Том 2 (1129331), страница 35
Текст из файла (страница 35)
при заданном значении квантового числа ) волновые функции не содержат сферических гармоник с различными значениями 1. Кроме того, мы показали, что радиальная часть „больших" компонент спинора ф определяется формулой / г)- ),в-гглтуг//+г/з к, 2/+1; 2уг), где / 1+в/з, а радиальная часть „больших" компонент спинора фь определяется формулой Н г)+ бе пытрх//+з/е — л, 2/+3; 2уг), где /=1 — т/з. Эти решения нормируемы только в том случае, когда первые аргументы вырожденных гапергеометрических фуннций равны нулю нли целому отрицательному числу.
Возможные состояния атома водорода, отвечающие иизшил~ значениям полного момента, приведены в следующей таблице: У/. Реляглилигшског уравнение Дира»а 230 Еп,/ = — Ел — анл,/ э где э Ел =— 2л' (выше мы пользуемся атомными единицами, для перехода к обычным единицам приведенное выражение следует умножить на лм»/л»=27,2 эВ) — это нереляти- внстская бальмеровская энергия связи, а — релятивистская поправка к ней.
Энергии первых трех уровней и реляти- вистские поправки к ним указаны в приводимой ниже таблице. !х/а*! ан„лл» !Огхле ял» нл /=»/ ° /=~/» / /г г/ /а /гэ 6,68 2,08 0,74 1/ а/, т/лл 0,42 0,25 %» /тээ 0,08 г /л»» Приведенные данные показывают, что чем ниже уровень, тем сильнее он расщепляетсю Именно по этой причине красная линия На (переход я=в =3 — л=2) при грубом разрешении представляется дублетом, компоненты которого расположены на расстоянии (2,08 — 0,42)Х10»Х27,2 эВ, или 0,366 см-г. Задача 204. Проблема Кеплера. Радиальные функции прн положительных энергиях Электрон, помещенный в кулоновское поле, обладает пЬложительной энергией, так что Š— тсз > О. Найти радиальные волновые функции и выяснить их асимптотическое поведение.
Соответствующие этим сосюяниям радиальные волновые функции (либо либо й) совпадают с радиальными волновыми фуикцияя~и нерелятивистской теории, хоюрые подробно рассмотрены в задаче 67. Угловые же части волновых функций являютсн двухкомпонентными в полном согласии с нерелятивнстской теорией спина, разобранной в задаче !33, Если отбросить энергию попая, то, согласно соотношению (203.4), уровни энергии описываются формулой хЖ. Проолена Келлера. Радиальнне функции нри яоложительных энергиях го1 в которых величина й имеет смысл волнового числа на бесконечности.
Этим соотношениям можно придать иную форму: Рс(Š— тсе) (Е+ тсе) й Наша задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений д'+ —,д+1( — й —,е)1=0, 1+ !е (204.2) 1, '7' — (( — + — )у=О. По аналогии с задачей 202 будем искать решение в виде д= — (со+о) г' 'е'", 1 (204.3) ) = — (го — о) г'-' е'"', зч где з = $' О+ 'l.)' — Р (204.4) Вводя обозначения = 2 ( — — Ч), (с = з ( — + э)) (204.5) и новую переменную а = — 2(йг, (204,6) после несложных вычислений получаем з — „, + [(2з+ 1) — г'1 а — (е — еф ер = 0 (204.7) 1 Г то о= — ..
1Ьа — +(з — 1(',))го~ 1-гэ(е-т(Р ( Иг (204.8) Произвольно нормированное решение дифференциального уравнения (204.7), регулярное в начале координат, записывается в 'виде со=С,Е, (з — ((~, 2з+1; х). (204.9) Решение. Так как в рассматриваемом случае гпсе — Е (О, то соотношения (202.3) удобно заменить теперь соотношениями Š— тсе (г Е+ тсе (204.1а) йс ' Ч ас И.
Реяятиеиалскае уравнение Дарана Пользуясь далее общей формулой (-" г — + а),Р, (а, гл г) = а,Р, (а+ 1, с; г), с( с помощью (204.8) получаем о= — С...Р, (1+э — (Я, 2з+ 1; г). (204.10) Так как величина г действительная и положительная, то, согласно соотношению (204.6), переменная г является чисто мнимой и агнг = Зя)2, поэтому мы можем сразу воспользоваться асимптотической формулой Г (с — а) Г (а) (П С, а) ~Е-ела а-а+ Ея аа-и Таким образом, имеем (204.11) — - — и!О 1и яяс — -СО!и Ыс лч слз слз СГ (2з+1)е ' е ее е-аеас и! — > + Г (! +5+(се) (2йс)е СГ (2з+1) е з — ПЗ 1+'~з+(Р слз - — +!О 1и ям е Х ( !Г(я+10) (2(сс)е слз — ес 1и ям 1 е' е-аЕяс 2ае Г(!+з — 10) ) ' где постоянные комплексные амплитуды определяются выраже- ниями ля слз СГ (2з+!) е е 2 (2А)е 1'(!+з +10) ' лч СГ(2з+! ) е з з — 11) (204.13) е' Г(!+с — О) ' 2 (2я)е (+'(я+ )Р Разумеется, постоянные С, и С, могут отличаться лишь фазовым множителем, так как сходящаяся и расходящаяся парциальные Второй член в фигурных скобках в выражении для функции 1и и первый член в фигурных скобках в выражении для функции о в йг раз меньше других членов„фигурирующих в этих выражениях, поэтому их можно отбросить.
