Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 24
Текст из файла (страница 24)
93. Сферический сосуд с газом в течение длительного времени двигался равномерно со скоростью о, а затем в момент 1=0 мгновенно остановился и остался неподвижным. Найти возникшие вследствие этого колебания газа в сосуде. 94. Сферический сосуд, наполненный газом, начиная с моме1ма т =О, совершает малые гармонические колебания в направлении одного из своих диаметров; смещение сосуда в направлении этого диамегра равно Аз)по«1, 0 ")~+со. Найти колебания газа в сосуде, предполагая, что при )(О газ покоился. 95.
Найти колебания газа в сферическом сосуде 0(г(г„ 0(6(п, 0(~р(2п, вызванные малыми деформациями стенки сосуда, начавшимися с момента 1= 0, если скорости частиц стенки сосуда направлены по его радиусам, а величина скоростей равна. Л Р (соз 6) соз ем'«). 96. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные. малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента )=О,. если скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда,. а величина скоростей равна Р„(соз 6) Р((), где )(О) =р'(0)=0.
97. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные- малыми колебаниями его стенки, начавшимися в момент 1=0,. если скорости частиц стенки направлены по радиусам, а величина скоростей равна 1 (6) соз ь8, О (1 -+ ех>. 98. Решить предыдущую задачу при условии, что скорости, частиц стенки равны А Р (соз 6) соз т<р соз го) *«). 99. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны р 6) соз т«р соз вй !00.
Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны. р(1) Р„(соз6)созтср, р(0)=~'(0)=0. 101. Решить задачу 93 для газа, заключенного между двумя концентрическими сферами Я,, и Я„„г, (ге. !02. Решить задачу 94 для газа, заключенного между двумя: концентрическими сферами 5,, и 5,., г, «- г,. «) Ри(6) — поаинои Лежандра. ««) Р„ж (6) — нриеоедннениан фуаииин Лежандра, т~ и, услОВия злдлч б) Неоднородные среды !03. Найти поперечные колебания неоднородной круглой мембраны 0<г~гх с закрепленным краем, полученной соединением -однородной круглой мембраны О«= г < г, и однородной кольцевой мембраны г, < г < гх, если начальные поперечные возмушения заданы. 5 4.
Метод интегральных представлений В первом пункте этого параграфа собраны задачи на применение интеграла Фурье, во втором — на построение и применение функций влияния мгновенных сосредоточенных источников. !. Применение интеграла Фурье а) 17 реобразоеакие Фурье 104. Решить краевую задачу ии = аз Ьзи, — со < х, Р <+ со, О < ! <+ со *), (1) и~, =Ф(х, у), ис'~-~='т'(х, у), — со<х, у<+ос.
(2) 105. Решить краевую задачу ии = ах Лзи, — оо < х, у, г <+ со, О < ! <+ оо а е), (1) .ай =Ф(х, у, г), и,1, =Ч" (х, у„г), — ос <х, у, г <+ос. (2) 106. Решить краевую задачу ии = аз Ази + ~ (х, у, О, — со < х, у < + со, О < Е <+ со, (1) иЬ =О, и,!т з=О, — со<х, у<+ос.
(2) 107. Решить краевую задачу ап=ахйзи+Г(х, у, г, !)„— со<х, у, г<+со, 0<! с.-+со, (1) и!, а=О, и,~, е=О, — со с х, у, г <+ со. (2) 108. Решить краевую задачу ии+дхстхсххи=О, — оо<х, У<+со, О<!с +со "ее), (1) и!, о Ф(х, У), ие'У о=И'(х, У), — оо<х„У<+ос. (2) ") а =д1тйгад — оператор Лапласа лли плоскости; в декартовых коор. дз дз ..линатак аз — + —. дкх ) а -д1тагад — оператор Лапласа али просхранства; в аекартовьпс ко д' дз дз .
ординатах аз= — + — + —. дхх дрз дзз ) Бнгарноннческнй оператор ааац, означающий двукратное применение . оператора Лапласа ах. 12З: чь иялвнения гипвяволнчвского типе б) Лреобразоеание Фуры — Бесселя (Ханнеля) 109. Применяя преобразование Фурье — Бесселя, решить крае-- вую задачу деи 1'д«и 1 ди ) дл )дс«г дс1' — =ае! — + — — 1, О«-г~+со, 0~1(-(-со, (1; и(г, 0)=, и,(г, 0)=0, 0(с<+со. (2). А ~/ 1+ ". 11О. Найти радиально симметричные поперечные колебания неограниченной пластинки, решив краевую задачу деи Г.З~ 1 д 1« — + Ь' —, + — — и — О, 0 е= г (+ со, 0 «1(+ оо, (1) и(г, О) =1(г), и,,'г, 0) =-О, 0(г <+со. (2) Рассмотреть, в частности, случай, когда )(г) =Ае ", О~г(+со. (2')- 111.
