Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 25
Текст из файла (страница 25)
126. Решить краевую задачу 20. (27. Найти колебания упругой изотропиой однородной среды, заполняющей все неограниченное пространство, вызванные непрерывно действующей силой г(1)(г" (1) 0 при 1(0), приложенной , к определенной точке среды и параллельной фиксированному направлению. ГЛАВА УИ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Ли+си = — у $1. Задачи для уравнения Ьи — х'и= — у В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые задачи для уравнения эллиптического типа Ьи — х'и=О (х*)0), к которому приводят, например, задачи о диффузии неустойчивого газа, распадающегося в процессе диффузии. Уравнение (1) имеет фундаментальные решения: е-"' а) и (М)= — в трехмерном пространстве, г б) ие(М) =Ке(хг) на плоскости (г — расстояние точки М от начала координат).
Функция К,(х), как известно, имеет при х= О логарифмическую особенность и экс- поненциально убывает на бесконечности. Метод разделения переменных при решении уравнения (1) часто приводит к уравнению Бесселя для мнимого аргумента у" +-„' у — ~1+„"— ,') у = О, общее решение которого имеет вид у=А! (х)+ВК,(к), где 1,(х) и К,(х) — цилиндрические функции мнимого аргумента первого и второго рода.
Функция т'„(х) ограничена при х= 0 и экспоненциально возрастает при х- со. 1. Определить стационарное распределение концентрации неустойчивого газа в неограниченном пространстве, создаваемой точечным источником газа мощностью ()е. 2. Точечный источник неустойчивого газа располоткен на высоте ь над газонепроницаемой плоскостью х=О. Найти стационарное распределение концентрации. !гз УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 3. Построить функцию точечного источника для уравнения Ьи — х'и =0 на плоскости н дать ей физическую интерпретацию. 4 Решить задачу 3, предполагая, что плоскость у=О газонепроницаема.
6. Построить функцию источника для уравнения диффузии неустойчивого газа, если источник находится внутри слоя (0~ г~1), ограниченного газонепроннцаемыми плоскостями г = 0 и г =1. 6. Решить аналог задачи 5 для двумерного случая. 7. Точечный источник неустойчивого газа помещен внутри бесконечной цилиндрической трубы с газонепроницаемыми стенками. Определить станционарное распределение концентрации газа, считая, что сечение трубы может иметь произвольную форму. 8. Построить функцию источника для уравнения Ли в х'и =О внутри сферы при граничном условии второго рода.
в. Точечный источник газа действует в неограниченной среде, движущейся с постоянной скоростью ц,. Найти стационарное распределение концентрации газа. 10. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра кругового сечения, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентрация и! =и . 1!. Решить задачу 10 для области, внешней к цилиндру. 12. Решить задачу 10 внутри сферы радиуса а, если а) и~ =им б) и! =и соз8.
13. Решить задачу 12 для области, внешней к сфере радиуса а. 14. На глубине й под поверхностью земли находится среда, в которой с постоянной плотностью распределено радиоактивное вещество. Найти: а) распределение эманации в земле, б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что концентрация ее на поверхности земли равна нулю.
!5. На глубине й под поверхностью земли сосредоточено в некотором объеме радиоактивное вещество, выделяющее в единицу времени некоторое количество эманации (неустойчивого газа), равное Я,. Найти: а) распределение концентрации эманации в земле, б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что источник эманации точечный, а концентрация ее на поверхности земли равна нулю. 16. Решить задачу, обратную задаче 16. Известно распределение потока через поверхность земли д=д(р); требуется найти! а) мощность источника4м б) положение источника, т.
е. глубину залегания й радиоактивного вещества. уп. уРАВнения зллиптического типА й 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях Задачи о собственных колебаниях мембран и ограшшеиных объемов, как известно, приводи! к однородному уравнению У (о)+Эре=О ).(В)=б(у(й йгаб о) (Уг(х))О, 1!(х)» О) внутри некоторой, области Т при однородных условиях на ее границе. В гл Н, а затем в гл.
т' по мере надобности рассматривались некоторые задачи о собственных колебаниях струны и мембраны. В настоящем параграфе будет дан оолее полный список задач о собственных значениях, решаемых методам разделения переменных. Выражение «найти собственные колебания» в дальнейшем будет означать, что требуется найти собственные значения и нормированные собственные функции для рассматриваемой области. 1. Собственные колебания струн и стержней 17. Решить задачу о собственных поперечных колебаниях одно- родной струны О:~к~1, если а) концы струны жестко закреплены, б) концы струны свободны' ), в) один конец струны свободен, а второй конец закреплен, г) концы струны закреплены упруго. д) один конец струны закреплен жестко, а второй конец закреп- лен упруго, е) один конец струны закреплен упруго, а второй конец сво- боден.
18. Найти собственные продольные колебания стержня длиной 1, составленного нз двух стержней с длинами х и 1 — х, обладаю- цшх разнькии плотностями (р, рз) и модулями упругости 'Е, и Е,), предполагая, что концы стержня а) жестко закреплены, б) свободны, в) упруго закреплены. 19. На одном конце стержня прикреплен груз массы М. Найти собственные продольные упругие колебания стержня, ачитая, что второй конец стержня а) жестко закреплен, б) свободен, в) упруго закреплен.
