Том 2 (1129331), страница 36
Текст из файла (страница 36)
С учетом этих залечаний 4-спин ~2 у/. Рееве/ивнев/акое уравнение //ирана (201.4б) запишется теперь в виде /+ '/е Ч / — ' //~ /,(й/))е/е /,, е /+е/е — +1)// Ч. (/ЕГ) Г/е /., /+ /е 2 //- /. (/ег) У/- /., е В- /, (/ег) 1'/- /„ / / — '/е ° 2/ 1 ф/ =— /ее (205.9) Из полученных выше 4-спиноров можно построить волновую функцию, подобную функции (205.1), если положить ф =:Й (А/ф/+ В4'). / (205.10) В этом разложении мы можем, разумеется, распорядиться не- мым индексом / по своему усмотрению. Для дальнейшего удобно ввести орбитальное квантовое число 1 и во всех суммах, содер- жащих функции // /,(/ег)У/ положить /=1 — '/,. Учитывая далее соотношения (205.8) и (205.9), находим (А/+е/,)/ /+ 1+В/-,— Ре / ) )'/, е ~(/т)А/- /,)//+1 — В/+ /, ~ Т) 1'/, (205.11) Нетрудно проверить, что сумма (205.11) сводится к выражению (205.1), если А/+ ь —— )/ 4пСВ)/7+1, (205.
12) В/+ е/, — — Ч )/ 4яСВ )/7+ 1. (и/=0 или 1), положить /=1+'/,. В суммах же, содержаших функции //,е„ (Ь) У/+.„ ., Ю6. Расселине е лоле ценнцнсленесс сил Задача 206. Рассеяние в поле центральных сил Частица, описываемая дираковской плоской волной с положительной спиральностью, рассеивается на сферически симметричном потенциале. Получить формулу для асимптотики рассеянной волны, считая, что фазы рассеяния можно взять из решений радиальных волновых уравнений. Ревение.
Как было показано в задаче 201, имеется два типа радиальных уравнений. Тил ! дг+ с й1 — Ит111+ Ы (г) 11 О, + !2 ! — '!е à — '),—; а+;и()в,-о, с ч 1206.1а) где (У (г) =- — . и (с) хс Легко видеть, что для потенциалов У(г), убывающих быстрее 1!г, решения этой системы уравнений асимптотически ведут себя в соответствии с формулами а1(г) — з)п аг, )1 (г) — соз ог (206. 2а) 1ч ! 1~ п о1 — — й» вЂ” ~ 1+ -2. ) -й-+ ее1. (206.З ) а',+, а,— -„~,+,и(г)~,.=О, 11 е~ '1,' — 1 —,'~; — 1йтце+1У (г)д1 — — О. (206.16) Относительный сдвиг фаз функций д~ и ~Г равен и/2, а их амплитуды прн данной произвольной нормировке связавы между собой таким образом, что в нерелятивистском пределе, когда О, функции (1 и дт становятся радиальными частями соответственно большой и малой компонент волнового спинора.
Если функция ~1 выбрана действительной, то функция л~ будет чисто мнимой. Фазы рассеяния сс определяются путем интегрирования системы уравнений (206.1а) при граничных условиях д~(0) =О и 1,(0) = О. В нерелятивистском пределе 1 = 1+ '/„ поэтому для больших расстояний г можно написать 1 . Г и (1(г) — з)п~йг — 1 — +асс ~,), д~(г) О. Тип П 238 'е'1. релятивистские уравнение Дерека Асимптотическое поведение решений этой системы определяется формулами ! д — 1, г' — оят че ! (206.
26) т.= Ь.— () + — ! — + 6, !хи ! 2~2 !' (206.36) где фаза рассеяния ()!, вообще говоря, отличается от фазы рассеяния се . Так как система уравнений (206.1б) получается из системы уравнений (206.!а) путем замены параметра е! параметром )1~6 то в нерелятивистском пределе функция. и становится радиальной частью большой компоненты волнового спинора, а функция ! — радиальной частью его малой компоненты. Таким образом, в нерелятивистском пределе имеем у' ! †'~, и, следовательно, ЯГ(Г) — ~ —,Я!и ! ке — ! 2 +!З!-П,), 1 .
/ и г! (г) О. У ~~1е — '. ' соя а!)'! 1„р 2! — у —.соя а У ! ~1е 2! ! ! !т! р:,' я!и аХ1~ч - /' )+'1е 22()+ !) е/ 1+ !е 1Ч р 2(,+ !) Я!П а!У!Еци ! — 2(.+ !) я!и т!)' !еч,, о !+'!е 2(,' 0 яп! т!) !в ! — соя т!У1-ч„о 1+ 1е 2! соя т,У! /! — !е ! Ф! — „, (206.4) и ! ф Ее Как мы видели в задаче 201, при каждом значении квантового числа !' имеется два волновых спинора ф! и ф1, описываю. ! !! щих состояния, в которых проекция полного момента на ось г достоверно равна '1, (в единицах 1е).
