Том 2 (1129331), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Функция Я„(г), определенная соотношением ! (' Р„(х) дх 2,) х — х -1 (166) называется функцией Лежандра второго рода. В силу симметрии разложения (16а) по отношению к переменным г и х зти функции должны удовлетворять тому же самому дифференциальному уравнению (1), которому удовлетворяют полиномы Лежандра Р„(х). Функции Лежандра второго рода имеют при г= ~1 логарифмические точки ветвления.
Приведем явные выражения для трех Последнее разложение можно также использовать в качестве определения поли помов Лежандра. Функции Лежандра второго рода. Рассмотрим разложение Математическое приложение первых функций Лежандра второго рода: ('„1, (г) = Р, (г) Я е (г) — 1, 9, (~) = Р, (~) Я, (~) — — ~. (17) где К„,— полипом (и — 1)-й степени. Этот полипом является четным, если четен индекс п, и нечетным в противном случае. Сферические гармоники Если при разделении переменных в волновом уравнении используются сферические координаты Х=Г51пбсо51р, Д=Г51П051П1р, з=гсозб (!) (ось г выбрана в качестве полярной оси), то угловая часть решения должна удовлетворять дифференциальному уравнению ! дГ. дит 1 ди — — 1хз(п Π— ~+ —.
—, +1(1+ 1) и = О, Мп 6 дв ~ дйУ 51пебд~Ге (2) где 1=-О, 1, 2, .... Производя дальнейшее разделение перемен- ных и=6(0) осто, (За) где т = О, .+1, ~2, ..., получаем — — ~51пб — )+ ~1(1+ 1) — ., 16 — -О. (Зб) 1 д иге те Последнее уравнение с помощью замены переменной 1= — =соей г Г приводится к виду ден дО Г те (1 — !') — „,— 2! — „+ ~1(1+1) — —...1Е=О, (Зв) Уравнение (Зв) является обобщением уравнения для полиномов Лежандра Р, (!) и переходит в него прн и! = О. Однако прн т ~ 0 Выражения для функций более высокого порядка можно получить с помощью рекуррентного соотношения (7), которое справедливо для функций Я„(г), так же как и для полииомов Р„(г).
В общем случае функция Я„(г) имеет вид ()п (г) = Рн (.) Ое (.) — ~ и с (з), (18) 297 Сферические гармоники где т) О. Как оказывается, функции 6, не являются новыми функциями и их можно выразить через функции О, . Так как полипом Р, имеет отличные от нуля производные лишь в том случае, если их порядок не превышает 1, то при данном значении 1 существует всего 21+1 регулярных решений, для которых !гп)(1 (напомним, что здесь гп — целое число). Перейдем теперь к вопросу о нормировке. Мы будем придерживаться наиболее употребительного соглашения, которое лучше всего отражает геометрический смысл этих решений, всюду регулярных на поверхности единичной сферы: У, (О, гр) = --,У)" (б) е' 'г (4) (5) илн ~ ~ ~," (д) ~' зш д гЮ = !. о (6) Таким образом, для нормированных функций (Зг) имеем (7) Чтобы включить отрицательные значения т, по определению положим ,Ур" (б) = ( — !)" Л" (О).
(8) Явнь:е выражения для сферических гармоник с 1=0, ), 2, 3 приведены в томе ! на стр. !83,)84. При ос=О имеют место по- лезные соотношения )= У1+-,Р, ° Уь.= 17' + Р, (О) Рекуррентные соотношения. Существует целый ряд важных соотношений, связывающих сферические гармоники с соседними это уравнение принадлежит к общим уравнениям гипергеометрического типа. Его единственное произвольно нормированное регулярное решение можно представить в форме (! 1,) ы о"рг(~) им= шш Матеитиичеекое ариложение значениями индексов ! и т: Яшде!тУ, =а, „У,э, т+,— а,, „,)т,, „+„(1Оа) я)п де-гчУ, = — а У +,, + а...У,, м (10б) соя д~ ь т = дь т) ~+и и+о!-т т) !-и т (11) где (!+т+1) (!+т+2) ок (2! В (2! з) (12) (! + т+ 1) (1 — т+ 1) (2!+1) (2!+3) Ь, =1»» Повторное применение соотношений (10) и (1!) позволяет преобразовывать выражения, содержащие произведения более высоких степеней я!пд и сояд и функции У,; разумеется, при этом появляются сферические гармоники с индексами, отличающимися более чем на ~! от индексов ! и и.
