Том 2 (1129331), страница 25
Текст из файла (страница 25)
аН !Се! ()х ! (а< )в зн! Вероятность же обнаружить систему по-прежнему в основном состоянии имеет вид аФ (Лы)з . зЮ )С,)а=Спи' 2 + „з+(аейа З(П' —, (180.15) Согласно формуле (180.14), переход системы в возбужденное состояние представляет собой типичный резонансный процесс: вероятность возбуждения быстро падает по. мере роста величины ) Лш ~. Необходимо подчеркнуть, что наше рассмотрение правомерно лишь до тех пор, пока выполняется условие (180.7).
Процесс возбуждения системы периодически повторяется с частотой Я, определяемой выражением (180.11), которое в основном зависит от величины матричного элемента. Спустя время — а=1, 2, 3, (180.16) система вновь будет обнаружена в основном состоянии. Таким образом, если периодическое возмущение, например световая волна, включается в момент времени (=О, а затем выключается в момент времени (=(„, то в результате мы не обнаружим никаких изменений в состоянии системы. Приложение. Пусть гамильтониан Н описывает взаимодействие г-электрона магнитным полем М„направленным вдоль оси г. В этом случае величина (ыг — ы,) равна расстоннию между уровнями, отвечающими противоположным ориентациям спина. Если состояние ) 2> соответствует верхнему уровню, а состоЯние ) (> — нижнемУ, ю ые=2РЯеГга.
ПУсть тепеРь возмУщенпем слУжит переменное магнитное поле, М' совы(, так что йг = — и (а. М') соз ы(, и = — —, га 2тс ' Если поле М' параллельно полю М„то матричный элемент <! ! йг ( 2> обращается в нуль. В этом случае каждое из состояний ( )> н ) 2> независимо подвергается действию возмущения, но переходы между нимн отсутствуют. Если же поле М' перпендикулярно полю М, (можно, например, считать, что оно направлено вдоль оси х),то диагональные матричные элементы оператора йг обращаются в нуль и мы приходим в точности к той самой задаче, которая была разобрана нами выше, причем в данном случае < ! 1 йг ( 2> = <2 1 рг ( ! > = — )ь,уб"'.
Согласно полученным ранее результатач, если ы т ыг, такая система будет вести себя резонансным образом, попеременно переходя из одного магнитного состояния в другое. рассмотренный пример представляет собой простейший случай аарамагнитиого резонанса. 6* 184 У. Неепюционарные задачи Задача 181. Теория возмущений Дирак» Пусть у атомной системы имеются невырожденные стационарные состояния (чрз>. В момент времени 1=0 система находится в основном состоянии (тр,>; с этого момента на нее начинает действовать возмущение (зависящее или не зависящее от времени), которое вызывает переходы в другие состояния !тр,>.
В момент времени 1 возмущение выключается. Считая возмущение малым, найти вероятность обнаружения системы в состоянии !ф,>. Решение. Пусть состояния невозмущенной системы удовлетворяют уравнению Шредингера ; Ш !чрз> = О !чрз» $ д (181.1) где ! ф„> = ! и > е-е"'л', и пусть, кроме того <1(й>=б„с (181.2) После включения возмущения йУ состояние системы будет описываться уравнением —,,—,!ф>=(н+ йу)!ф>. й и (181.3) Состояние !ф> можно разложить в ряд ! тР> = Хо» (1) ! лРа>.
(181. 4) В силу соотношений (18!.2) из формулы (181.4) следует" ~л~'!пз (() !'-1 (181.5) Величина (аа (л представляет собой вероятность обнаружить систему в состоянии !чрз> в момент времени 1. Подставляя сумму (181.4) в дифференциальное уравнение (18!.3), получаем $ — — ~ (аз — (ол аз)!тр > = ~~~' (Йюь+ Яу) оа !чра>. Умножая последнее равенство почленно на (1! и учитывая затем и Если наряду с дискретным имеется непрерывный спектр, то последний путем введения куба периодичности формально можно преобразовать а дискретнмй спектр и включить его, танин образом, без дальнейших осложнений в сулимы (!81.4) и (181.5).
