Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Функция ~(() предполагается имеющей непрерывную производную *). 53. Решить задачу 49, предполагая, что окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 54. Найти установившиеся колебания прямоугольной мембраны 0<х<(„0<у<1, в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенной поперечной силы с плотностью г=Азшвг, 0<(<+со, А=сопз(.
Контур мембраны закреплен неподвижно. 55. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я„и 3,, Радиус внутренней сферы Яо меняется по закону г(1)=гт+ез|поМ, — со<(<+со, 0<в ~гз — г„, а внешняя сфера остаегся неизменной. Найти установившиеся колебания газа между сФерами. 56. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я„, и Я,, с фиксированными радиусами г, и г,.
Нвйтн колебания газа между сферамн, вызванные начальным радивльным .возмущением плотности о (г, 0) = ) (г), г, < г < г . ') См. алычи 9 В 1О. 11 7» чь КРАВнения ГипеРБОлическОГО типА б) »1еоднородные среды 67. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0(..
~х(1„0(у(1„составленной из двух однородных прямо-- угольных кусков 0(х(хы 0(у(1, и х ч..х(1„0(у(1 вызванные начальными поперечными возмущениями. 68. Сферическая полость фиксированного радиуса г, заполнена двумя различными идеальными газами, поверхностью раздела ноторых является сфера Я,,(0 (г, ( г,), концентрическая поверхности полости. Найти колебания газов при следующих начальных условиях. для потенциала скоростей и(г, 1) и давления р(г, 1): и(г, 0) =)(г), р(», 0)=р„О-=.г(г . 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций Как н в предыдущем пункте, сначала идут задачи для одно-.
родных сред, затем для неоднородных. а) Однородные среды 69. Найти поперечные колебания круглой мембраны с закрепленным краем, вызванные радиально симметричным начальным распределением отклонений и скоростей, считая реакцию окружающей среды пренебрежимо малой. 60. Решить предыдущую задачу, предполагая, что начальное- отклонение имеет форму параболонда вращения, а начальные скорости равны нулю.
61. Найти колебания воды в круглом вертикальном цилиндрическом сосуде с горизонтальным дном, если начальные условия обладают радиальной симметрией, а давление на свободной поверхности воды остается постоянным. 62. Найти колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным постоянным давлением, действующим на одну сторону мембраны с момента 1=0, предполагая, что окружающая среда не окааывает какого-либо другого сопротивления колебаниям.
мембраны. 63. Найти колебания круглой мембраны О(г(г, с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные переменным давлением Р =1(г, 1), 0 ==. г:а г,, 0 (1 (+. ОО, приложенным к одной стороне мембраны. нв УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 64. Найти колебания круглой мембраны 0< г:=гч с закреп.ленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным давлением р= р Ипь1, 0(1<+ос, приложенным к одной стороне мембраны. 66. Найти при нулевых начальных условиях колебания круглой мембраны 0<г(г, в среде без сопротивления, вызванные движением ее края по закону и (г, 1) = А з|п ь1, 0 (1 ( + со, 66.
Решить задачу 59 в случае, когда окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 67. Найти установившиеся колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенного (приложенного к одной стороне мембраны) давления а) р = р, Ип ь1, О (1(+ со, рА = сопз(, б) р = рч соз ь1, 0 < 1 <+ со» ро = сопИ. 68. Найти установившиеся колебания круглой мембраны Ож (г =г, в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, вызываемые движением ее края по закону и(г„1)=АИпь1 (ср.
с задачей 65). 69. Найти колебания круглой мембраны барабана А), вызванные радиально симметричными начальными возмущениями. 70. Найти колебания круглой мембраны барабана, вызванные равномерно распределенным давлением р=й,япь1; 0(1<+со, )1,=сопз(, приложенным к внешней стороне мембраны. 71. Найти поперечные колебания круглой пластинки с жестко закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные радиально симметричными начальными возмущениями.
72. Найти поперечные колебания пластинки предыдущей задачи, вызванные поперечным сосредоточенным ударом по центру .пластинки, передавшим ей импульс 1. 73. Найти поперечные колебания пластинки задачи 7), вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с плотностью р =р, Ипь1, приложенной с момента 1=0. 74. Найти поперечные колебания пластинки задачи 7), вызы.
вземые сосредоточенной поперечной силой Р = РАаш ь1, приложенной в центре пластинки с момента 1 =0 (колебания мембрань1 репродуктора). ") См. АААачт 5. УЬ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ! 19. 78. Найти поперечные колебания круглой кольцевой мембраны-. с закрепленными краями, вызванные радиально симмегричнымн. начальными возмущениями.
