Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 22
Текст из файла (страница 22)
20. В начале координат неограниченного пространства х, у, г, представляющего собой вакуум, находится электрический диполь, параллельный оси г. Момент диполн меняется по закону Л(в=сопи(, — со< 1~0, Л4 = Л1, = Л(е сох го(, 0((~+со. У!. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 0 сопз1 внугри сферы радиуса Г„ б) ис!о-о = 0 вне этой сферы, и1,,=0 всюду. 24. В начальный момент времени 1=0 газ внутри сферичес- кого объема РадиУса Го сжат так, что возмУщение плотности р=р„а вне объема рммО. Начальная скорость частиц газа равна нулю во всем пространстве. Найти движение газа прн Г "» О. 25.
Решить задачу 23 б) для полупространства г~ О, если центр сфеРы находитсЯ в точке (О, О, го), го~го; РассмотРеть частные случаи, когда а)и(,о —— О, б) ио~, о — — О. 26. Решить задачу 23 б) для двугранного угла у)О, Е~О, если центР сфеРы иаходитсЯ в точке (О, У„г,), Уо» Г„го)го; рассмотреть сл)чаи, когда а) и(о «=0, и,!о «=0, б) ио!о-о = О и 1о-о =0- 27.
Неограниченное пространство заполнено покоящимся иде- альным газом. В момент времени 1=ОБ некоторой фиксированной точке этого пространства начинает непрерывно действовать сфе- рнчески симметричный источник газа мощностью д (Г). Найти потенциал скоростей частиц газа при р) О, предполагая возмуще- ния, вызываемые источником, малыми. 23. Решить предыдущую задачу, если источник находится а! внутри двугранного угла —.
где п — целое число, большее нуля; б) внутри плоского слоя, О(г~(, причем ограничивающие плоскости являются неподвижными. 29. Из решения краевой задачи ии=аЫ и+1(х, у, г, 1), — со(х, у, г(+ОС, 0(((-(-ооо и 1, = «Р(х, У, г), и, ~, о = «Р(х, У, г), — со < х, У, г (+ со методом «спуска» ) получить решение краевой задачи по«о=а»бои«+1»(х, у, 1), — ОО<х, у(+ОО, 0(1(+со, и о~, о = ~Р« (х, У), и!*), о фо (х, У)„ — со ( х, У ( + со. 30,. Из решения краевой задачи ил=а«Ь»ио си+1(х, у, г, 1), — со<х, у, г(-(-со, 0(1(+со, и !« о = ор (х, у, г), и«'о о = ф (х, у, г), — со ( х, у, г ( -(-Оо ') См. (7), стр.
4!3 — 4!4; (2), том !1, отр. Ы6 — Ввб, 112 уСЛОВия зэллч методом аспускаэ*) получить решение краевой задачи итт=иэйэи'-э сэи*+/э(х, у, (), — оо с„-х, р(+со, О<4<+со, иэ)т э=эта(х, у), и7~т а — — фэ(х, у), — со(х, у(+со. 31. На фиксированной прямой в неограниченном пространстве, заполненном покоящимся идеальным газом, непрерывно распределены источники газа, начинающие действовать в момент 1=0, причем мощность источников единицы длины этой прямой равна т)(1).
Найти потенциал скоростей частиц газа при 8-> О, предполагая, что возмущения, вызываемые источниками в окружакчцем газе, малы (вне бесконечно малой окрестности прямой, несущей на себе источники). 32. Решить предыдущую задачу для квадранта х)0, у)0, ограниченного.'абсолютно твердыми плоскостями х=0, у=О, если прямая, на которой расположены исючники, параллельна оси х и определяется координатами х„у„хэ) О, уа)0. 33. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сферическая оболочка радиуса г, с центром в фиксированной точке. Начиная с момента т=О, радиус сферической поверхности непрерывно меняется по заданному закону, причем радиальная скорость точек поверхности равна р(1).
Найти движение в случае, когда )э(т)=Аз1пта|. 34. Решить предыдущую задачу, если сфера находится в полу- пространстве, ограниченном неподвижной плоскостью. 35. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сфера фиксированного радиуса г,. С момента 1=0 центр сферы совершает малые колебания со скоростью )т(1), причем ~ $7(1)! с а, где а — скорость звука. найти потенциал скоростей частиц газа. 36.
Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании клина потоком идеального газа; найти потенциал скоростей в возмущенной области и возмущение давления на клине **). 37. Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании кругового конуса с небольшим углом раствора ** ). 38. Распространяющейся плоской волной для уравнения и„=пайи+си. ') См. (7], стр.
