Том 2 (1129331), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Нейглральная молекула водорода 105 Энергия связи молекулы достигает максимума вблизи точки 77 = 1,45 ат. ед., что соответствует равновесному расстоянию гс,=0,77А (экспериментальное значение раино 0,742 А) Энергию молекулы Е= — 1,139 следует сравнить с суммарной энергией двух невзаимодействующих атомов водорода, находящихся в основном состоянии, 2Е„=- — 1. Если обозначить энергию нулевых колебаний молекулы через ху,ага, то энергию диссоциации можно будет записать в виде 0 = 2Е, — ! Е + — йго ) = 0,139 — — йхо. Чтобы найти энергию нулевых колебаний, можно воспользоваться той же процедурой, что и в случае иона Н+ (задача 44), правда, теперь наша таблица определяет аппроксимирующую энергетическую параболу значительно менее точно.
Таким образом мы получаем с точностью до ~5 во значение 0,0!0 ат. ед., илн 0,27 эВ, которое полностью согласуется с экспериментальным значением г!ха =-0,54 эВ. Отсюда для энергии днссоциации находим 0=0,138 ат. ед. =3,75 эВ, в то время как по экспериментальным данным 0=4,45 эВ. Согласие между теорией и экспериментом не следует считать слиш- ком плохим по причинам, которые мы разъяснили в задаче 44, где аналогичная ситуация рассматривалась для иона Нз+, Замечание.
Следует отметить, что параметр у с ростом величины !7 !или р) стремится к единице, а функции 7 в к волновой функции основного состояния. В первоначальном методе Гайтлера †Лондо это значение использовалось на протяжении всего расчета, так что там не было второго вариационного параметра т. В этом грубом приближении для энергии диссоциация и равновесного расстояния л~ежду ядрами получались соответственно значения 2,90 эВ и 0,88 А. Все возрастающие значения параметра у, определяемые согласно нашей таблице при адиабатическом сближении двух атомов, описывают стягивание электронных волновых функций в процессе образования молекулы.
1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,145 1,152 1,160 1,164 1,166 1,164 1,161 1,!56 1,!23 1,127 1,!31 1,137 1,139 1,137 1,134 1,129 1,133 1,214 1,293 1,374 1,458 1,546 1,635 1,730 105 7У. Мносочастичные атдачи. А. Малое число частиц Лнтература Не!г!ег ау., !.опаоп с,, 25. Р)1уа., 44, 455 (1927!. Вычисление ннтегоала бп': Биясага У., Ъ. Р(1уа., 45 484 (1927). Варнацнонный параметр т: 1Рапл 3. С., Рпуа. Кеч., 31, 579 (1928); 77опсп 11'., РЬуа, кеч., 38, 2099 (1931).
Улучшенные оарнацнонные расчеты: .!атос Н. М., Соо!Ыде А. 3., )оцгп. С11егп. Рьуа., 1, 825 (1933); 3, 129 (1935). Задача 164. Рассеяние одинаковых частиц Пучок частиц с зарядом е сталкивается с покоящейся мишенью, сослоящей из частиц того же сорта. Как сравнить угловое распределение сталкивающихся частиц, ожидаемое в классической физике, с угловым распределением, полученным с помощью квантовой механики, если при выводе последнего учитывалась симметрия волновой функции? Рассмотреть этот вопрос для столкновения неполяризованных частиц со спином О, ! и 1! . Решение.
Амплитуда резерфордовского рассеяния в системе центра масс сталкивающихся частиц была получена в задаче 110. Она имеет следующий вид: о -Ес 1п ипп— ~ (()) и епсн, с 51П— 2 11„= Г(1+!на). (164.1) Величины я* и нп относятся к системе центра масс, причем СП аппп 51Л* яч= — й*= — Е'= —,, во ' (164. 2) к'=н, й*= — 75, Е*= — Е, 1 ! 2 ' 2 (164. 3) Отсюда следует ,о -сч!п ил*в н 1 с ~(б) = — — Е11.
51П 2 Чп = Г (1+ (н). (164.4) Угол рассеяния в лабораторной системе 6! связан с углом рассеяния () в системе центра масс соотношением В = — б. 1 2 где пг' — приведенная масса двух одинаковых частиц, шп= 1),гп. Относительная скорость п не зависит от выбора системы отсчета, поэтому для величин х, й и Е, относящихся к лабораторной системе, можно написать год. Рассеяние одинаноаих частиц Следовательно, для элемента телесного угла можно написать еЬ=2пз(п()еЭ=2п 4созгзз)пйе(сг=4созйе(11. (!64.6) С учетом этих замечаний дифференциальное сечение резерфордовского рассеяния принимает в лабораторной системе внд (164.
7) где я ег ег Даже с точки зрения классической механики эта формула нуждается в существенных исправлениях. Действительно, если обе сталкивающиеся частицы одинаковы, то рассеиваемую частицу нельзя отличить от частицы, выбитой из мишени: обе они дают равноценный вклад в сечение рассеяния.