Производные. Действуя на сферическую гармонику операторами д ! д 1 г ( — ~-1 — ) = еь !ч ! я!пд» вЂ” + соя д — ~ (,дх ду,) ! дг дд а!пд де) д д . д г — =соядг — — я!пд— дх дг дд ' (13) гюлуч аем /д .ду г (д — ~1д — ) Уст= г !рс етУгтьт+г =г- (!+ 1) аю, тт, У! (,дх ду) г,— ',У, „= — Ь, „У„, „+(!+ 1)д,, „У.. т, (14) . д !. = — ! —.
е Действуя на сферическую гармонику, операторы Е+ и 7 соответственно повышают и понижают индекс и на 1: 7 +Унт ) 1(!+ 1) !и (!и+ 1) Уо +г Ь У, „= — 'у»! (! + 1) — ш (!и — 1) У, (17а) (17б) где а, и Ь, „определяются выражениями (12). В теории момента количества движения большую роль играют эрмитовы операторы Ех, 1.„, Ет где й =- — !(х — — у — ) и т.д.
д д~ 1 ду дх,) (15) В сферических координатах имеем Е„= 7.х ~ !Ео — — !е+'т (~ 1 — + с!ад — »1 (16а) д д Х Сферические гармоники 299 Что же касается оператора Л„то для него У, „является собственной функцией, причем ЕмУи = тУи „. (18) Сферические гармоники, кроме того, являются собственными функциями оператора "+ "+ г 2( + + +)+ (19) и удовлетворяют уравнению Ь'Уи = 1(1+ 1) Уи „. Отметим также полезные соотношения 1 й, У, = (1(1+ 1) — т (т+!)~ У, Е,.Е У, =11(1+1) — т(т — 1)] У, „.
(20) (21а) (21б) Введенные здесь операторы Сс отличаются от операторов проекций момента количества движения, использованных в этой книге, множителем й. Ф т! 1(д, т)=Д Х,1г, Уо (0 й') (23а) где коэффициенты разложения 1', определяются формулой 1и =~Х, (б, М1(б, ~р) И. (23б) Ниже приводятся примеры часто встречающихся разложений. 1. Разложения для полиножа Лежандра Р, (сову), где у — угол между векторами, концы которых лежат на единичной сфере в точках с координатами б, ~р и б', ер': 4п Р,(сову)= — ~ч' У~*,„(б', ~р') У, (б, ~р). (24) м=-г Эта формула известна как теорема сложения. 2. Разложение плоской волны.
Если плоская волна распространяется вдоль полярной оси, то в разложении участвуют Ортогональность и часто встречающиеся разложения. Для сферических гармоник выполняются условия ортонормированности фУ~* У~ „да=ба 6 „.. (22) Так как, далее, сферические гармоники образуют полную систему, то любую регулярную на единичной сфере функцию 1(0, ~р) можно представить в виде зоз Мопимоглмчеееое ориложенме лишь полиномы Лежандра: еео' =е"'"'о= — ж )гг4п(21+1)(е!,(Ь))', е(д). ег л ю=о (25) Доказательство этой формулы было дано в процессе решения задачи 81.
Обращая формулу (25), получаем полезное интеграль- ное представление сферических функций Бесселя: (26) (27) 3. Сфери еская волна, используемая в качестве фднкиии Грина волнового уравнения. Пусть г и г' †д радиус-вектора, направления которых характеризуются соответственно сферическими углами д, ер и ()', ~р' и пусть у †уг между ними, тогда не~ге~ ~ -~ /2!+! Г,(,, г') у, „(сову), (28а) е=о где Г е(г, г)= ~ оо ' ) (йг) й)о ()гг') при г < г, (286) )е(йг')ф'(яг) при г) г ° В предельном случае )е О отсюда получается хорошо известная формула 6 — ~ —,) Р, (сову) ~=о — ~~',( — ) Р, (сову) ~=о при г(г', (29) при г ) г'.
Если плоская волна распространяется в направлении, ректора й со сферическими углами 6 и Ф, то имеет место разложение общего вида 302 Математическое приложение Если с= — и, то гипергеометрический ряд не существует. В этом случае решение уравнения (3) можно получить с помо!цью предельного перехода ,Р,(а, Ь, с; е) Г(а+а+!)Г(Ь+а+!)е"+' ~(.) гййг(ь)(.+В! х,Р,(а+и+1, Ь+и+1, и+2; г). (5) Если ни один из параметров а, Ь, с не является целым отрицательным числом или нулем, то ряд (4б) сходится абсолютно и равномерно при !г) (1. Гипергеометрический ряд можно однозначно продолжить во внешность единичной окружности )г ! ) 1 с разрезом по лучу (1, оа1. Для аналитического продолжения можно воспользоваться формулами + Г(с)Г(а+Ь вЂ” с) с-а-е Г (а) Г (Ь) (1 — г)' ' ',Р, (с — а, с — Ь, с — а — Ь+1; Т вЂ” г) (6) и Г(с)Г(Ь вЂ” а) (',, ! ! Р (а, Ь, с; г) = ( — г) ' Р, (, а, а — с+1, а — 6+1; — + -1- (') ( — )( — г)-"еР,(6, Ь вЂ” с+1, Ь вЂ” а+1; — ).