Их асимптотика имеет вид с0о, Рассеяние в нове Чентраяоносх сия Общее решение всегда можно записать в форме суперпозиции рассмотренных выше частных решений: ф = ~~Р ~(Арр!+ Вгор!~'). (206.5) Здесь индекс суммирования ! можно заменить на !~о/о таким образом, чтобы во всех суммах фигурировали лишь сферические гармоники 1-го порядка. В результате асимптотику выражения (206.5) можно записать в виде 1 1 — х с=о У !+ 1 Аг,ч, соз пс,п, + — Рг 1 Вс и з!п тс с,1 1',, ч ~ — )гТАо о соз ос л+ — )сг)+ 1 Вс ь з!п то с,] Уь ч 1со!'ггТА~ ., з!пщ и+~lТ+1Вооспсоз с+и!!'с,о г[!т))7+1 Ао и, з1пог и,— )Г! Все псозт+п~Ус, (206.6) По своей структуре последнее выражение очень напоминает плоскую волну (205.11), в которую оно переходит, если и 0 и (! =0 для всех значений 1. В этой связи плоскую волну целесообразно записать в виде фо ~~ (Аофод 1 Во 1 он) (206.7) где А~', = )/4п Сс с ~/ 1+ 1 о о В1„ь = ЧАс, оь, о о д по ь =- т,, = /гг — ! — . — '3 с (205.8) (206.9) содержит лишь расходящиеся сферические волны и не содержит пропорциональные е-""4г сходящиеся сферические волны.
Только в этом случае функцию ор, можно отождествить с рассеянной волной. С учетом формулы (206.6) указанное граничное условие приводит к следующим четырем уравнениям для определения Как известно, граничное условие для задач рассеяния состоит в том, что при г — оа разность 244 267. Глпдноя нопенциояоная сптупенсна ЛБ л еятсе -те г в Ф и г. 72.
Потенциальные ступеньки различной высоты, Области допустимы» зиачзиаи виаргив частицы заштрихованы. 1) ачи 197. Для положительной спиральности (й=+ ) циала задачи компоненты волновой функции и, и и, о р щ и дело сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений: — 1 — „'+(х+ Я) и, =О, 4 — '+(х — Я) и,=О, ое (207.3) с положительной спиральностью (й=+1). Определить коэффи- циент прохождения для различных высот потенциальной сту- пеньки: случай а: Уз < Š†', (207.2) случай б: Š†' < У, < Е +тсв, случай в: Е + тсз < Уо.
Характерные особенности указанных случаев проиллюстри- рованй на фиг. 72. Р ие. Потенциал, описываемый формулой (207,1), измеешение. няется от зн от значения У=О при г= — оо до значения =+, р а=+ею. Указанное изменение значений потенциала фактиче к с и происходит вблизи точки г = 0 в пределах слоя толщиной Рассматриваемыи п отенциал представляет частный случай потен- 'е"д Реввтивистское уравнение дарана 242 где (207.4) Вместо компонент и, н и„введем их симметричную и антисимметричную комбинации: ф, — — и, + р„р, =- и, — и,.
(207.5) Для функций ф, и ф, вместо (207.3) получается более простая система уравнений вида — иф, = 1ф,'+ Яфт хф, = !ф,' — Яф„(207,6) из которой нетрудно исключить одну из них, например ф,. Имеем фе+(Я' — и'+ сЯ') ф, = — О. (207. 7) Решив это уравнение при соответствующих граничных условиях, мы затем с помощью второго уравнения (207.6) найдем функцию ф,. Если вместо г перейти к новой независимой переменной х = (1+ езеп)-' (207.8) то коэффициенты дифференциального уравнения (207.7) станут рациональными функциями х, Учитывая соотношения йи 2 — = — — х (1 — х) —, )е (х) = !', (1 — х) (207.9) аи и вводя безразмерные параметры Е! !тве !е'в е —, е,= —,о,= — ' 2йс 2$с 2Дс (207.
