Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1. Ось Ох направлена вдоль стержня; за характеризующую функцию при- вито смещение и(х, 1) вдоль оси х поперечнога сечении, абсцисса которого в р. вновесном состоянии равна х; иными словами, в момент времени 1 абсцисса этом> сечения равна в=а+и (х, 1). Для определенна функции и (х, 1) получаем краевые задачи: а) когда концы стержня закреплены жестко, та ми=а и„„ при О ( х ( 1, О ( 1 (+со, (1) и (О, 1)=и (1, 1)=0 при 0(1 (+со, (2) и(х, 0)=1(х).
иг(х, 0)=г(х) при 0(х<1, (3) Е аз= —, ро где Š— модуль упругости, а рэ — плотность массы стержня в невазмущениом состоя и ни; э') когда концы стержня двигаются по заданному закону, та граничные условия имеют вид и (О, 1) = ф (1), и (1, 1) =>р (1) при 0 (1(+со, гдс фрб и >р(1) — заданные функции 1; б) когда концы стержня свободны, то граничные условия имеют вид их(0, 1)=их(1, 1)=0 прв 0(1(+ею; (4) (2') *) Заметим, чта в более общем случае силу тяжести можно не включать в дищмренциальное уравнение упругих колебаний, если за положение равно. весна принять статическое напряженное сосгояние пад действием силы тяже.
сти (ср. с [7[, стр. 102). В большинстве задач настоящего параграфа (кан, например, в задачах ..о колебаниях струя, стержней, газа) рассматриваются лишь малые колебания. 1>(аль>ми колебаниями называются такие, при которых можно пренебрегать квадратами, произведениями и высшими степенями функций, характеризующих пранесс колебаний, и их производных. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА в) когда концы стержня закреплены упруго, то граничные условия. имеют вид и,(0, 1) — Ии(0, 1) их(1, 1)+Им(!. 1) 0 пРн 0(1(+со, (5) И И ЕЗ,' гле И вЂ” коэффициент упругости заделки (предполагается, что он одинаков аля обоих концов, в противном случае значения константы И для правого и леного концов будут различны), а 3 — площадь поперечного сечения.
У к а з а н и е ч). Направим ось Ох вдоль стержня. Каж ое поперечное сечение стержня можно характернзовать той абсциссой х, которую оно имело в положении равновесия гч). Тогда сечение, отмеченное абсциссой х, в момент! будет иметь абсциссу х х+и(х, 1). Здесь и(х, О означает величину продольного смепгения того поперечного сечения стержня, которое в положении равно. весия имеет абсциссу х. Таким образом, функция и(х, 1) выражена в лагранжевых координатах *'*). Дифференциючьное уравнение (1) может быть получено переходом к пре.
делу при Ьх-ьб из уравнения движения, выражающего второй закон Ньютона длн элемента (х, х+Ьх) стержня, т. е, для элемента, торцы которого в состоянии равновесия имеют абсциссы х и к+ах. Для определения упругих сил. действующих иа этот элемент, нужно воспользоваться законом Гука, который выражается равенством Х ЕЯих (х, 1), где Х вЂ” проекция на ось х силы Р, с которой часть стержня, лежащая правее рассматриваемого се~ения, действует на часть, лежащую левее этого сечения, 3 — площадь этого поперечного сечения "ь "2), а и„(х, 1) относительное удлинение стержня в том поперечном сечении, воторое в положении равновесия имела абсциссу х чьььч).
Если концы стержня фннсированы неподвижно, то граничные условия очевидны. Если же концы стержня свободны или закреплены упруго, то граничные условия могут быть получены из соотношений, выражающих второй закон Ньютона для граничных элементов. Рассмотрим, например, случай, когда конец х 1 закреплен упруго. Слева на граничный элемент (! — Их, 1), примыкающий к втоцу концу, действуег остальная часть стержня с силой — ЕЮи (! — Их, 1), справа в упругая опора с силой *чгчаь) -Ии (1, 1). Поэтому второй закон Ньютона для этого элемента выразится уравнением о гг Юрэбх — = — Еби (1 — бх.
1) — Ии (1, 1), л(э "х ) Ср. с выводом уравнения в [7[, стр 27 — 28. '*) Равновесным может быть статическое напряжение состояния. "**) См. (7[, стр. хг. ьь**) Сила 7) перпендикулярна к поперечному сечению, а следовательнв, ее направление либо совпадает с направлением оси Ох, либо противоположно направлению оси Ох. **чав) См. [7), стр. 27. э+чача) См. пункт в) условия задачи.
ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где Для конца х 0 знак при й в граничном условии будет иным. В свмом деле, рассмотрим элемент (О, Ьх). К его левому концу прнложена сила — йи (О, г), а к правому концу — сила ЕЕи„(йх, Г), поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для этого элемента, имеет внд дзи Ер д — ЕЕ (йх, () — йи(0 () Переходя к пределу при Ьх-ьо, получаем: и (О. г) — йи(0. ()=О, где А имеет прежнее значение, если стержень однороден, а коэффициент упру гости заделки дли обоих концов одинаков. Пр и меча и не.