дп ') Это значит, что — на концах струны равяо нулю. Это имеет место, дх вапример, при закреплении концов струны на колечках (с пренебрежимо ма.- Лой массой), скользни!Ях бзз трения по параллельным стерженькам, в. и. Булав а аз. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ Обратить внимание на условия ортогональностн собственных функций. Йля задачи а) рассмотреть случаи малых и больших нагру- зок, найдя соответствующие поправки к невозмущенным собствен- ным значениям. 20. Решить задачу о собственных колебаниях струны, нагру- женной сосредоточенной массой М, подвешенной в некоторой внутренней точке струны, предполагая, что концы струны а) закреплены жестко, б) свободны, в) упруго закреплены. Вычислить поправки к собственным значениям для задачи а). 2!.
Найти поперечные собственные колебания однородного стер- жня, если а) оба конца стержня заделаны жестко, б) оба конца стержня свободны, в) один конец стержня свободен, а второй жестко заделан. Найти первый член асимптотического разложения собственных частот. 2. Собственные колебания объемов 22. Найти собственные колебания прямоугольной мембраны а) с закрепленной жестко границей, 6) со свободной границей, в) если две противоположные стороны закреплены, а две другие свободны, г) если две соседние стороны закреплены, а две другие свободны, д) с упруго закрепленной границей.
23. Решить задачу 22 для круглой мембраны (случай а), 6), д)). 24. Определить собственныезначения и нормированные собствен- ные функции для прямоугольного параллелепипеда при а) граничных условиях первого рода, 6) граничных условиях второго рода, в) граничных условиях третьего рода. 25.
Найти собственные колебания сферы при а) граничных условиях первого рода, 6) граничных условиях второго рода, в) граничных условиях третьего рода. 26. Решить задачу о собственных колебаниях круглого цилин- дра конечной длины при граничных условиях а) первого рода, б) второго рода, в) третьего рода. 27.
Определить собственные колебания мембраны, имеюшей форму круглого кольца а~р(Ь, если ее граница тп. теквнвния эллиптического типк а) жестко закреплена, 6) свободна, в) упруго закреплена. 28. Определить собственные колебания мембраны, имеющей форму кругового сектора (р~а, О~ф =.~р~). если его граница а) жестко закреплена, 6) свободна, в) упруго закреплена. 29 Найти собственные колебания мембраны, имеющей форму кольцевого сектора (а~р~Ь, 0 и-~рагс,) а) с жестко закрепленной границей, 6) со свободной границей, в) с упруго закрепленной границей.
30. Определить собственные значения и собственные функции торонда с прямоугольным сечением (а(р~аЬ, О~=а~0 при граничных условиях а) первого рода, б) второго рода, в) третьего рода. 31. Плоская мембрана имеет форму кольца с внешним радиусом а н внутренним радиусом е; граница мембраны закреплена жестко. Сравнить первое собственное значение Х, такой мембраны с первым собственным значением Ц круглой мембраны радиуса а, для чего а) показать, что !пп Х, Ц, е-0 6) вычислить поправку Ь? =Х,-)4 при малых е. 32.
Круглая мембрана радиуса а нагружена массой М, равно- мерно распределенной по абсолютно жесткому кругу радиуса е(г ~ е). Сравнить собственные значения ?,„этой мембраны о собствен- ными значениями Ц ненагруженной мембраны. Рассмотреть два случая: М мало и М велико. Если М-~-О, то ?. -~Ц. Если М -э со„ то Х„-~.Щ „ причем Х, — О. ЗЗ. Решить задачу 31, предполагая внешнюю границу свободной. 34. Сформулировать задачу о собственных колебаниях бара- бана, как задачу о колебаниях круглой мембраны с присоединен- ным воздушным объемом. Как зависит основная частота от раз- меров присоединенного объема (см. задачу 5 гл.
Ч1)? 35. Круглая мембрана большого барабана имеет радиус та=50 см, Р=0,1 г~смк, Т 10к див(см. Какова будет основная частота, если мембрана колеблется в свободном пространстве? Присоединение к мембране некоторою цоздушного объема увеличивает основную частоту в 1,45 раза. Определить величину присоединенного объема. б" ЮЬ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где ~ . з... 12йй — ~ > Рй~~йй Рл+~ ° У~ м. зй (зйй 11й 12ГА+ 1)й Функция С"'(дг) удовлетворяет условию излучения 1пп Г~ — + ййи)=0, Г ди 1 дй соответствующему зависимости от времени вида е'"'. Все необходимые теоретические сведения по материалу 9 3 .можно найти в гл.
Ъ'11, а также в добавлениях 1 и Н курса 17]. 1. Точечный источник Зб. Найти функцию источника для полупространства е- О, если В плоскости Е=О решение уравнения Ьо+ййп=О а) удовлетворяет граничному условию первого рода п~, дй ~ б) удовлетворяет условию второго рода — ~ дг р=й 37. Найти функцию источника для волнового уравнения в полушлоскости у>0 а, для первой краевой задачи, б) для второй краевой задачи. 38. Вычислить энергию, которая излучается в свободное пространство изолированным точечным источником звука, колеблющимся по гармоническому закону. Найти также величину удельного акустического йвйнеданса.
39. Точечный источник звука помещен в полупространстве з ( 0 на расстоянии а от абсолютно жесткой стенки г =О. НИти излучение источника, его интенсивность в волновой зоне и сравнить с решением задачи 38. 40. Решить задачу 39, считая, что полупростраиство заполнено ,жидкостью, ограниченной свободной поверхностью г=О, на которой давление равно нулю. Сравнить с решениями задач 38 н 39. 41. Доказать принцип взаимности в акустике: «Если в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающимися на конечное расстояние неподвижными телами, частично же неограниченном, в какой-либо точке М Возбуждаются звуковые волны, то обусловленный ими в какой-либо другой точке Р потенциал скорости и по величине, и по фазе совпадает с тем, который имел бы место в М, если бы в Р находился источник звукай (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
