Том 2 (1129331), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для дальнейшего заметим, что в силу эрмитовости оператора р <о!р! 1>=<е ~р~о>, тогда 1<11рх~ о> Р = з !<11р10>Р после почленного умножения на <1 ~ к и х1А> соответственно и последующего вычитания одного уравнения иа другого получаем — (<11х че1й> — <а1х р 1!>*) =7ь(ша — шд <1~ х1й>. (!87 ба) йз 2т (В7. До«версия света. Силн осцилляторов причем в правой части последнего соотношения нет необходимости в усреднении, так как там стоит выражение, не зависяцее от ориентации атома.
Таким образом, получаем 3$ л' иэ — но — н "" " ' Поскольку выражение !ь', з)п о>( = «ао представляет собой мгновенное значение напряженности электрического поля, можно определить поляризуемость атома а, полагая, как обычно, Роно = ««8' Отсюда имеем (<! ~р(о>(о (187.8) з л )((т, „)' о В классической оптике для показателя преломления и справедлива формула я' — ! 4п яо+2 3 — = — Ма, (187.9) где М вЂ” число атомов в единице объема. Что же касается классической поляризуемости, то она представляет собой сумму вкладов от всех электронов атома и ее можно записать в виде (187.!0) т нх «оо Лалее из формулы (187.9) следует я" — ! 4я ее о яо-(-З 3 т ~ (,— „,')е о ! (187.
11) Здесь о>х — частота собственных механических колебаний электрона номер )., а так называемая сила ос«(аллятора )а указывает, какое число электронов в атоме имеет частоту собственных колебаний, равную «ох. Первые сомнения в правомерности классической картины явления были вызваны тем, что силы осцилляторов, как оказалось, не являются целыми числами. Формально квантовое выражение (18?.8) приводит к очень похожему результату. Лействительно, мы можем написать (,~, (т,—,+ )1<((Р(О>р Ъ вЂ”. (<((Р(О>р д [(«о, — н„)о — но! ЗЬ Хи (т« — «оо)' — но ' 184 р.
Ниспационарные задачи где силы осцилляторов теперь определены соотношением 2глв (187. 12) Формальное совпадение квантового результата (187.! 1) с классической формулой (187.10) оказывается, однако, обманчивым. В выражении (187.11) суммирование происходит не по электронам, а по возбужденным состояниям атома, поэтому суммирование по множеству термов оказывается необходимым даже в нашей одноэлектронной задаче. Вместо частот собственных колебаний вз в квантовой формуле фигурируют разности и,— а,. И наконец, силы осцилляторов 7, †э уже не числа электронов, а скорее некие постоянные, характеризующие интенсивность дипольных переходов, значения которых определяются, согласно (18?.12), матричными элементами электрического дипольного момента.
Таким образом, не удивительно, что эти постоянные, вообще говоря, не являются целыми числами. Задача 188. Спин-флип в магнитной резонансной системе Решение. В уравнении Шредингера д. $ тф 2тр (188.1) последний член в правой части обусловлен энергией взаимодействия магнитного момента частицы (х с магнитным полем зс. Оператор магнитного момента определяется равенством (188.2) где о — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули (см. задачу 129). Частица со спином '1,Ь и магнитным моментом (х движется в направлении оси у в постоянном и однородном магнитном поле Зс„ которое параллельно оси г. В таком поле спин частицы ориентируется либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси г. Для определенности будем считать, что он направлен в положительную сторону.
Когда частица в момент времени 1=0 проходит точку у=0, она попадает в область, где действует еще одно однородное поле, зс', параллельное оси х. В момент времени 1=1„когда частица проходит точку у=1, она покидает область действия поля Зс'. Какова вероятность, что за указанный промежуток времени ориентация спина частицы изменится на противоположную? 1ВВ. Слил-флил е магнитной резонансной системе При ~ (О на частицу действует только поле ме)(г, поэтому рещение уравнения (188.1) записывается в виде ф=е'"" ""(,0) /1'~ (188.3) а энергия частицы равна Ьзй ЙО) = — — )$91', 2т о' (188.4) Если теперь в момент времени 1=0 включается поле 2Е' ~~х, то состояние частицы начинает меняться и его следует описывать волновой функцией вида ф=е'Ме-иео ~а(1) (0)+ Ь(1) Я~ =е'<'е- со (Ь ~1~) .
(188.5) причем выше мы положили йеае (183.6) риз 0. 2Е) =р(~,~,+~'о„) =р~ е и, следовательно Ь 1 Я'а — Я„Ь Расписывая далее уравнение Шредингера по компонентам, полу- чаем —,а= — )е (Я,а+Я'Ь), й й.= —, Ь = — р (Я'а — Я„Ь). (188.7) Чтобы найти решение этой системы уравнений, положим а (г) = Ае'"', Ь (1) = Ве'"', в результате вместо (188.7) у нас получится система линейных Если можно не учитывать искривление траектории частицы, вызванное действием силы Лоренца, которая перпендикулярна оси у, то можно считать, что в направлении оси у импульс частицы Ы все время остается постоянным. Прн подстановке выражения (188.5) в уравнение (188.1) нужно соблюдать известную осторожность, когда дело касается члена, ответственного за магнитное взаимодействие.