Иногда лля постановки краевой задачи о продольных колебаниях стержня целохюбразно испольэовать не одно уравнение в чвсгныи производных второго порядка, а систему лвух дифференциальных уравнений в частнык производных первого порядка Обозначим через р (х, () напряжение в поперечном сечении с лагрвнжевой координатой «„ определяя его соотношением Х(х, Г) д(х, В= где Š— площадь поперечного сечения стержня, а Х (х. Г) — проекция на ось х силы, с которой часть стержня, примыкающая к сечению х справа, дгйствует на часть этого стержня, примыкающую к сечению слева.
Через и(х, (), как обычно, обозначим смешение из положения равновесия поперечного сечения с лагранжевой координатой х. В качестве функций, характеризующих процесс колебаний, возьмем: р(х, Г) и в(х, ()=и,(х, Г) рассмотрим, например, случай, когда левый конек стержня закреплен непо движно, а правый свободен.
Мы придем к краевой задаче 1 вх — Фг=о. Е ' 10<к<1, О<(<+ П) — рх+ревг=о, ) , (О, ()=О, й((„г)=о, О<(<+ в(х, 0)-ф(х), Ф(х, 0)=ф(х), 0<х<( (й) (З) 2. Ось Ох декартовой системы координат направлена вдоль положения равновесия струны.
Пусть в положении равновесия точка имеет координаты (х( 0; 0], а в отклоненном положении (х+и, (х, Г]1 иэ(х, Г); из(х, С)). огкуда, переходя к пределу при Ьх-ьо, получим граиячнов условна дди конца х ЕЕи ((, ()+ йи (), () 0 или и.(). ()+й ((. В-О. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Для определения функций и,(х. 1), и,(х. 1), из(Х, 1), характеризующих процесс колебаний струны, получаем краевые задачи — о~а — прн 0 <х <1, 0 < 1<+со, дави а дана д)а дхз иа(0, 1)=па (й 1)=0 при 0<1 <+со, из(х, 0)=(а(х), ' гь(х) при Оч-а<1. див(х, 0) дт 6=1, 2,3, где а' — аз а' — е Š— модуль упругости, 3 — плошадь поперечного р ~ 3 р сечения, р — линейнаи плотность массы, У к а з а н и е.
Полная сила натяжения струны складывается из начала ной силы натяжения уа н упругой силы, возникающей при относительном удлинении элементов струны. При малых колебаниях струну можно считать абсолютно гибкой, т. е. силу натяжения в кютлой точке струны считать касательной к струне. Дифференциальные уравнения зля функш й иа(х, 1) можно получить переходом к пределу при бх-ьо из уравнений движения, выражающих для влемента (х, х+Ьх) второй закон Ньютона в проекциях на оси координат По поводу определения сил, действующих на концы ьлемента (х, к+ах) см.
дополнительно [7), стр. 23 — 24, а также уназзние к предыдущей задаче. 3. Ось Ох направлена по продольной осн инерции цилиндра, а через 6 (х, 1) обозначен угол поворота поперечного сечения с абсциссой х, причем концы цилиндра определяются абсциссами х= о а х= 1. Для функции 6 (х, 1) получаем краевые задачи: а) в случае жестко закрепленных коннов да 6 дае д(з дхз — аз — при 0 < х < 1, О <1 <+со, (1) 6(0, 1) 6(1, 1) 0 прн 0<1<+со, (2) 6(х, 0)-1(х), 6,(х, 0)=Е(х) при 0<х<1.
(3) ВУ оа — где 6 — модуль сдвига.,) — полярный (геометрический) момент инер)( ' ции поперечного сечения цилиндра относительно точки. в которой ось ци« линдрз встречает вто поперечное сечение, )( — осевой момент инерции единицы длины стержня (относительно той же оси); б) когда концы цилиндра свободны, то граничные условия иммет вид 6„(О. 1)-6 (1, 1)-О; (4) в) когда концы цилиндра закреплены упруго. то граничные условия иммет ВИД 6„(О,  — А6 (О, 1)-О. 6„Д, 1)+66(1. 1)=О.
(5) У к а з а н и е. Установить, что момент М упругих сил, приложенньщ к поперечному сечению х цилиндра, может быть найден по формуле (б) Для етого рассмотреть (рис. !6) сдвиг параллельного оси цилиндра алемее тарного волокна АВ с основаниями да иа сечениях, вызывммый поворотом сеченая х+Ьх вокруг осн цилиндра иа угол Ь6 — Ьх отеосительно сече. д6 дх ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЙ дэ ния х, н определить связь между углом сдвига <р и —, Напряжение сдвига г дх' на основании да такого волоина, лежащего в сечении х, может быть опреде.
лена по закону Гука для деформации сдвига Дифференциальное уравнение (1) можно получить предельным переходом при Лх - б из уравнения вращательного движения ') для элемента 1х, х+Лх) цилиндра. Рис. 16. Граничные условия получаются аналогично тому, кзк это было сделано и случае продольных колебаний стержня. 4.
Плотность р. давление р, потенциал скорости <р, скорость о частиц газа и продольное отклонение и частиц газа удовлетворяют одному н тому же диф ференциальному уравнению дзгэ д"э — аз— дтз дхз с одной и той же константой ср где э — — показатель адиабаты аэ равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкосгя при постоянном обьеме. а р, и рз — давление и плотность в вевозмущенном газе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
