Том 2 (1129331), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Что же касается постоянных спинорных амплитуд (208.5), то при нашем выборе системы координат, благодаря которому ьр=0, их можно, не нарушая общности, считать действительными. При этом, как и следовало ожидать, !у — — О, Для падающей волны две другие компоненты плотности тока имеют вид И. Рееятиеистсное ураенение Дарана и для прошедшей волны'ь. 1'" = „(Ее+Ее) 3!пд", к у(~ !„е) р (!+ч") (209,3) Чтобы вычислить эти плотности токов, мы сначала выразим амплитуды С, О, Е, Г через амплитуды А и В падающей волны, решив для этого систему линейных уравнений (208.6) или эквивалентную ей систему (208.8а), (208.86). В результате элементарных, но довольно трудоемких вычислений получаем — иА+ ииВ О йА+ иВ Д Ф Д рА+а Š— оА+РВ (209.
5) 2гЛ 2еЛ где се = 2()ьз+!) р (!+уз) 41!(! +рз) () = (Лт — 1) (1 — ра) (1+Фа) Д = (Л+ 1)а (! — Р~7)а+(Л вЂ” 1)'(Р+(!)' (209,6) рД = (Х-1- 1) (Д вЂ” ар) — (Х вЂ” 1) !) = 4Х()ь+ 1) (1 — рг() (! —,Оа), оД =(Х вЂ” 1) (РД вЂ” сх)+(1+1) (!Р = 4Л(Л вЂ” 1) (Р+г)) (1 Ра) Из соотношений (209А) и (209.5) далее находим Ьт (С'-1-(ет) = (аз+(1') (А'+В'), 4гаЛз (Е*+ Е') = (р'+ оа) (А'+ В'). Подставляя выражения (209.6) в соотношения (209.7), после простых, но довольно длинных преобразований получаем Д (р'+ о*) = !А (1 — р*)' (209.8) и дт — (ах+ (1') = д4Л (1 — р') (1 — да).
(209.9) и Так как е Ра «> бах=о, чо ннтерференцнонные члены, обусловленные наложением отраженной г1 падаю. щей волн, для нас несущественны н нх можно опустить. Згн члены могут представлять интерес прн изучении локального поведения плотности тока (см. задачу 231.
Теперь нетрудно выразить плотности токов отраженных и прошедших частиц через плотность тока падающих частиц; например, для г-компонент, перпендикулярных плоскости, на которой 709. Отраекение от прямоугольной потенциальной ступеньки 253 потенциал испытывает скачок, имеем Се+1)е . ае+)Р. (209.10) Ч" 1+Ч~соь О" Ег+Ре . Ч" 1+не соь О" рь+аь . 1+Ч г Ч соь () ~о+И~ 1~ Ч 1+и г соо () 4 Пользуясь далее обозначениями (208.7), легко показать, что Ч" 1+Чг соь (У' 1 1 — дг Ч 1+и"е соо д еь 1 — р' и, следовательно, 1 — де р'+а' й= — — ! ° 1 — р 4к (209.11) Комбинируя соотношения (209.10) и (209.11) с соотношениями (209.8) и (209.9), находим — !в 4Х (! — ре) (1 — Ое) ) "= [ ' '1" ~! 4й(1 — рь) (1 — уь) . !е а )е (209.
12) В случае нормального падения (р= 0, д О) коэффициент отражения имеет особенно простой вид: (й — !)ь (Х+!)ь ' (209.15) где Ь определяется по формуле (209.6). Из последних соотношений сразу же следует уравнение непрерывности 1.+1;=1, Отсюда же для коэффициента отражения получаем 4)ь (1 — рь) (1 — Оь) (209.14) Л УП.
Теория излучения Задача 2!О. Квантование шредингеровского волнового поля Записав подходящим образом энергию, импульс и электрический заряд шредингеровского волнового поля в свободном пространстве, обсудить процедуру квантования этого поля всоответствии со статистикой Бозе и статистикой Ферми. (210.1) Р= —, ) ф* у~ф*к й е (210. 2) () = е ~ ф э ~хрх. (210. 3) Здесь т и е следует рассматривать как феноменологические параметры, которые пока еще никак не связаны с физическими массами и зарядами частиц. Как мы знаем, шредингеровское поле должно удовлетворять двум сопряженным волновым уравнениям Йд) дл р Яф д! 2т Вд$" Ф рйф э д! 2т Частные решения этих уравнений имеют вид плоских волн, кото- рые мы нормируем, вводя куб периодичности произвольного обьема 7".
