Том 2 (1129331), страница 30
Текст из файла (страница 30)
справедливость формулы (!91.7) доказана. Таким образом, дираковский спинор |р преобразуется по закону Ф' = ф+ —,' ~~'„,'~'„ероуру.ф. (191.8) о о Задача 192. Лореицевы коварианты Пусть à — один из 16 базисных элементов клиффордовой алгебры. Выяснить, какие можно построить лоренцевы коварианты вида 6=$ГФ, Ж= рв74. (192,1) У1. Релнтиеиаиекое ураенение Дарана !зб Решение.
16 базисных элементов рассматриваемой алгебры можно разбить на пять групп: 1. 1; 2 71 71. 73 74' 7171 7Лз 7Лз 717з 7174 7з71' 4 7,7з74 717171 717171, 7Л171' 5 71717374 Ниже для каждой из этих групп в отдельности мы будем конструировать билинейные формы вида (192,!). Прежде чем приступить к выполнению намеченной программы, исследуем трансформационные свойства какой-нибудь одной из величин (192.1) относительно бесконечно малого преобразования Лоренца хи=хи+ ~еирх .
з (192.3) В предыдущей задаче было показано, что закон преобразования волновой функции ф имеет вид ф'=(1+$) ф, (192. 4а) где 4 ~ Е~~ ~и~ ! е е 7и$ — $7и = Хе .7' (192,4б) Величина О преобразуется по закону О =ф'у,гф =ф (1+Р)7,Г(1+Рф, поэтому формально можно написать 6'=фГ'ф, Г'=7,(!+~!) 7,Г(1+из). (192.5) $е 7,— 7Де = ~~'„е1е71, з так как 7, = 7,. Далее, углы позоре~а е,„— чисто мнимые ее- личины, поэтому е,'з= — е,„и, следовательно, 716~ 6' 71 = -'- езз7з з Последнее выражение допускает дальнейшие упрощения, однако для этого надо более детально познакомиться со свойствами эрмитово сопряженного оператора с! .
Согласно соотношению (!92.4б), этот оператор должен удовлетворять перестановочному соотноп.ению вида 19К Лорекяева ксвариавты 197 Таким образом, имеем уДту,=у,(у,91 — ~~'.,е,,у )=51 — ~е„у ул (192 6) Кроме того, из соотношения (192.4б) при ец=в„, (действительные вращения в 3-мерном пространстве) вытекает 1 1 4 ЕЕ тУ"У~ 2 Х л ! 4 и, следовательно, эрмитово сопряженный оператор Р можно записать в виде 1 ! 91 4 ~ ~. емуьу'+ ~Ч" ему„у,.
(192.7б) 4 ! А Из двух последних соотношений получаем $+$! ~з~е„улу . (192.8) Подставляя теперь выражение (192.8) в формулу (192.6), находим угру< $ (192.9) Последний результат позволяет записать „преобразованный оператор" Г', определенный равенством (192.5), в виде Г' Г + (Гз — $Г). Теперь нетрудно применить это простое соотношение к выводу трансформационных свойств каждой из пяти групп величин (192.2). 1.
Для Г= 1 из соотношения (192.10) сразу же получаем, что Г'=1, поэтому 6= И-6 =фф; 6 =6 (192.!1) и, следовательно, величина 6 в данном случае ведет себя как скаляр. 2. Для Г=у„соотношения (192.10) и (192.4б) дают Г' = у„+~ е„, у„ поэтому закон преобразования теперь имеет вид 6и=фуэф-"6э=6. +Хзич6, (!92. 12) и, следовательно, величины 6 преобразуются как компоненты вектора.