10) (величина 2Лс/1 играет у нас роль единицы энергии), можно придать уравнению (207.7) следующую форму: х (1 — х) — [х (1 — х) †„ ~ + ([о,(1 — х) †е|'— Г йРе1 ее+!о х(1 — х)) ф = О. (207. 11) Последнее уравнение после очевидной замены ф, = х" (1 — х)и7" (х), где (207. 12) (207.13) ч' = а' ,— (е — о,)', р* = — е, '— е', сводится к уравнению для гипергеометрической функции х (1 — х) 7'" -(- [(2ч+ 1) — (2ч -1- 2р + 2) х~ ~'— — (р+ ч — !о,) (р + ч — ео, + 1) ~ = О. (207.14) 207.
Главная пстеняаальнан ступенька 243 В дальнейшем нам понадобится, как мы сейчас убедимся, только решение, регулярное в точке х=О. Такое решение имеет вид 1(х)=ьрь()ь+т — ьоь )х+т+1пь+1, 2м+1; х). (207.!5) Рассмотрим граничные условия. Согласно соотношению (207.8), имеем х=1 при г= — оо и х=О при г= +оо. Далее, согласно равенствам (207.10) и (207.13), Еь (н ь)ь 7),ть )ь = — ! — й, й'= = ~ — ), (207. 16) 2 ' (йс)ь ~й) ' поэтому величина р всегда является чисто мнимым параметром, пропорциональным импульсу падающей частицы р=гьн. В окрестности точки х =! гипергеометрическую функцию (207.15) можно преобразовать с помощью формулы Г(с) Г(с — а — Ь) ьгь(а, Ь, с; х) = Г(с — а) Г(с — ь) ьг'(пь Ьь и+Ь вЂ” с+1; 1 — х)+ -1- (1 — х)'-' ь ~ Г ,р, (с — а, с — Ь, г †а в + 1; 1 — х).
ь Г (с) Г (а+ Ь вЂ” с) Таким образом, из (207.8) и (207.15) при х=1 (г- — оо) имеем Г (2н+ !) Г ( — 2)ь) ( Г (т — )ь+)а„+ !) Г(т — )ь — !аь) Г (2н+ ! ) Г (2)ь) Г ( + И вЂ” !сь) Г (н+ и+ ь+ 1) ~ ' Учитывая далее, что ге/! 1 — х= -е', )+ геи получаем ьАвсьс ! Вв-сьь (207.17) (20?.18а) где Г (2т+ !) Г (2)ь) ! (ч+)ь — Ы,) Г (и+)ь+ Ш,+!) В ' "'+"" '"' .
(207.185) Г (т — )ь — ьс,) Г (т — у + ьс, + !) Выражение для амплитуды А отличается от выражения для амплитуды В лишь знаком перед величиной )ь. Как можно было ожидать исходя из физических соображений, функция !р, при 'больших отрицательных значениях г представляет собой супер- позицию падающей волны с амплитудой А и отраженной волны У?. Рсввтавастснав уравнении Дарана с амплитудой В. Таким образом, частное решение (207.15) удовлетворяет граничным условиям при больших отрицательных значениях г.
Функция ~р, также состоит из суперпозицни двух типов волн. В этом можно убедиться, подставляя асимптотическое решение (207.17) в уравнение (207.6). Указанная подстановка дает <р, — А( —,— — )еса.+В( + — )е м. (207 19) Плотность электрического тока !см, задачу 198,' соотношение (198.13)), если отбросить интерференционные члены, состоит из двух частей.
Действительно, /, = ее (и",и, + иви1) =- — ее () ~ра!в — ! ~р, !в) (207. 20) и, следовательно, (20?.21) !» /ааа /отр где плотности тока падающих и отраженных частиц соответст- венно равны /„„= — ес ! А !' ~1 — ~ —,— ц = ес ( А )', в (207. 22) ! /,,р — — — ес(В(* ~! — ( —,+ — „) ~ =ее!В~в-~---;-ах-', (207.23) а энергия и импульс частицы связаны соотношением Е = Рс(ср)'+(тсв)'. Перейдем теперь к обсуждению поведения волновой функции в правой части потенциальной ступеньки, т. е. вблизи точки х=О, или, другими словами, при г- +аа. Из формул (207.12) и (207.15) непосредственно следует 2 — ав ~рв- хт=е где, согласно.
соотношениям (207.10) и (207.13), м= — 1 — й' й" = ( '1 ( . (207.25) — с 2 (Ь,). Теперь мы должны по отдельности разобрать три случая„указанные в условии задачи. Если Š— Ча >тса или У,— Е >тсв (случаи а и в), то величина й' положительная (й'в > 9) и, следовательно, величина й' действительная, Если же 1Š— У, ~ < тев (случай б), то величина й' чисто мнимая, а величина т действительная, В этом последнем случае при т > 0 вид выражения 202.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