76. Найти поперечные колебания описанной в предыдущей задаче мембраны, вызванные равномерно распределенным давлением: Р Рз з1п ы(, 0 ( 1«-'+со, Р„= сопз1, приложенным к одной стороне мембраны. 77. Найти колебания жидкости в сосуде с горизонтальным дном, стенками которого являются два коаксиальиых круглых цилиндра, если гчубина жидкости в невозмушенном состоянии равна й =сопэ1, а начальные возмущения радиально симметричны *).
78. Найти колебания газа (потенциал скоростей) в круглом замкнутом цилиндрическом сосуде, вызванные радиальными колебаниями боковой стенки, начавшимися в момент 1=0, если скорости частию стенки равны 1(г)соэЫ, 0 =.г~( (1 — длина цилиндра), 0~1 с.+СО. Верхнее и нижнее донья неподвижны. 79. Найти колебания газа в круглол1 замкнутом цилиндре, вызванные поперечными колебаниями одного из его доньев, начавшимися в момент 1=0, если скорости частиц этого дна равны 1(г)созЫ, О«=г(Г, (Ä— радиус цилиндра), 0(1(+СО. Второе дно и боковая стенка сосуда неподвижны. 80.
Найти колебания газа в замкнутом сосуде, образованном двумя коаксиальными круглым цилиндрами и двумя поперечиымн плоскими доньями, вызванные радиальными колебаниями внешнего цилиндра, начавшимися в момент 1=0, если скорости частиц этого цилиндра равны г(г)созый 0 =г(1, 1 — длина цилиндра. д(онья и внутренний цилиндр неподвижны. 81. Найти колебания газа в сосуде, описанном в предыдущей задаче, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев, начавшимися в момент 1=0, если скорости частию этого дна равны 1(Г)созаМ, Г*--.г~ Г**, г* и Г"" — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.
Второе дио и цилиндры неподвижны. 82. Найти поперечные колебания круглой мембраны О~г .г„ с закрепленным' краем, вызванные сосредоточенным ударом, нормальным к поверхности мембраны, передавшим мембране в точке (ГО <р,), Ос г,(г, импульс К. Рассмотреть случай, когда окружающая среда ие оказывает- сопротивления движению мембраны. з) См. задачу 9. Ч20 зсловия задач 83. С уд с водой, представая щ й бой вер каль""и круглый цилиндр с горизонтальным дном, длительное время движется со скоростью о =сола( в направлении, перпендикулярном к оси сосуда. Найти колебания воды в сосуде при 1 ) О, если в момент 1=0 сосуд мгновенно останавливается и если при 1<0 вода относительно сосуда была неподвижной.
Давление на свободной поверхности воды считать постоянным. 84. Найти колебания круглой мембраны О< г =- г, с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенным перемен.ным давлением Р=1(г) сов(ф — со1)„1(г ) =О, 0<1<+оо, ,приложенным к одной стороне мембраны. 85. Найти установившиеся колебания мембраны, описанной в предыдущей задаче, в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. 86. Найти колебания круглой мембраны 0<.г =г„вызван.ные колебаниями ее края по закону и (пм ~р, 1) =1(1) соз юр, г" (0) =)" (0) = О, л — целое) О, 0 <(<+со.
87. Найти колебания круглой мембраны 0< г< г„вызванные колебаниями ее края по закону и(г„~р, 1)=р(~р) з(пЫ, р(~)— гладкая функция с периодом 2п. 88. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре -О-=.с =-'г„О<а<1, вызванные радиальными колебаниями его боковой стенки со скоростью, меняющейся по закону Г(г) созерсозе1, а — целое>О, 0<1<+со. Донья сосуда неподвижны. 89. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре 4) =г<гм О<а~1, вызванные поперечными колебаниями одного из доиьев со скоростью, меняющейся по закону1(г) созаф созы1, п — целое ) О, 0 < 1 <+ со. 80.
Найти поперечные колебания мембраны с закрепленным краем, вызванные начальным сосредоточенным поперечным импульсом К, сообщенным мембране в некоторой ее внутренней точке, если мембрана имеет форму кругового сектора, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям 91. Решить предыдущую задачу для мембраны, имеющей форму сектора кругового кольца. 82.
Найти колебания газа в области, ограниченной двумя , коаксиальными неподвижными круглыми цилиндрами, двумя плос. костями, перпендикулярными к оси цилиндров, и двумя плоскос- ть инавнвиия гипеоволичвского типа 121' тями, проходящими через их ось, если эти колебания вызваны начальными возмущениями„не зависящими от г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