Мы имеем Р. Нистачионарньи эадачи алгебраических уравнений ()ьЯ,— Ьо') А+рЯ~'В=О, ТЯГА — (рЯ, +Йв') В =О. Определитель этой системы обращается в нуль при условии, что а (188.8) где к $ Жту" — А' Вьп=, .' А, „. Постоянные интегрирования А, и Ап определяются из начальных условий: а(0) = 1, Ь(0) =-О. (188.9) Нетрудно проверить, что ,1 УЖ~+Я~ +Я, 2 'г' Я)+Я' А 2Уэт'+ тх'* С учетом этих результатов после очевидных преобразований най- дем а (1) = соз а'1+1 Я~' з1п а'1, ~'я'+я* Ь(1) =ю' ' з1па'(.
р,рг:+ т* (188.10) Легко убедиться, что (п(1))а 1 (Ь(1))п 1 Вероятность спин-флипа, т. е. вероятность обнаружить, что спин частицы ориентирован в отрицательном направлении оси г после того, как в момент времени 1=-1,= 1!и она покинула область, где действует поле зе', согласно формулам (188.10) и Таким образом, решение системы уравнений (188.7) можно записать в виде а(1) — А~ акая (- Ане-ечч Ь(1) = В еп"ч-1-Впе-'~'~, 7ВВ. Саинчфлиа в магнитной резонансной системе 187 (188.8), определяется выражением 1(з()е) !я = я „з)п* ( — ~/ Я~ + ЯГ' уе) . (188.1!) ульео+~ * Выражение (188.11) показывает, что рассматриваемое экспериментальное устройство можно использовать для определения магнитного момента атома со спином г/,гь (например, атома щелочного металла в основном состоянии).
Пучок атомов фокусируется, если спин-флипа не происходит, и де(зокусируется, если спин-флип происходит. Меняя в процессе эксперимента'напряженности магнитных полей, можно довести интенсивность пучка до минимума; !а(1,) ~„„„= я,рге ЯО+ р~' Минимум достигается при условии, что 1 и -" у'яд+ ж" — „= —, (188.! 2) Замечание. Строго говоря, частицу, находящуюся в момент времени Г=О в точке В=О, следовало бы описывать волновым пакетом (см. задачу 17). Однако в нашем случае зто не приносит особой пользы и вводить в рассмотрение волновой пакет нецелесообразно.
Такой способ определения магнитного момента, конечно, возможен только в том случае, если приняты специальные меры, обеспечивающие селекцию скорости, и величина о хорошо известна. Изложенная нами теория, разумеется, является весьма упрощенной, так как она не учитывает целый ряд деталей: отклонение от первоначальной траектории из-за силы Лоренца, неоднородность поля, используемого для фокусировки, поля рассеяния и, самое главное, динамические изменения магнитного момента за счет эффекта Зеемана. Наш подход скорее относится к случаю, когда имеет место эффект Пашена — Бака, т.
е. когда связь между орбитальным и спиновым моментами разорвана, но тогда может возникнуть вопрос, законно ли мы пренебрегаем изменением импульса, поскольку такое пренебрежение, очевидно, предполагает, что напряженность магнитного поля мала. Ч1. Релятивистское уравиеиие Дирака Замечание. В этой главе мы используем четвертую ноордннату ля=ты и евклндову метрику. Греческие индексы (иапример, р) принимают значения 1, 2, 3, 4, а латинские индексы (например, и) — только значения 1, 2, 3.
Задача 189. Квадрироваиие уравнения Дирака С помощью релятивистского закона дисперсии для дираковских плоских волн вывести перестановочные соотношения, которым удовлетворяют операторы у, а также получить неприводимое матричное представление этих операторов, где матрица у, диагональна. Решение. Если решением уравнения Дирака для свободной частицы ~ упдитр + хтр = О (189. 1) и является плоская волна (189.2) Чр — Г,'СМ» г-и!) то величины у должны удовлетворять алгебраическому соотношению )т„у„+к=О, Й,= —. (189.3) и Кроме того, они не должны зависеть от конкретного выбора величин йп. Последние можно исключить из соотношения (189.3) лишь с помощью релятивистского закона дисперсии: (тн= ~ з сз и его можно получить, квадрируя соотношение (189.3).
Мы имеем ха = ((Хйитн)' = — ~2~йи1гчтнт» (189.5) !89. Кваариравиние уравнения дарана !89 7иун + 7нуи — — 26и~. (189,6) Применяя аналогичную процедуру непосредственно к уравнению Днрака (189.1) и не используя плоских волн, получаем соотно- шение вида хе~> (Хуиои ) Ф = Х Х 7и7 о«84> ~ и / и последнее с учетом значений антикоммутаторов (189.6) переходит в уравнение Клейна — Фока: ( ) '~р — ее'~р = О. (189.7) Для величин у„можно построить неприводимые представления в виде четырехрядных матриц. Если 7» — одно из таких пРедставлений, то всЯкое УнитаРное пРеобРазование У~ 7иУ порождает некоторое другое неприводимое представление. По этой причине одну из матриц, скажем у„всегда можно предполагать диагональной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
