Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1361). 42. Показать, что в бесконечной цилиндрической трубе произ вольного сечения с абсолютно жесткими стенками прн некоторых условиях могут существовать бегущие звуковые волны. Найти фазовую скорость бегущих волн и вычислить поток энергии через УСЛОВИЯ ЗАДАЧ бесконечно удаленное сечение трубы (волновода). Рассмотреть случаи прямоугольного и круглого сечения. 43.
Построить функцию точечного источника, помещенного внутри цилиндрической трубы произвольного сечения, для Волнового уравнения при граничных условиях а первого рода, б) второго рода. Рассмотреть частный случай круглого сечения. 44. Решить задачу 43 для полубесконечной трубы г)0 45. Построить функцию точечного источника для цилиндрического резонатора О~г-~1 с произвольным поперечным сечением. Стенки резонатора считать абсолютно жесткими. 2.
Излучение мембран, цилиндров н сфер 46. Пусть в сечении г=0 трубы круглого сечения, рассмотренной в задаче 42, помешена мембрана, колеблющаяся со скоростью о о е'"' (поршень). Определить реакцию давления звуковых волн на мембрану. 47. Решить задачу 46, предполагая, что скорость возбуждающего поршня меняется по закону о = о„(г) е'"', где о,(г) — заданная функция.
Рассмотреть частный случай ое(г) =А 1е( — „г)э где А — константа, )е — корень уравнения Уе(р) =О. Найти величину вектора Умова и величину акустического импеданеа на поршне. 48. Пусть цилиндр радиуса п пульсирует, т. е. сжимается и расширяется равномерно по гармоническому закону; его скорость на поверхности при г =а равна о еем Найти давление, радиальную скорость воздуха на больших равстояннях от оси цилиндра, а также поток энергии. 49. Решить задачу 48, предполагая, что радиус цилиндра мал по сравнению о длиной волны А= —, т. е. хле йа ч,1. 50.
Цилиндр радиуса а колеблется как целое перпендикулярно к его оси (вдоль оси х) со скоростью о,е'"'. Найти давление и скорости частиц воздуха; для случая ла~1 вычислить чп. эзхвняния эллиптического типа 1ее удельный акустический нмпеданс и полную мощность излучения для единицы длины, 51. Цилиндр радиуса а колеблется по гармоническому закону гак, что скорость на его поверхности равна )(~р)е' ', где ~(~р) — заданная функция. Найти давление и скорость воздуха, поток энергии ~при малых Аа, где л= — 1.
су Получить из найденных формул решения задач 48 — 50. 52. Центр шара радиуса а колеблется вдоль полярной оси со скоростью о,е'"'. Если а~1(йа~1), Х вЂ” длина волны, то такой акустический излучатель в форме малого колеблющ'тося шара называется акустическим диполем. Найти поток энергии н полную мощность, излучаемую акустическим диполем. 53. Поверхность шара конечного размера колеблется по гармоническому диполю 1(8)е'"'. Найти полную реакцию среды на тиар при ла ~;1, где й †. Рассмотреть частный случай Х 2я ' р(е) =о,.
54. Исследовать звуковое поле поршня, вставленного заподлицо я поверхностью сферы н способного колебаться без трения. Распределение скоростей по сфере при наличии такого поршня можно представить таким образом: ое при О~8~8„ 0 О прн ее(еа и. Рассмотреть случай малого ее. Дать выражение для давления при низких частотах. 55. Поверхность шара колеблется так, что радиальная состав ляюшая скорости на поверхности равна Оо с~ 4 (1 + 3 соэ 28) е'~. 'Такой источник звука называется излучателем второго порядка, или квадрупольным источником.
Вычислить интенсивность и мощность его излучения. Начертить полярную диаграмму интенаивности излучения. Рассмотреть случай длинных волн. 56. Твердая круглая пластинка колеблется по простому гармоническому закону в равном ей по площади круглом отверэтии, вырезанном в твердой плоской пластинке, простирающейся в бесконечность. Найти давление н скорость частиц воздуха и мощность излучения. УСАОВиЯ злдАч 5Ч.
Найти реакцию звукового поля на пластинку, рассматриваемую в задаче 56. Рассмотреть частный случай, когда радиув поршня мал по сравнению с длиной волны (йа ч' 1). 58. Решить задачу 56, если на поверхности поршня (пластинки) скорость переменив: о=о(г) (поршень «нежесткийз). Ограничиться представлением решения в волновой зоне. 3. Дифра кци я на цилиндре и сфере 59. Плоская звуковая волна распространяется в направлении,. перпендикулярном к оси бесконечного жесткого цилиндра радиуса а.
Найти рассеянную волку. Рассмотреть случаи больших и малых расстояний от цилиндра. 60. Исходя из решения задачи 59, вычислить интенсивность, рассеянной волны, а также исследовать зависимость характе( нстики направленности рассеянной волны от длины волны. 61. Вычислить полную мощность в звуковой волне, рассеянной на единице длины цилиндра, для предельных случаев коротких и длинных волн (см.