И1. теория вазмуимвиа дилака соотношения (181.2), находим а = — — ' 'С'е-с'"~-~а ! <1) Ч7(й>а Хс э (181.6) а„(0) = бвп (! 81,7) В случае 1ФО вместо (181.6) получаем а = — — е-'~"'е- а' <1( яг(0>. Х (181.8) Заметим, что по сравнению с задачей 179 наше рассмотрение имеет теперь значительно менее общий характер, так как мы пренебрегаем обратными переходами из состояния (1> в состояние )О>.
Интегрирование уравнения (181.8) дает а,(1) = — — Г<1) йг)0>е-'<" -"дгг(1'. (181.9) о Величина этого интеграла в значительной мере определяется тем, как именно возмущение ((Г, а следовательно, и его матричные элементы зависят от времени. Наше приближение правомерно лишь до тех пор, пока 1<1)в' ~ о> ) с й (181.10) так что все коэффициенты а,(1) все время остаются малыми.
Надо заметить, что в силу неравенства (181.10) < вМ ~о) ~)'~» 1<Наг ~о>~ Так как стоящая в числителе энергия возбуждения обычно значительно больше матричного элемента, стоящего в знаменателе, До сих пор мы не прибегали ни к каким приближениям, и последнее уравнение является точным. Оно отражает тот факт, что скорость перехода в состояние ~1> зависит от всех состояний системы, которые при действии данного возмущения комбинируют с состоянием (1>. Разумеется, этот же вывод следует и нз соотношения (181.5). Действительно, если один из коэффициентов, скажем а„изменился, то должны измениться и другие коэффициенты, так чтобы сумма (181.5) оставалась постоянной. (См.
также задачу 179, где рассмотрен случай системы с двумя возможными состояниями.) Если возмущение мало, то для получения первого приближения мы можем подставить в правую часть уравнения (181.6) начальные значения 166 1с. Неснсацианарнои задачи то показатель экспоненциальной функции, фигурирующей в формулах (181.8) или (181.9), может оказаться довольно большой величиной, поэтому коэффициент ас(1) будет в этом случае осциллирующей функцией времени, что не вполне согласуется с основной идеей, лежащей в основе используемой нами теории возмущений. В нижеследующей задаче показано, каким образом можно избавиться от этой трудности. Задача 182. Периодическое возмущение н резонанс Пусть атомная система, рассмотренная в предыдущей задаче, подвергается действию периодического возмущения (ус (с) ф"е-сас ( ф"Фесас (182.1) Обсудить вопрос о резонансном поглощении и выяснить, каким образом влияет на вероятность переходов конечная ширина спектральной линии возмущающего поля.
Решение. Подставив выражение (182,1) в общую формулу первого порядка теории возмущений (181.9) и выполнив интегрирование, получим с ес Сис ио а) с ас(1)= — — )<1)У'(О>, „„+ Энергия возбуждения, Е„„= Ф (асс — асо), является положительной величиной, поэтому при резонансе, когда Ьср = Е„,о, первый член в выражении (182.2) значительно больше второго члена, Таким образом, если выполнено условие частот Бора ы = сас а'о (182.3) то система забирает энергию от приложенного к ней переменного поля и мы имеем 1 1~<1 ~ оассо) О>р Мп З (мс мо со) С (ас (1) (' = —, (182 А) (осс ыо м) Эта формула остается справедливой и в том случае, когда спектральная линия возмущающего поля имеет конечную ширину.
Если интенсивность возмущающего поля в интервале частот между ас и ас+ с(ас характеризуется выражением р (ас) с(ас, то можно написать ! 2 (мс соо м) С ) ас (1) (о = р (ас) ч!<1! У') О>!о с(ас. (182.5) и' (мс — ыо — ос)' 1Вх. Периодическое возмущение и реюнинс ! 7 Вводя сюда новую переменную интегрирования х = — 1ю — (ю, — о1„)11, ! получаем ( а, (1) !е = 21 ~ р(щ,— ю, + 2хИ) ((! ( ~ ) О)! а1п, «с1х. Фиг. 70.