В результате с учетом соотношений (204.3) получаем глн С ее (ы+О 1и ззс)' ( С е ! 1ы+О 1и язс) т)Гà — С Е' 'Я'+ О '" '""1 — С Е-' 1Я'+ О " ее'> (204.12) 1 я уо4. Проблема Келлера, Радиальные Чгцнкции при аоложительнах энергиях 233 волны должны иметь одинаковые амплитуды. Действительно, нетрудно показать, что — еам и )+х)е+(Р -" а, следовательно, оба множителя, которыми отличаются друг от друга постоянные С, и С„на самом деле являются фазовыми множителями. Для второго из них зто очевидно. Что же касается первого множителя, то мы имеем — Е 1 +Е* !+х)э+1Р ( (!+')а)э+Р' поскольку (1 е — Р' = рз и з' = (! -1- '),)' — рз. Таким образом, окончательно получаем Е=~Сх)ега2! —,", )=(Сх(егь2 о (204.!5) где й=/гг+(4 1п2Ь вЂ” — — Ь вЂ” б. 2 (204.16) Е=тга (1 — — ) аолучаем хгв е=— йо н, следовательно, величина () совпадает с параметром и, введенным в за.
даче !10. На основаннн соотношення (204.!б), кроме того, заключаем, что величина Йа есть импульс электрона на бесконечности. Таким образом, два первых члена в аргументе синуса в формуле (204,17) полностью согласуются с полученаым в нерелятнвнстской теории выражением. В том же прнблнженна постоянный сдвиг фазы вычисляется с помощью соотношений - !+'4,=1+1 ° Р-0= . Мы имеем 2 — (з+ 1) + ь+ 6 — — (1 + 2) + агя Г (е+ 2+ (н) — ага (1 -(-1-1- Ра) =* 2 =к+ — 1+ага Г (1+! +(н), Замечание. Эгот результат можно сравнить с результатом нерелятнвнстской теорнн, рассмотрев предельный случай т) ~ 1. В этом случае (>) е н 1 и )- — Мп ~й.+Е 1.2й.— — (.+!) — ~ — б).
2 Фнгурнрующую здесь величину о с помощью соотношений (204,5) н (204.10) можно выраэнть через энергию Е, а затем через скорость электрона о на бесконечностн. С учетом невесткой формулы И. Реелтиаиотсксе ураанение Дироко Если учесть теперь, что знак волновой функции не играет никакой роли и что, следовательно, можно отбросить постоянный сдвиг фазы, равный и, то интересующее нас асимптотическое выражение окончательно запишется в виде 1 — — а|п ~ йг+ х 1п 2йг — — — ага Г (1+ 1+ гх) ~ . 1 п1 2 Полученный результат полностью согласуется с результатом задачи 111, если принять во внимание, что здесь мы имели дело с кулоновсним притяжением.
Задача 205. Разложение дираковской плоской волны по состояниям с определенным моментом Полученные в задаче 201 общие собственные спиноры операторов гз и е', использовать для разложения плоской дираковской волны 1 1 0 . 0 е'"=С Ч Ч 0 0 'ь~ )е 4я (21+ 1) ги(еьа (205.1) г=а которая обладает положительной спиральностью (й= — -1- 1) и распространяется в направлении оси г. Решение.
Прежде всего решим системы уравнений (201.9а) и (201.96) в случае свободного движения. Согласно задаче 190, где рассматривались плоские волны, параметр Ч связан с энергией и импульсом соотношениями Š— те' и Е+ тсз й =йЧ (205.4) дифференцируя которое, находим 1 — Ч С учетом этих соотношений система дифференциальных уравнений (201.9а) записывается в виде йе + ' д — 11еЧ) = О, (205.3а) — ' 1 †' — д = О. (205.36) г ч Из уравнения (205.36) получаем соотношение ' — й=-à — ), .
й т1 2дд. Ривлоксвнив дироковской клоской волнсл Подставляя последнее выражение в (205.3а), получаем для определения функции 1 обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка + ) + 1йв (! !0(!+ ! ))! ) 0 (205 5) с св Регулярное в нуле решение этого уравнения (нормировка произвольная) имеет вид 7 = — 1! о, (Ь). (205.6) Подставляя теперь выражение (205.6) в соотношение (205.4), на- ходим причем штрих означает дифференцирование по переменной Ь. С помощью известной формулы 1! (з) — †, !с (з) = — 1! + (з) !+! .
окончательно получаем д = —, /!+,, (Ь). !вч (205.7) Таким образом, нормировка функции д фиксирована относительно нормировки функции 7. Если квантовое число 1 задано и т! =- + '!в, то формулы (205.6) и (205.7) позволяют записать 4-спинор (201.4а) в явном виде: . ' 1! *,, (Ь.) 1'! ~! ! 1!- ь(Ь') У ° / 1+ !в в) !' 2('+!)!!~ ь(й )1 !< У 0+ З~ 2 ('+ !) 1'+ " ! вр! = — „, (205.8) Рассмотренные в задаче 201 решения второго типа находятся из уравнений (205.3а) и (205.3б), если в нпх произвести замену в1,. 1/в), Прн этом функция ( по-прежнему будет определяться выражением (205.6). Что же касается функции д, то выражение для нее получается из (205.7), если там множитель в! персвестп из числителя в знамена!ель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