Тогда общее решение можно записать следующим образом: ф (я, !) = рз- ча,у сд е' и т -"О, (210. 5) Решение. Будем рассматривать уравнение Шредингера для свободной частицы в качестве уравнения для классического волнового поля ф, которое, таким образом, представляет собой скалярную функцию пространственных координат и времени.
Если пользоваться обычной нормировкой, то энергия, импульс и электрический заряд этого поля определяются соответственно (см. задачи 3 и 5) следующими интегральными выражениями: а ~ з Ю' = — — ') ф * 7'ф д'х, причем закон дисперсии, согласно (210.4), имеет вид Вг»в !зго = — . 2т (2! 0.6) Если теперь общее решение (2!0.5) подставить в выражения (210.1) — (210.3) и воспользоваться условием ортонормированности плоских волн, д(', < -»з'бг,=б»» уо то нетрудно показать„что Г -й — ~" йгс»с», Р =,Я~ ггггс»с», 1~ = е,~~~ с,с, .
(210.7) Теперь мы приступаем к квантованию развитой выше классической теории. Волновую функцию ф заменяем оператором ф, действующим на гнльбертовы векторы состояний у в пространстве числа частиц. Такой же смысл имеют теперь н коэффициенты Фурье с», фигурирующие в разложении (210.5). При этом операторы с» и эрмитово сопряженные с ними операторы с» необходимо подобрать таким образом, чтобы собственные значения произведения с»с» были целыми числами, а именно: При таком подходе все три выражения (210.7) также представ- ляют собой операторы. Их собственные значения определяются формулами Ьг»г Е»= —, от Р» =ггй; Этот набор собственных значений описывает состояния системы невзаимодействующих частиц, из которых Ж» находятся в состоянии гв и соответственно имеют энергию Е», импульс Р» и заряд е.
Чтобы квантование приводило к требуемым собственным значениям (210.8), операторы с» и с~» должны удовлетворять следую- Зтд. Квантования игргдинггргвгкого во»нового но»я Ж» =О, 1, 2, ... в случае статистики Бозе, Ж» = О, 1 в случае статистики Ферми. 17 =,У~ )У» Е», Р =,2»1»Р», 9 =Е~гУ». (210.9а) (210.95) (210.9в) 236 УП. Теория излучения щим перестановочным соотношениям ": [ сз, ез) =сиса — с„сз =бзз в случае статистики Бозе, Е1 1 ! 1.—= еа, са 1+ — = езеа + са сз = бзз в случае статистики Ферми. Отсюда, как нетрудно проверить, следует, что перестановочные соотношения для волновых операторов должны иметь вид [Р(г !) фг(г !))е ~ ~ )еа сз) есс» -а 1 — сси-изс 1 1 ~р 'гз л = — ь епьс' гч =6(г — с").
(210.11) Задача 211. Рассеяние в борновском приближении Примените развитую выше теорию квантования шредингеровского волнового поля к задаче об упругом рассеянии частиц на сфер нчески симметричном потенциале У (г). )Р = ~ ф)Уфс)зх. (211.1) Если ограничиться первым приближением, то вместо тр и ф! мы можем подставить в оператор ))у' суперпозицию плоских волн (210.5). Таким образом имеем ))г' = — ~' '~' с~~ел ') У(г) е'са-зс' е'<и'- !с с)зх.
(211.2) — р 2.2 "'' Интеграл (211,2) хорошо нам знаком по борновской теории рассеяния (см. задачу 105). Вводя здесь, как обычно, переданный импульс сс — й' =К, (211. 3) и В этой главе мы пользуемся обозначением )а, Ь) =аЬ вЂ” Ьа, китовое отличается множителем 14 от обозначения, принятого в гл.
!. с В задаче 31 было показано, что в случае статистики Бозе форс)улы для собственных значений (2!0.8) действительно являются следствиями перестановочных соотношений (210.!О). Метод, использованный в задаче 31, применим и в случае статистики Ферми. Решение. Пусть квантованное свободное поле, рассмотренное в предыдущей задаче, возмущается потенциалом У(г).
