Том 2 (1129331), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. в пренебрежении оператором Нои решение уравнения Шредингера будет иметь вид (уо (г,, г,) = е" ' и, (г,). (166.6) Волновую функцию первого приближения можно разложить по полной системе ортонормированных функций (и, ): (7(г„г,) =е'"" и,(г,)+~' Еи(г,) ии(г,). (166,7) и Здесь знак суммы следует понимать как суммирование по состояниям дискретного спектра и интегрирование по состояниям непрерывного спектра, а штрих означает, что суммирование не распространяется на состояние с р = О.
Подставляя выражение (166.7) в уравнение Шредингера, получаем Х' (у)ри+ Р!' — 2М(В'и — И'з)) ~и — 2МН Ри) и (г ) = =- 2МН Еги'г ио (Гз). В первом порядке теории возмущений мы можем пренебречь в леВай ЧаСтИ ЭТОГО ураВИЕНИя ЧЛЕНОМ С Нии ВВОдя ОбпэиаЧЕ!ГИЕ йи =~ -2М(~ и-1~~ч), (166.8) 1аа. Неуяруеае рассеяние 115 мы, таким образом, получаем ~чР~'(П)Ри (»ч) +)ее Ри(»с)) ии(»е) = 2МН„е Я' и,(» ). (166.9) Умножая последнее уравнение на функцию и', (»,) и интегрируя по переменной»„приходим к совокупности независимых дифференциальных уравнений для функций Р,: у',Рч + й;Рч = Фч (»,), (166.
1О) где Ф,(»,) =2Л4есе" ~ и',(»,) Н„и,(»,)е(ег,. (166.11) Каждое из уравнений (!66.10) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение и его можно решить с помощью функции Грина, т. е. мы имеем г я ~«,-» чя) ~г — г'! Фч(»)с(*г'. (166.!2) Чтобы получить формулу для сечения рассеяния, мы должны теперь исследовать асимптотическое поведение решения (166.12) при г, — со. Интеграл в выражении (166.11) для функции Фч(»,) прн больших значениях г, убывает как 1/г'„так как оператор Н„представляет собой энергию взаимодействия протона с нейтральным атомом и, согласно равенству (!66.4), стремится к — (», »,)1г', при г, >)г,.
Таким образом, наличие множителя Ф, (»') в подынтегральном выражении (!66.12) практически ограничивает размеры области интегрирования размерами атома. Поэтому прн г,— со можно предположить, что г,))г' и, следо. вательно, сяч«, Г (е-сяч 'сам«„«з Ф (»') е(зг' (166 !5) ~3 Последнее выражение представляет собой расходящуюся сферическую волну, которую можно записать в виде емч о Р, (»,) )' ((),) —, где амплитуда рассеяния 1 (д ) = — — ~ е-мч «сач 1«~ «1Фч (» ) е(ег' (166 15) является функцией угла, иа который рассеивается протон. Отсюда следует, что дифференциальное сечение неупругого рассеяния протона, сопровождающееся переходом оптического электрона 1!б Л'. Многочастичнмг оаоачш А.
Магог число частиц в щелочном металле в состояние т, будет равно <(о=- — ч ~ !'(б ) !'сИ . (166.16) Множитель й,/й появляется здесь из-за того, что скорость рассеянного протона, а следовательно, и связанная с ним плотность тока вероятности меньше соответствующих величин, относящихся к налетающему протону. Э!от вывод сразу же следует из формулы (166.8), если ее инзерпретировать как закон сохранения энергии. Остановимся теперь несколько подробнее на вопросе об угловом распределении неупруго рассеянных протонов.
Прежде всего введем в экспоненту (166.15) вектор и,, направление которого совпадает с направлением вектора г,, положив й,г'сов(г„г') =й, - г'. Используя соотношения (166.11) и (166.4), получаем ) (0 ) ~ ч(лг'осы-ач ! и х х~и„(г,) ( — р(г') —, ~и,(г,)уг,. ! Очевидно, что член с Р(г') не даст вклада в неупругое рассеяние (и~О). Формально это следует из ортогональности функций и,, а физически обусловлено тем, что взаимодействие протона с атомным остовом не может привести к возбуждению электрона, который не является частью этого остова.
Вводя далее переданный импульс К, = ч(! — гг,, получаем ) (д,) = — ~ с("г,и, '(г,) и„(г,) ~, оРг'. (166.17) Под знаком внутреннего интеграла стоит выражение, состоящее из двух сомножителей, каждый из которых можно разложить в ряд по сферическим гармоникам, зависящим от углов б' и д.; соответственно между векторами К, и г' и векторами г, и г': е ' = —, ~~' 'г"4н(2/+!) (с(ч(К,с') Ус,(д') !=о ! ~ч „4и у )г„'г'„„(д,), =о где (166 18! 117 1бб. Неунругае рассеяние Выбирая направление вектора К„в качестве направления полярной оси сферической системы координат, мы можем применять к функции У„,(д;) теорему сложения сферических гармоник: +н ~гн,о (бо) 1' за 1 ~я~~~ 1 о, )о (6 ) )Р ) 1 л, и (бо Ч)о)) где д', )р' и д„)ро соответственно сферические углы векторов г' и г,.