!98 !//. Релнаьивисаьснае уравнение Дирана Первая часть последнего выражения сводится к дельта-функции Кронекера би„т. е. представляет собой скаляр (192.11), умноженный на единичныя тензор. Новые трансформационные свойства могут оказаться лишь у второй антисимметричной части, поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением выражения ! ои»= 9 (7и7» 7»уи) (192.13) Согласно соотношению (192.4б), имеем 97и7» = (7из — Х е„,ур ~! 7, — 7, (7»9 — ~ е,рур ~! — ~ еиауа7» 4 а / ( а / а или 7и7.9 — 97.7. = Х (а.иЬуи + з.и7.7.), и поэтому закон преобразования теперь гласит: би»=феи»ф- би»=би»+Х(е~цЛа»+е»аКа) (19214) и т.
е. величины 6и, ведут себя при бесконечно малых вращениях как компоненты леензора второго ранга. 4. Произведения трех величин 7 можно записать в более удобном виде, если ввести клиффордово число 7„ определив его равенством (192.15) 72 71727374' Мы имеем 727374 = 7172 737471 = 7272 747172 = 7374 717273 = 7474. Так как величина 72 антикоммУтиРУет со всеми четыРьмЯ величинами 7„, уи73 + 727и = О (192.16) то она должна коммутировать с величиной $, поэтому, применяя соотношение (192.10) к выражению Г=уиу„получаем Г = 7и7ь+ (72749 97иуь) = !7и + (7ич 57и)! 7ь. Таким образом, мы вновь возвращаемся к случаю 2, так что 3.
При рассмотрении третьей группы величин удобно сначала разбить каждое произведение 7„7, на симметричную и анти- симметричную части: ! ! Ь7» = 9 (7и7» + 7»уи) + 9 (7и7» 7» Ь). 199 193. Лрсстранснменная инверсия и теперь величины 6„преобразуются как компоненты вектора: 6и = ~~уиуеер — 6и —— 6 и + х.е еин6н ° (192. 17) Точнее говоря, рассматриваемая величина представляет собой не вектор (полярный), а псевдовектор. Смотрите в этой связи следующую задачу.
5. В этом случае яз соотношений (192.15) и (192.16) следует 6=вру,ер 6'=6, (192.!8) и мы заключаем, что величина 6 преобразуется как скаляр. В следующей задаче будет показано, что величину 6 точнее было бы назвать псевдоскаляром. Задача !93. Пространственная инверсия Выяснить, как ведут себя лоренц-ковариантные величины, рассмотренные в предыдущей задаче, при инверсии пространственных координат (преобразование четности). Решение. Прежде всего выясним, как ведет себя при пространственной инверсии спннор ер. По определению при пространственной инверсии„ (193. 1) х,'=х„ уравнение Дирака Ху ье Ф+х$ =0 (193.
2) и переходит в уравнение ~~Р~ УиТ) 4>' + хф' = О. (193.2а) Операторы ди так же преобразуются по закону (193.1). Более подробный айализ требуется в случае, когда имеется электромагнитное поле. Компоненты напряженности электрического поля вт» связаны с компонентами 4-вектора потенциала Аи соотношениями 4 я —— — — А„— деФ = — 1(де Ая — д, А,). 1 с Так как напряженность электрического поля представляет собой полярный З-вектор, то она при рассматриваемом преобразовании координат хя меняет свой знак. Отсюда следует Ая= — Ая, А;= А,.
(193.3) Таким образом, величины Аи преобразуются так же, как операторы д . По этой причине по тому же самому закону преоб- у!. Релятивистское уравНение лирика разуются и операторы Р„. Следовательно, уравнение (193.2а) можно переписать в виде —,"ел7 Реей'+уеРф -(-ива = О. Если теперь положить Ф'=7вР (193.4) то легко видеть, что последнее уравнение переходит в уравнение (193.2), поэтому равенство (193.4) представляет собой искомый закон преобразования спинора яр при пространственной инверсии. Что касается любой из величин 6 = ярГер = яр~7,Гер, то их закон преобразования гласит; 6 - р 7,гр'= реГ7,р= ру,гу,р, и, следовательно, можно написать 6 = ~РГяР 6 = еРГ еР, Г = 74Г7л.