Это значит, что к гамильтониану поля В' мы должны добавить оператор энергии возмущения 2П. Расс»пни» в бор»овском приближении 2зт получаем <А'!)с)Ф>= ~ )с(г)ес" ес(ех=4п ! гее'(г) — с(г (211.4) с<с (заметьте, что это выражение имеет размерность эрг см") и, следовательно, Цг'= р! ЕХФ'с»<)1'Р)й>вс'"' — еле. (211.5) Перейдем теперь к описанию процесса рассеяния. Начальное состояние квантованного поля характеризуется тем, что имеется лищь одна частица в состоянии Ф„а все другие одночастичиые состояния не заняты. Такое состояние поля описывается гильбертовым вектором Х,=!О...
1,..О,,...>. (211.6а) Конечное состояние поля характеризуется тем, что имеется одна- единственная частица в состоянии йт, поэтому Хт= ~ О ° ° 0», ° ° ° 1» ° ° ° >. Чтобы найти вероятность перехода между этими двумя состояниями, мы должны вычислить матричный элемент <хт ~ йг' ! хс>. (211.7) Пользуясь соотношениями с»)0»>=0, с»(1»>=,'О»>, получаем с»Х,=6»»,10»,>.
с». ! 0> = ! 1» > ее можно записать в виде )Г!1»,>= — ~~',<ес')Р)Ф,>е'<"- е')1»>. 9 мыт» Таким образом, когда оператор ))е', определенный соотношением (21!.5), действует на гильбертов вектор Хь от суммы по Ф остается единственный член с Ф=й„при этом оператор с,, уничтожает начальную частицу н превращает исходное состояние поля х, в вакуумное состояние ~0>. Что же касается оставшейся суммы по с„', то в иее дают вклад все члены, и с учетом соот- ношения Лд Теория излучения 258 В силу условий ортонормированностн <)(е)1><1яз)1>бяуя в матричный элемент (211.7) дает вклад также только один член этой последней суммы, и мы получаем <Ху!1)т'!Ке>= уо <Угу! У!Ф,>е'е"' "л'.
! Зная матричный элемент, можно с помощью „золотого правила" вычислить дифференциальное сечение рассеяния: е(о= ~ М<Х~!))'!К;>Р—,, где борз е)р е)И пуф~ (2вд) е)Е 8~~6~ (211.!О) причем в последнем выражении все величины отнбсятся к конечному состоянию. Если теперь подставить выражение (21!.1О) в (211.9) и воспользоваться для матричного элемента формулой (211.8), то объем куба периодичности 7~ сократится и мы по- лучим (211.11) Этот результат с учетом выражения (211.4) полностью согла- суется с формулой первого борновского приближения (см. задачи 105 и 184). Задача 212.
Квантование классического поля излучения Решение. Классическое поле излучения описывается векторным потенциалом А, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям ПА=О и йч А=0, (2!2.!) из которых при обычной калибровке следует поперечность электромагнитных волн. Чтобы придать физический смысл этим уравнениям, надо либо ввести соотношения, связывающие векторный потенциал А с напряженностями электрического и маг- Пользуясь классическими выражениями для энергии и импульса максвелловского поля в вакууме, произвести квантование этого поля в соответствии со статистикой Бозе. Считать, что внутри куба объемом У'=Ьз на поле наложено условие периодичности, 259 212. Квантование классическсеа аслл ивлученик нитного полей, 8= — — А, за=го(А, (2 12.2) либо рассмотреть выражения для энергии и импульса поля: В'= — „~(8'+2ее)(Рх= — ~ ~уА'+(го1А)'1(Рх (212,3) Р=4 — „с ) [8 24! (Рх= 4 ' ) [А ° го! А[(Рх.
(212А) Общее решение дифференциальных уравнений (212.1) можно, как обычно, представить в виде суперпозиции плоских волн А =- )I — "'„~~', ивк (с)нле((в "- о+ране-'(ч'-"о) (212 5) где инк — единичный вектор, а индекс )(= 1, 2 отвечает двум состояниям поперечной поляризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