задачу 59). Найти силу, действующую на цилиндр. 62. Построить решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны на сферическом препятствии. 63. Пользуясь решением задачи 62, вычислить интенсивность рассеянной волны и полную рассеянную мощность для случая. где й — = —, Х вЂ” длина волны, а — радиус сферы. 2п в Вычислить силу, действующую на шар. 64. Решить задачу о рассеянии плоской волны на шаре радиуса р а, если шар совершенно свободен и движется под действием воздуха. 65. Решить задачу о движении шара радиуса а под действием. падающей плоской волны, если шар закреплен упруго, т.
е. возвращающая сила равна где Š— координата центра шара, М вЂ” масса шара. Трением воздуха пренебречь. ЧП. ЕРАВИЕИИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА й 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грина — Остроградского 66. Написать уравнения Максвелла в ортогональной криволинейной системе координат (ка, к„к,), в которой квадрат элемента длины дается формулой Ьас(к! + й(а(ха+)аас(кси где й„й„йа — метрические коэффициенты.
67. Показать, что решение уравнений Максвелла 1 да! 4п га( гт = —, — + — ~, б(т В =О, В = (аН((а сопз(), с дг 1 дв го( Е = — — —., Йт В = 4пр, В ВЕ (е сопз() можно представить в виде 1 дА В=го1 А, Е= — ягабф — — —, с сг' где А — векторный потенциал, Гр — скалярный потенциал, связан- ные между собой условием Лоренца .и удовлетворяющие уравнениям 1 !нар 4п са Йр — — — — = — — р, па= —, аа дР В ' е1а' 1 даА 4п ааА — — — — ф.
а' дса с Здесь ЬА — оператор Лапласа, действующий на криволинейные компоненты вектора А. Найти выражение для ОА в криволинейных артогональных координатах. Показать, что при р =О, у'= О уравнения Максвелла допускают решение вида 1 дА' ()= — Тот А', гг — йгап <р' — — д с д1' где А' и ар' †т называемые антипотенциалы. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет внд е-!"!. 68.
Ввести скалярный и векторный потенциалы для уравнений Максвелла в однородной проводящей среде. 69. Ввести поляризованный потенциал П !Электрический вектор Герца) для уравнений Максвелла в вакууме, пользуясь 138 $'словня злдхч соотношениями А= — — ~р= — Йч П, ~ ап с дс' где А — векторный потенциал, ф — скалярный потенциал.
Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет вид е-'сх. Аналогично ввести магнитный вектор Герца Л'. Опре- делить векторы Герца в проводящей среде. 70. Если метрические ксвффициенты удовлетворяют условиям А,=1,,— ~ — ~=О, а электромагнитное поле в вакууме зависит а ~а,~ ах, 18,~ от времени как е-'"', то его можно представить с помощью двух скалярных функций У и У' (функций Боргниса). а) для поля электрического типа (Н,=О) имеем: Е,=АЧ/+ —, Е = — —, Е = — ~А — ) дМ/ 1 дЧУ 1 дЧI с сс~ дх(' с агах,дх~' с 6 дх дхс~ с)' Н,=О, Н,= — -- а, На= — —; й дУ й ду д,' А,дх,' б) для поля магнитного типа (Е,=О) имеем: й дО', й дгУ' Е(=О, ах аи, ~ дц, 1 а*о Н( =Ахи + —; Ня= — ~ На дх', ' Ас дх,дх,' Ас дх,дхс' где 0 и 0' — функции, удовлетворяющие уравнению Доказать это утверждение.
Рассмотреть затем сферическую и цилиндрическую системы ксюрдинат. Показать, что в цилиндрической системе координат функция 0 совпадает с г-составляющей вектора Герца Л (О, О, Н). 71. Ввести функции 0 и 0' для электромагнитного поля в проводящей среде, параметры которой суть е, р„о (проводи- мость). 72. Шар радиуса а с проводимостью о, и диэлектрической постоянной а, помещен в неограниченную среду с проводимостью и и диэлектрической постоянной а. Вводя функции У и 0', сфор.
мулировать для них граничные условия на поверхности шара. 73. Доказать справедливость векторного аналога второй фор. мулы Грина ~(Игго1 го10-Нго(го1 ЮЖт = )с Цб го(И')-(И'го1ЩлсЬ, где Н 0(х, у, г), Ж Иг(х, у, з) — произвольные, достаточн(л гладкие вектор-Функции, Т вЂ” некоторый объем, ограниченный поверхностью Х, гл-единичный вектор нормали к поверхности Е, чп. и хвниния эллиптического типе 74. Доказать справедливость векторного аналога основной фор- тяулы Грина 0(Лте - "Н(х> у> «)=-„- (>р(го(го(0 — йещ+дгад~р дну)лт„ г — — ~ [[пго(Ю[>р+[[п0[дгад >р[+(пН)ягаб~р) е(оя, 1 г где б — произвольный вектор, ем> >р = —,, г = (х — 9'+(у — ц)'+(а — ~)' — расстояние между точками >>(е(х, у, х) и Р($, ть Ц.
75. Пользуясь основной векторной формулой Грина, получен- ной в предыдущей задаче, непосредственно, ие вводя потенциалов, написать выражение для Е и Н-решений уравнений Максвелла го( Н= — йуЕ+ — [> Ае — > й Ае 3> е)г> ° ю е ° го( Е = йерНе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