413 — 414; (2), т. 11, стр. 553 — 5та5. ") См. задачу 7. э*') См. задачу 8. ыз У1 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА д"е Фи где Ьп= — +... + —, НВЗЫВВЕГСЯ РЕШЕНИЕ ВИДа дх) " дхй ' ~ и -~ (~ ~*,— ы). (2) а=% ~ Б и. ° -.=~(~.ю-и) .. 1=! яниое значение на каждой плоскости семейства ~ пуху — Ы = соп51. ь'=! (3) Расстояние от плоскости (3) до начала координат х,=О, х,=О... ..., х„=О равно И+ соп51 (4) Ф,Г С изменением 1 плоскость (3) движется со скоростью ь (6) оставаясь параллельной своему начальному положению(при (=0) )' ПГх~=соп51; (6) 1 ! иными словами, со скоростью (6) она удаляется от своего первоначального положения (6). Для упрощения выкладок будем а в дальнейшем считать, что ~',а,".
1, т. е. что а,являются направ- ляющнми косинусами нормали к плоское ти (3); Я= ~Ч ', а,х, — Ы г ! называется фазой волны (2), а г — формой волны. Локазать, что 1) для существования плоских волн произвольной формы у уравнения (1), распространяющихся со скоростью а в любых направлениях, необходимо и достаточно, чтобы было с= О; 2) при счь О у уравнения (1) существуют плоские волны любых направлений распространения и любых скоростей, кроме скорости а, однако их форма не можег быть произвольной, а является решением дифференпиального уравнения 1" (()) (аз — Ьк) +1 (й) С = О.
(у) ))4 головня задач 39. Решить задачу о стационарном обтекании волнообразной стенки у=ез1пьх, где а — мало, — оо(х(+со, потоком идеального сжимаемого газа, невозмущенная скорость которого совпадает по яаправленню с осью х и равна (/ =сопя(. Рассмотреть случаи: а) дозвуковой скорости потока, б) сверхзвуковой скорости потока. 40. Путем суперпозиция плоских волн с фронтом, параллельным оси г, )(а) — ах — ))у), где и и р — направляющие косинусы нормали к фронту волны.
получить цилиндрические волны аФ+ )(й) К4 р' ж — (а( а)з Я где г =-) ха+да. Найти явное выражеяие для ф(г, () прн условии, что О при — со($( — г„ ~(~)= ((а=сопя( при — г„($ ='г„, О при га(я(+ со. 41. Путем суперпозиции сферически симметричных волн й(а( — к) ),(а(+г) ) и '( + ), где ),(В) и ),(5) — произвольные функции, получить цилиндрические волны оФ вЂ” а +~о Зб (з) Ш; ( ) '2)~(й) ас г (а( — а)а — р~ ) р (а( — д" — ра р ра=ка+9', предполагая интегралы сходящимися. 42. Найти цилиндрически симметричные монохроматические волны в неограниченном пространстве, решая уравнение ив=а*Ли, а затем получить эти волны путем суперпозиции плоских моно.
хроматических воли. 43. Путем суперпозиция плоских волн получить сферическую волну вида Ф ~(+ — ) — Ф(( — ) 44. Решить задачу об отражении и преломлении плоской моно. хроматической волны на плоской границе раздела двух различных идеальных газов; найти соотношение между углами падения, отраккения и преломления, а также между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Невозмущенные давления в обоих газах предполагаются одинаковыми. у! УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧесКОГО типА ыв 46. Найти соотношение между углами падения, отражения н преломления плоской монохроматической электромагнитной волны на плоской грапипе двух однородных нзотропных диэлектриков. 46.
Рассматривая случай нормального падения плоской моно- хроматической электромагнитной линейно поляризованной волны иа плоскость раздела двух однородных нзотропиых диэлектриков, найти соотношение между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн и дать выражение для этих волн. й 3. Метод разделения переменных *) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций В этом пункте рассматриваются также краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в ниде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. Сначала среды предполагаются изотропными и однородными, затем приводится несколько задач для неоднородных сред. а) Однородные среди 47. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны О(х((и 0(ув-(» с закрепленным краем, вызванные начальным отклонением и (х, у, 0) = Аху (8, — х) ((в — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь.
46. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны О~х((О О~у -(в с закрепленным краем, вызванные началы ным распределением скоростей и,(х, д, 0) = Аху((, — х)((» — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. 46. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны О~х~(О О =у((в с закрепленным краем, вызванные поперечным сосредоточенным импульсом К, сообщенным мембране в точке (х», у»), О~х„((,, О~у» (в, считая. что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 50.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0(х~(и О~у~(» с закрепленным краем, вызванные непре- «) См. первую сноску н» стр 32. 116 УСЛОВИЙ ЗАДАЧ рывно распределенной по мембране и перпендикулярной к ее поверхности силой с плотностью г" (х, у, 1)= А(х, у)з1пМ, 0<1<+со, считая, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 5!. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 х<(м 0<у<( с закрепленным краем, вызванные сосредоточенной поперечной силой г(1)=Азшоз~, А=сопз(, 0<г<+со, приложенной в точке (хм рч), 0<к~<(„0<у~<(м считая, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 52. Найти колебания воды в прямоугольном резервуаре 0 =.х я.", "(о О < р < (, под действием переменного внешнего давления на свободной поверхности рч(х, у, Г)=А соз — соз — ~Р(Г), 0<Х<+оо, ~(0)=О, й если глубинз воды в невозмущенном состоянии равна й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
