропорциональна 2п . Если для оценок воспользоваться грубой формулой вида з= оЛО, то с ее помощью нетрудно получить следующие пары значений: 2 =20 50 80 о = 1,03 1,12 1,15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