Так как, согласно соотношению (164.5), сталкивающиеся частицы разлетаются под прямым у~лом, то частица, выбитая из мишени, летит под углом и/2 — чг к направлению падающего пучка, а вместо формулы (164.7) мы должны написать — ""=4соз 6~ — ) ( —.„+ г ) . (164.8) Именно это классическое выражение следует сравнивать с квантовомеханическнми результатамн, которые будут получены ниже. Согласно законам квантовой механики, мы должны складывать не интенсивности (т.
е. эффективные сечения), а амплитуды. Пусть сс(г) — несимметризованная волновая функция в системе центра масс, а г — радиус-вектор относительного положения частиц. Асимптотнка волновой функции, если отвлечься от логарифмического искажения фазы, имеет вид ем" г и (г) есг*г + с (б) Фигурирующую в этом выражении плоскую волну можно записать в виде Есн* (г1 -гг) Последнее выражение описывает две частицы, движущиеся вдоль оси ьч одна движетсЯ со скоРостью г1гщ а дРУгаЯ вЂ” со скоРостью — г!,о.
Если ввести сюда множитель, описывающий движение центра масс еен' ~» 'гн то у нас получится плоская волна егс» г, емг, Э 1ОЗ 1'1'. Миогочастичипге подачи. А. Малое число частиц описывающая движение частицы 1 (налетающая частица), при этом частица 2 (частица-мишень) будет находиться в состоянии покоя. Приведенные рассуждения относились к несимметризованной волновой функции двухчастичной системы. Чтобы произвести симметризацию, мы должны заменить и(г) на и (г) + аи ( — г), где в= ~1, Для сферической волны в асимптотическом выражении волновой функции это означает замену 1(б) на 1 (6) + в) (л — 6) . Отметим, что величина г при переходе к симметризованному выражению остается неизменной. Таким образпм, используя выражение (164.4), имеем — Си 1п пмп— - сп 1и ооп' 1(б) + е( (л — 6) = — -' —,епсь + е, (164.9) 51ап— 2 СО5'— 2 и следовательно, формула (164,8) для классического сечения рассеяния заменяется теперь формулой и ч и -Ы 1п п1п*в -151псоп' Е ~п которая после элементарных преобразований принимает вид / еп Мы видим, что от классического выражения полученная формула отличается наличием интерференционного числа.
Чтобы сравнить классическую и квантовую формулы для дифференциального сечения рассеяния, удобно рассмотреть отношение с еп 2 1дп Н сое ( — 1и 1дп Н ) до (,й. да„п + ~+1я Е В заключение мы должны решить, какая часть первично не- поляризованного пучка описывается симметричной амплитудой, а какая — антисимметричной.
Если обе сталкивающиеся частицы являются фермионами со спиноле 1!, каждая (два протона или два электрона), то их полная волновая функция должна быть антисимметричной, и поэтому симметричное по спину и антисим. !оз 764. Рассеяние одинаковых частиц метричное по пространству триплетное состояние будет участво- ВатЬ В раССЕяНИИ С ВЕСОМ ау'„а ОбЛадаищЕЕ ПрОтИВОПОЛОжНОй симметрией синглетное состояние — с весом '),.
Таким образом, имеем 3, ! г(о==- — Ио + — с(о 4 4 где индексы ~ соответствуют двум возможным значениям величины е в формуле (164.!1). Следовательно, в экспериментах с не- поляризованными пучками 3 1 ! Наев 4 + 4 с ев 7яв 6 сов ( — !н снв 0 ) нт (,й. — =1— до„а !+7к'н (164.13) как йб Ф и г. 64. Рассеяние двух одинаковых фермионов. Покаааиа угловая аввисимость отнощения квантового к классичесиому сечению В окрестностях О' н 99' имеется бесконечное число убывающих во амялнтуле осинллввна График этой функции для случая рассеяния протонов на протонах при энергии Е = 100 кэВ показан на фиг.
64. Практически 100 кэ — это то наибольшее значение энергии, при котором в рассеянии еше не появляются сколько-нибудь заметным у,о образом аномалии, возникающие благодаря короткодействующим ядерным силам притяжения между протонами (см. след уюшую задачу). В рассматриваемом нами случае н=0,50 Кроме того, выражение (!64.13) не меняется при замене 6! — и/2 — 6!, поэтому при 0 !5 др 45 бр 75 уа вычислениях достаточно ограничиться интервалом углов 0 ( 6! -' 45'. Если перейти к существенно более низким энергиям, величина н может стать настолько большой, что в рассматриваемом интервале у функции сов(х 1п1ца 8) появится несколько осцилляций. 1!ля очень больших значений величины к эти осцилляции будут настолько быстрыми, что их нельзя будет разрешить экспериментальным путем, и сечение рассеяния будет описываться классической формулой.
Если сталкивающиеся частицы являются бозонамц и спин каждой из ннх равен нулю (например, две ск-частицы или два п-мезона), то возможно только пространственно симмегричное состояние с е=+ 1. Разумеется, для а-частиц е' необходимо 11О гр. Многочостичные задачи. А, Малое число частиц заменить на 4е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
