Том 2 (1129331), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Сравнивая эту систему уравнений с системой уравнений (197.12а)— Отсюда следует, что четыре функции А, В, С, Р удовлетворяют системе дифференциальных уравнений: В'+ЯС+хА=О, А' — (еР+хВ=О, Р'+ Я А +хС = О, С' — ЯВ+ хР = О. Комбинируя эти уравнения, можно преобразовать систему к более простому виду: ( — Р)' -1-(х — Я) (А — С) = О, (А — С)'+(х-1- Я) ( — Р) =О (197.12а) аул. Плотность тока в олевбраическоа формулировке 20з (197.!26), находим (197.
16) (197.17) на= аав„ иа = аав„ и, =ав„ А= — 1(и,+и,), С= — а (и,— и,), В=и,+и„ В=и — и. а 1' В случае и,=на=О спиральность равна +1, если же и, =и„=О, то спиральность равна — 1. Задача 198. Плотность тока в алгебраической формулировке Получить выражения для компонент вектора плотности электрического тока в случае состояния, описываемого собственным спинором и (г) = (па, + паау„) (1 — уа) (1 — !у,уа), (198,1) зи=(есиуии, и=и!Та В нашем случае ит = (1 — (уауа) (1 — уа) (ара' + ава'уа), (198.2) (198.3) так как клиффордовы числа ау,у„у„у, представляют собой эрмитовы операторы, Таким образом, имеем з„= аес (1 — ауауа) (1 — у,) (па,'+ ар,'у,) х х уауи (иаа + иаауа) (1 уа) (1 — ауауа) (198.4) Рассматривая компоненты з, и з„удобно переместить клнффордово число у на два места вправо, а клиффордово чнслоу,— на одно место влево: за,а = асс (1 (уауа) (уа 1) (авз аэа*уа) х х( .— .7.)(1+у) у„,(! — '77.).
Олсратор 1 — (у,у, коммутирует как с оператором у„так и с оператором у„поэтому з, а = асс (у, — 1) (( ) ао, /а + ! ш, (') — (ао,"ао, + ао,'ш) у,) (1+ у,) х Х [1 — аУ~У~) Уа (1 — ат~уа). Для компоненты с р = 1 произведение трех последних множителей записывается в виде (1 — !уауа) (у, — ! уа) = у, + ау, — ау, — у, = О. найденным в предыдущей задаче. Решение. Компоненты 4-вектора плотности электрического тока определяются выражениями у!. Реяятивиеязекае уравнение дирака е10 Аналогично для компоненты с (з = 2 имеем (1 — 17д,) (7, + !7,) = 7, — 17, + 17, — 7, = О.
Таким образом, как и следовало ожидать„ компоненты плотности тока, перпендикулярные оси г, оказываются равными нулю. Выполняя такие же преобразования для компоненты з„ получаем з, = !ес (7, — 1) (шз" — пз,'7з) (евз7з + шз) (1 — 7,) (1 — 17Д)', Так как (1 — !7д,)з = 2 (1 — 17з7з), (198.5) то выражение для з, принимает вид з, = 2!ес (7, — 1) ((пз,"ю, — из,'пзз) + (( ее, !з — ( пз, ~') 7,) (1 — 7,) (1 — 17,7,).
Перемещая здесь первый множитель (7,— 1) на одно место вправо, получаем з, = 21ес ((ш„"изз — евзшз) (1 — 7,) +(! еа, /з — ! пз, !з) 7, (!+ 7,)) Х х (1 — 7,) (! — 17д,). В силу соотношений (1+7)(17з)О(17)з2(174)(9988) второй член нз фигурных скобок не дает вклада в рассматриваемую компоненту, поэтому окончательно зз = 4!ес(ш,"еез и/эшз)(1 — 7а) (1 — 17з7з) (198.7) В случае компоненты аз совершенно аналогичные выкладки дают зз = !ее (! !7з7з) (1 7з) (еез+ еез7зНеез+ пзз7з) (1 7зй1 !7з7з) = =-2!ес(! — 7,)(()из,('+ (ш,!з)+(еа,'ш, +пз,'ш,)7,) (1 — 7,) (1 — !7,7~) = = 4(ес(! шз )з+ (и~з )з) (1 — 74) (1 !7д ) (198.8) Выражения для компонент з, и з, представляют собой клиффордовы числа одинаковой структуры. Чтобы выяснить нх физический смысл, мы должны сравнить найденные выражения с нормой спинора ни =- (1 — Ррд,) (! — 7з) (пзз + щз7з) 7, ( з+ аз7з) (1 — 7,) (1 — '7з7з), которую с помощью тех же преобразований можно записать в виде ии=4(/из, 1з — !из,/з) (1 — 7 ) (1 — (7д ).