(7) Г (а) Г (с в Ь! е / Применяя последнюю формулу, можно записать асимптотику функции,Р, «ри г оо. Г (с) Г (Ь вЂ” а) е Г (с) Г (а — Ь) Г(Ь)!'(с — а)( г) +Г(а)Г(с — Ь)( г) ' ( ) Общее решение гипергеометрического дифференциального уравнения при !г~ ( 1 можно представить в виде и= С,еР, (а, 6, с; г)+С,г' ',Р, (а+1 — с, 6+1 — с, 2 — с; г). (9) Исключение составляет случай с=О, ~1, ~2... так как при этом оба частных решения, как непосредственно видно нз соотношения (5), совпадают.
Второе линейно независимое решение в этом случае имеет логарифмическую особенность в точке г= О. Ниже приводится сводка формул, наиболее важных с точки зрения практических приложений гипергеометрической функции ,Р, (а, Ь, с; г) = —,),Р, (а+ 1, Ь, с+ 1; г) -)- + ',Р, (а, Ь+ 1, с+ 1; г) =:,Р, (а, Ь, с+ 1; г) + + —,Р, (а + 1, Ь, с+ 1; г) „ зоз Вироиедеииие еииерееимемриееекая функции г, Р, (а, Ь, с; г) = — (,Р, (а — 1, Ь, с — 1; г)— —,Р,(а, Ь вЂ” 1, с — 1; г))= — '(еР,(а — 1, Ь,с — 1; г)— —,Р, (а — 1, Ь вЂ” 1,с — 1; г)) = — ',Р,(а — 1, Ь, с; г)+ + е,Р, (а, Ь вЂ” 1, с; г)+,Р, (а, Ь, с; г), (1 — г),Р, (а, Ь, с; г) = †, ,Р, (а в 1, Ь вЂ” 1, с — 1; г) + + —,,Р,(а — 1, Ь, с; г). Формулы для производных: —,Р, (а, Ь, с; г)= —,Р, (а+1, Ь+1, с+1; г), иь г(1 — г) — „,Р,(а,Ь,с; г)= 1 „),Р,(а — 1, Ь, с; г)+ Вырожденная гнпергеометрическая функция Если в гипергеометрическом дифференциальном уравнении Гаусса сделать предельный переход Ь вЂ” оо, г=х1Ь, то в результате получится дифференциальное уравнение Куммера: деи ди х — + (с — х) — — аи = О.
дхе дх где так называемый вырожденный гипергеометрический ряд ,Р, по определению равен и е, а(а+1) е' а(а+1)(и+2)ее 'Р'(а' с' г) 1+ 11+с(с+О г1+е(с+1)(е+г) З1+ (За) или ° е Г (е) ~'~ Г (и+и) ее Г (а) с.е Г (е-1- и) и1 е 0 (Зб) При атом особая точка г=1, имевшаяся в исходном уравнении, сместится теперь в точку х=ос. Таким образом, на комплексной плоскости х рассматриваемое уравнение имеет правильную особую точку х=О и существенно особую точку х=со, появившуюся в результате слияния особых точек г=1 и г=оо. Общее решение уравнения (1) можно записать в виде и = С,,Р, (а, с; х) + С,х' ',Р, (а — с + 1, 2 — с; х), (2) 304 Л1 атеиста ~есиое лрииомелие Этот ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости г.
Определяемую вырожденным гипергеометрическим рядом функцию можно сделать однозначной, проведя разрез между точками г =- 0 и г=-сю. В нашей книге в качестве линии разреза выбрана мнимая положительная полуось. Если с=- — и, где и =О, 1, 2, ..., то ряд (Зб) не существует. В этом случае решение уравнения (1) можно получить с помощью предельного перехода ~Р~(а, с; г) Г(а-1-л+!) е»+' Р ( -~-и-+1 и-)-2' г) (4) Г (с) Г (а) (л+ !)! ' (Выше переменная х обозначена через г.) Асимптотическое поведение вырожденной гипергеометрической функции при !г( ао описывается формулой ,Р, (а, с; г) е-' ' Г (с) Г (с) г-о+ сего-е (5) Г (с в а) Г (а) Эта формула не относится к случаю а= — и, где и =О, 1, 2, ..., так как, согласно (3), вырожденный гипергеометрический ряд в указанном случае превращается в полинам степени и. Среди таких полиномов наибольший интерес представляют полиномы Лягерра (б) и полиномы Эрмита (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