Функция а!пех(ха, описывающая естественную форму спектральной линии. Фигурирующий здесь множитель з!пах)хе имеет резкий максимум при х=0 (фиг. 70), поэтому основной вклад в интеграл Ф происходит от области ~х~ < и. Внутри этого интервала мы, очевидно, имеем (2х/11(2п)Г. Так как в рассматриваемом слу- чае должно выполняться условие (181.10), согласно которому ~(1(э'~ о> ~ <( —,, $ 1а,(г)!е 2п(~(Е~ — ~0)~ р(ео,— що), (182.6) из которого видно, что вероятность обнаружить систему в состоянии ~ !> растет пропорционально времени г.
Это позволяет ввести не зависящую от времени вероятность переходе, опреде- и так как матричный элемент обычно мал по сравнению с энергией возбуждения, то аргумент функции р можно заменить разностью го,— гое. Аналогичными соображениями можно воспользоваться и при рассмотрении матричного элемента, который можно, таким образом, считать не зависящим от переменной интегрирования х. В результате получаем выражение р. Наспаяионарнем жхдачи лив ее соотношением Р~= ~ 1~~(1) )з.
1 (182.7) В силу (182.6) вероятность перехода имеет вид Р, = 2тх ~(1~ — ~0)~ р(оз,— сое). (182.8) Задача 183. Золотое правило для рассеяния Пучок частиц с начальным импульсом Рг=йй! упруго рассеивается на потенциале йу (г) внутрь телесного угла с(ЙР причем в конечном состоянии Р =Фйу. Пользуясь нестационарной теорией возмущений Дирака, получить дифференциальное сечение рассеяния с(о)сИР Решение. Согласно (181.9), в первом порядке нестационарной теории возмущений Дирака ,(1) = — — ' ( <11)Р ~ ~ ~-« - ~ ' (Р. 33 Если матричный элемент не зависит от времени, то этот интеграл легко вычислить, и в результате получаем следующую основную формулу: яз (ю — юу)з И начальное и конечное состояния принадлежат непрерывному спектру.
Вводя нормировочный объем, соответствующие волновые функции можно записать в виде (1> = у ч*егаг <) ! = у-чае-!ау г (183 3) При конечном объеме У в окрестности состояния <1) имеется очень большое число близких к нему состояний, причем в, пределе У- оо даже в бесконечно малой окрестности их число оказывается бесконечным. По этой причине вопрос о вероятности перехода в одно отдельно взятое конечное состояние <!1 с вполне Замечание. Последнее выражение по форме очень напоминает золотое правило, которое рассматривается е задаче !83. Следует, однако, иметь а виду, что золотое правило получается н результате суммирования по близко лежащим конечным состоянкям, н то время как выражение (182.8) получено путем интегрнроаания по непрерывному спектру частот влеихнего возбуждающего поля.
При этом мы приняли без доказательства, что суммировать необходимо не амплитуды (аыражение (!82.2)1, а вероятности [аыражение (182.5)1. 188. Золотое правила для раеееяпия 169 определенным значением импульса ФФ становится бессмысленным, и мы можем спрашивать лишь о вероятности обнаружить рассеянные частицы в некотором интервале конечных состояний. Пусть рг (Е ') йЕе означает число состояний внутри интервала йЕ~ конечных энергий Е и пусть эти состояния характеризуются импульсами, лежащими внутри телесного угла ййр тогда вероятность перехода в единицу времени в указанный интервал телесных углов будет определяться выражением йТ= Я~аг(1) 1е р (Е ) йЕр 1 (183.4) Такое определение является разумным лишь в силу того, что приведенное выражение не зависит от времени, а интегрирование фактически распространяется на очень узкий интервал энергий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