(198 9) Собирая вместе полученные результаты, видим, что компонента а„плотности тока в направлении оси г, плотность заряда р(зз — — !ср) тдд, Ток прооодимосаи и ток пооприоацои и, наконец, норма, если отвлечься от общего множителя Г = 4 (1 — у,) (1 — 1у,уо), определяются очень простыми с-числовыми выражениями: а, = 1ЕС (1О,'1оо — Во1О,) Г, (198.10) р = е (( ю, )о + ! 1о, !') Г (198.11) ии = (! 1о, !' — ! и, /') Г: (198. 12) Как было показано в предыдущей задаче, в стандартном представлении и, = и, и и, = 1и„поэтому найденные выражения можно записать по-иному: 53 ес (и,'и, + и,"и,) 1', р =- е (( и, !о + ! и, 1о) Г, ии — (!и 12!и!2)Г 0 0 0 0 2 0 0 0 Го о о о~ .
!10000~ (О 0 2 0(' 'УТ +о =(О 0 2 О/ 0 0 0 2 ,0 0 0 Оl и, следовательно, 0 0 0 0 О 0 ! О (198.14) т. е. Г представляет собой диагональную матрицу с единствен- ным отличным от нуля элементом. Задача 199. Тон проводимости и ток поляризации а) Показать, что плотность тока частицы с зарядом е, а„=(ест,$; о„=!о; а,=еср, (199. 1) удовлетворяет уравнению непрерывности д'и др дх„ —" =0 или йч!'+ Р =О.
дЕ о б) Показать, что вектор а, можно разбить на две части: ао = о~+ач ь (199.3) Заметим, что в стандартном представлении оператор Г имеет очень простой вид. Мы имеем П. Релятивистское уравнение Лирики причем пространственные компоненты тока проводимости а, совс падают по фоРме с компонентами плотности тока )я в неРелЯ- тявистской теории. Вторая часть плотности тока зяи известна под названием тока поляризации. Решение а. Чтобы убедиться в справедливости уравнения (199.2), мы должны в дополнение к уравнению Дирака Хун(дн — 1ан) ф+хф=О, где д е ди д.
„' ан й'4н' (199.4а) рассмотреть аналогичное дифференциальное уравнение для функции ф=феу,. Так как величины хя и ая — действительные, а величины х, и а,— чисто мнимые, то операторы, комплексно сопряженные операторам ).ея = дя — (ая, В, = д, — еао имеют вид Ря = де+ (ая, К = (де + еав) Запишем уравнение, сопряженное уравнению (199.4а): ~е В„еря ун + хфя = О. и После подстановки ф=феу, оно принимает вид — Х 0~Й~+ В Ф' + хФ = О е так что окончательно имеем ~ (3н+ еан)ахун — хф = О. и Исключая нз уравнений (199.4а) и (199.4б) массовые члены, получаем Х (фун (ди — (ан ) ф+ (дн + (ан ) фун ' ф) = О.
н что полностью согласуется с уравнением непрерывности (199.2). Члены, содержащие 4-вектор потенциала ан, взаимно сокращаются, и мы имеем Хд. (фу.ф) =О, 2!3 199. Ток ароеодимооти и ток аолхриэации б. Как было показано в задаче 126, нерелятивнстская плотность тока определяется выражением эей 1 = й-;(Мф' — ф*бм+ 2 п.ф'Ф) и, следовательно, содержит билинейные комбинации волновых функций и их пространственных производных.