Теперь во внутреннем интеграле в формуле (166.17) можно произвести интегрирование по углам. Мы имеем ' — е с( г = ~е~~~ ~г К, '~г' 7~1я 1 е 1) (Кот'))~А, о (бо) бе' )=о о Воспользовавшись обозначением о вместо (166.17) получим 1'(д,) = 2М ) и' (г,) и„(г,) ~ д, (г,) У, „(д,) сРео (166.20) )=о Интеграл (166.19) вычисляется точно. Взяв в качестве переменной интегрирования величину у = К„г' и положив х = К,г„ с учетом соотношений (166.18) находим е ) )= 1) )о ' г 1* ')о ') )о) о.~-г)У ') )о)оо~. о Последние интегралы хорошо известны из теории бесселевых функций: ) у) +'1, (у) с(у =- х'+'1,, (х), о ) у '1,(у) с(у=х '1,, (х), е так что выражение, стояшее в фигурных скобках, оказывается равным (,г) (х) + 1, „(х) = (21+ 1) —. й (х) 1!8 !ч'.
Миогочастичиыс заоачи. А. Малое число частиц Следовательно, й'! (гч) = )л 4п (21+ 1) з! ч ' Кз (166.21) 1 и, —; — .,— уч,, (ге) )', (д„~р„) (166. 22а) (ось квантования направлена по вектору К,) и что и, =- — )(, (г,), ! тз (166.22б) получаем зм ~(дз) = —,б о)~4п(21+1) зч 1 ' Х., з(гч) Хч(г,) с(г, е (166.23) Состояния с различными значениями квантового числа и вырождены.
При неупругом рассеянии оптический электрон может перейти только в такое возбужденное состояние, которое является линейной комбинацией этих вырожденных состояний и в котором проекция момента количества движения на направление переданного импульса К, равна нулю. Что касается квантового числа (, то здесь никакого правила отбора не существует. В заключение следует отметить, что амплитуда (166.23) действительно зависит от угла рассеяния д,, так как от этого угла зависит величина К„: К, = (з'+ й„— 2йй, сон 0,.
(166.24) Входящую сюда величину 1з„можно определить из закона сохранения энергии (166.8); от угла д, она, разумеется, не зависит. Замечание. Зтн же результаты можно получить, применив к рассмотренному процессу золотое паивали Ферми (см. задачу 183). В расчете амплитуды рассеяния (166.20) можно сделать еще один шаг. Мы знаем, что состояния ич содержат в качестве множителя сферическую гармонику. Так как основное состояние и, не зависит от углов, то под знаком интеграла в (166.20) стоят произведения различных пар сферических гармоник. В силу ортогональности последних от суммы, фигурирующей в (166.20), после интегрирования останется только один член.
Учитывая далее, что 7а7, Электраннеа! гав в металле 1!9 Б. Очень большое число частиц. Квантовая статистика Задача 167. Электронный газ в металле В грубом приближении можно считать, что электроны проводимости в металле свободно движутся внутри потенциального яшика, стенки которого совпадают с поверхностью, ограничиваюшей рассматриваемый кусок металла, и препятствуют выходу электронов проводимости из него. Для куска серебра (плотность р =10,6 г)см', атомный вес 108, один электрон проводимости на один ион атома серебра), имеющего форму куба, найти а) максимальную энергию ь электрона, когда рассматриваемый электронный газ находится в основном состоянии, б) среднюю энергию электронов, в) давление электронного газа.
Тепловым возбуждением пренебречь. Решение. Допустимые значения энергии электронов в куске серебра, имеющем форму куба, объем которого равен !.', согласно задаче 18, определяются формулой (167. 1) где л„л„а,— положительные целые числа (1, 2, 3, ...).
В силу принципа Паули в каждом состоянии, описываемом тройкой квантовых чисел (а„л„ае), имеется два электрона с противоположной ориентацией спинов. Так как в рассматриваемом куске металла мы должны распределить очень большое число электронов, то в дальнейшем нам придется иметь дело в основном с очень большими значениями квантовых чисел.
Рассмотрим пространство с координатами л„ а„, л,. Каждой точке с целочисленными координатами, расположенной в первом октанте этого пространства, соответствует некоторое состояние с энергией (167.1). Обозначим через л расстояние от начала координат до рассматриваемой точки нашего пространства, тогда (167.
2) л*, + л, '+ л, '=- л', и можно написать, что число точек первого октанта с целочисленными координатами, заключенных между сферами радиуса л и а +е(а, равно 1 я — 4пл' е(л = — а ела. 8 2 !20 IК. Мносочастичние задачи. Б. Очень большое число частиц „Помещая" в каждую из этих точек по два электрона с противоположной ориентацией спинов, получаем, что между и и а+с(п имеются пледа электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