(193.5) Г=1, Г'=1, 6' Г= ~„Г =7,7,7,= — 7, Обе рассматриваемые величины одинаковым образом ведут себя при пространственных вращениях, но при пространственной инверсии их поведение различно. В этой связи величину 1 на- зывают скалярам, а величину 5 — псевдоскаляром. Далее мы имеем 2. 6и=еР7ияР, Г=7 Ге = 7в7еуе = — 7е, 6;= — 6,, Гл 7 6е +6 4 6и = еР7иувеР Г = 7иув 1 е = 7вув7в7л = + 7е7в~ 6» = +6ы (193.9) Г;-7,7, = — 7,7„6; = — 6,.
Эти две величины также ведут себя при пространственных вращениях совершенно одинаково, но при пространственной инверсии их поведение различно, по этой причине величину 2 назы- Применим полученные результаты к каждой из пяти лоренцковариантных величин, введенных в предыдущей задаче.
Мы имеем 1. 6=е(пр, 5. 6=яйу,яР, 201 !94. Зарядовое сопряжение вают (полярным) вектором, а величину 4 — аксиальным вектором, нли псевдовектвром, 1 3. оие=фоиеЯР Г= 2 (7иуе 7 7и)~ Г', Го С',=С„ Гы = — Гы, бее = — бее Так как в рассматриваемой теории имеется всего один тензор, то необходимость в дальнейшей классификации отпадает. Задача 194. Зарядовое сопряжение Зная спинор яр, являющийся решением уравнения Дирака для частицы с зарядом е, построить зарядово сопряженный спинор вр„ описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака — е.
Решение. В этой задаче ради краткости мы будем пользоваться обозначением е пи —— — Аю йс где Аи — компоненты 4-потенциала электромагнитного поля. В этих обозначениях уравнение Дирака для частицы с зарядом е имеет вид ~ 7„(д„— ври) ф+ нф = О. (194.1) и Спинор ф„описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака, должен удовлетворять уравнению Хуп(да+ Ми) Фе+ кЯР. =О.
и Наша задача — установить связь между решением ф, уравнения (194.2) и решением яр уравнения (194.1). Прежде всего заметим, что оператор ди+(а„, фигурирующий в уравнении (194.2), появляется также и в уравнении ~ (да+ (аи) ф7„— нЯР = О, вР = ф" 7„(194.3) и которое представляет собой уравнение, сопряженное исходному уравнению (194.1). Производя в этом уравнении операцию транспонирования, находим 2',7п(ди р(а„)пр — кяр=О, и у!. Реентиеиетекае ураенение дирака 202 где (194. 4) последнее уравнение на некоторое клиффордово Умножим число С: ~ Су„(да + 1аи) шеф' — хСуееР е = О. и Полученное таким образом уравнение будет тождественно уравнению (194.2), если клиффордово число С одновременно удовлетворяет двум соотношениям — Суиуеф*=уаф„Суеф*=фе. (194.5) Чтобы найти величину С, исключим из этих соотношений спинор ф,: — Су, ул" = у,су.ф".
у„с= — Су„; (194.6) из них и определяется величина С. Поскольку мы имеем дело с однородными уравнениями, то в спиноре ф, всегда содержится произвольный постоянный множитель. Разумно зафиксировать этот множитель, постулируя, что зарядовое сопряжение не приводит к изменению нормировки: $1Ф $ъф (ф~ф) (194.7) Теперь в силу соотношений (194.5) имеем ф,=фу,с Ф и, следовательно, ф1ф, = фу,'С'Суф* = И*)' (у,"С'Су,) (ф').
Последнее соотношение идентично соотношению (194.7), если у,С Су,=1 илн (посколькУ Те = У„У, =- У,') соотношению С~С = 1. (194.8) Таким образом, С вЂ” унитарный оператор. Так как далее спинор у,ф* следует считать произвольным, то должны выполняться соотно|пения Гэй. Состоянии со смешанной спирапзностью (194.9) поэтому из соотношений (194.6) следует, что С коммутирует с 7, и 7, и антнкоммутирует с 7, н 7,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