Чтобы придать плотности тока з,, определенной выражением (199.1), аналогичную форму, мы должны либо выразить с помощью уравнения (199.4а) функцию ф через ее первые производные, либо с помощью уравнения (199.46) сделать то же самое для функции эр. Поступая указанным образом, получаем ~ее к — Эее — кэ з, = — „,э (ди+ )аи)эР7и 7кф= — — „эР7 ~„7и(ди — 'аи)цэ. Беря полусумму приведенных выражений и учитывая, что ее ей запишем плотность тока в более симметричном виде; 2т л'.'е дх 7и7эф 'туэуид +)аиф (7иуэ +7х7и) э)э . (199.6) хи Пользуясь далее для преобразования второго и третьего членов перестановочным соотношением 7иуэ +7,7и = 26и, получаем и У Если в последнем выражении выделить диагональный член суммы, то оно запишется в виде мй (д4 — до . — 1 ый ' д 2т '(дх ф фдх +2)а фф +2 с.и дх (э)эуиуэч').
(199.7) ху ~э и В этом окончательном результате первый член по форме в точности совпадает с нерелятивистским выражением (199.5) и в согласии с нашим определением его можно отождествить с током проводимости эс. Второй же член представляет собой так называемый ток поляризации (199.8) иЖе П. Релятивистское уравнение Дирана Замечание. Это разложение плотности тока впервые было исследовано в работе Гордона [бог!ага (Р., Ез.
Раув., 50, 630 (1928)1. Пространственную часть плотности тока поляризации а~ можно записать в виде р е ея! д а = — го((!ро!р) — — — (йи р), т 2тс д( гда Ь 8» = — о» 2 — компоненты вектора спина, записанные с помощью приводимых четырех. рядных матриц, а а»-матрицы, определенные в конце задачи 189. В случае плоской волны ток поляризации обращается в нуль. Задача 200. Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи Решение. Если в уравнении Дирака ге ~Ч ' уи)'.)ит)г+ н»Р = О, ):)и = д„— — А„, и А, = гФ, еФ = )г, (200.
1) явным образом выделить производную по времени, то его можно записать в виде у„(у„тр+ у,( — ! дг+„— ) тр+хзр=О. и=! Умножая это уравнение слева на сйу„получаем Ьс 2~ 747иг)итр — гп дгтр + )тр + гпс'7»ер = О, и или — —,. — = Нер, й (ьр д( где оператор а Н = Ьс ~Ч' У,Уи (д„— — ' А„) -(- (г+ пгс'у, (200.2) и=! можно рассматривать в качестве гамнльтоииана, Записать уравнение Дирака в гамильтоновой форме и, пользуясь стандартным представлением, расщепить четырехкомпонент. пое уравнение на пару двухкомпонентных уравнений, содержащих матрицы Паули.
Показать, что частица с равной нулю массой покоя (напрнмер, нейтрино) допускает описание в рамках двухкомпонентной теории. 200. Уравнение Дарана в двухкоиаонентнод записи в!5 В стандартном представлении 1,=(. о), у,-(в,,). (200.9) Здесь з„— матрицы Паули, а 1' и 0' — единичная и нулевая двухрядные матрицы соответственно. Далее имеем О' (200.4) поэтому гамильтониан (200,2) можно записать в расщепленной форме )е+ лесе — 7есе хчз з„Р„ Н =- . " . (200.5) 1 — лс(' ~~ э„Р„)е — шее и Если ввести двухкомпонентные функции зр, н фв, связанные с четырехкомпонентным дираковским спннором соотношением то уравнение Дирака расщепнтся на пару двухкомпонентных уравнений: ( )фв+( + )$..
й дф, — — ~" = — еЬс (а Р) ф, + ()е — енсе) зРв. де В частности, в случае стационарных состояний с положитель- ной энергией Е получаем (а.Р) фв — е д $,=0, . Š— У вЂ” весе ('Р)р.— (' '+"'Фв=о. (200.7) Теория нейтрино. Если не=О, то вышеприведенные уравнения совпадают между собой, поэтому зрь — — Ч, и к=~1, (200.8) 1( Р) — ),еЕ '!ф.=О, 1ес (200.9) а два линейно независимых решения ф„должны определяться из уравнения 2!6 Уг', Релятиеистскае ураенение Дирака зР, = Сегл', где С вЂ” постоянный двухкомпонентный спинор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