Найти радиально симметричные поперечные отклонению точек неограниченной пластинки 0(г -'+со, если точка г=О ° втой пластинки с момента 1=0 движется по заданному закону Рассмотреть, в частности, случай, когда А(1« 1). 0~1~1« 1) е - е * О, е 1««-1~ +со 112. Найти чисто вынужденные радиально симметричные поперечные отклонения точек неограниченной пластинки О==г «."+со под действием распределенных поперечных сил с плотностью р 'г, 1) = 1брЬЬ1 (г) ф' (1), — ос «" 1 «-+ схэ, где 2Ь вЂ” толщина пластинки, и — плотность массы пластинки, Ь.
имеет тот же смысл, что и в предыдущих задачах ), 1Р,1; =— ар (и 1Ь 1) зависит только от 1, а 1(г) зависит только от г. Рассмотреть, в частности, случаи, когда а) движение пластинки вынуждается сосредоточенной понереч— ной силой 16рЬЬ'(!' '1;, — со ~ 1 «+ со, приложенной в точке г*=О; «) Пеаробнее см. еедечу 16.
424 головня зьдхч б) движение пластинки вынуждается поперечной силой !брйбф'(1), — со(1(+со, равномерно распределенной по кругу О~г(а„ в) описанная в пункте б) сила действует в течение времени 14, .а именно 0 при — оо(1 =.О, ф«(1)= 4),=сопз1 при О(1"- 14 0 при г,(1(+со« дать асимптотические формулы для представления решения при малых и больших значениях г; «' 4Ара -—„ г) р(г, 1) — е ")" ((), — оо(1(+со; д) найти поперечные скорости точек пластинки при « 4Ара -и р(г, ()= —,е " 6(1), — оо(1(+со, .где 6(Г) — импульсная дельта-функция (т.
е. в момент 1=0 пла.стинка получает поперечный удар с непрерывно распределенным «*~ 4Ара — и1 .импульсом — 'е с« 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников а) Функции влияния мгновенных сосредогпоченных импульсов 113. Построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного .импульса единичной мощности для уравнения ии=аьЛ и . в неограниченном пространстве х, у, г, считая сначала, что импульс имел место в начале координат в момент 4=0; найти функцию влияния„решая краевую задачу ин=аьЬ,и, — оо(х, у, «(+со, 0(1(+сх~, (!) и~„О, и~~, 6(х)6(У)6(г), — оо(х, Р, е(+со, (2) а затем перейти к случаю, когда импульо имел место в точке ф, гн ~) «в момент 1 т. 114.
Решить предыдущую задачу для уравнения ин '- а' Лзи -+ с'и. 116. Решить двумерный аналог задачи 113. щ. гглвнения гнив«воличвского типе 116. Решить двумерный аналог задачи 114. 1!7. Разделением переменных построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для первой, второй и третьей краевых задач для уравнения ив=а«Л и а) для прямоугольной мембраны О(х(!«, 0(у(!м б) для круглой мембраны 0(г(г«, О(«р(2п. 1!8. Методом отражений построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для уравнения ив =а'Ь и + с«и для угла 0(«р«- — „, где н — целое число, большее нуля, если на граничных лучах «р=О и «р= — выполняется граничное условие н второго рода. 119.
Пусть плоская область б ограничена кусочно-гладким контуром Г. Предполагая возможным применение формулы Грина— Остроградского, связывающей криволинейный интеграл с двойным, найти решения а) первой, б) второй и в) третьей краевой задач для уравнения и«« =а«Ь«и «с«и+7(х, у, !) при неоднородных начальных и граничных условиях, если известна функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса для каждого нз перечисленных случаев. !20. С помощью функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, найденной в решении задачи 113, вывести формулу Кирхгоффа *) для уравнения ив=а'Ь и+!(х, у, г, !). б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников 121.
Построить функцию влияния непрерывно действующего ,сосредоточенного источника переменной мощности )(!)(7(!)=О при г(0), находящегося в фиксированной точке пространства, для уравнения ив=а'Л,и, т. е. решить краевую задачу и„=а'6 и+6(х — х„)6(у — у««6(г-г«)7(!), — со(х, у, г(+со, 0(!«-+со, и)« „=и,,'«« — — О. (1) (2) «) См. 171, стр, 4!7 — 42!.
122. Построить функцию влияния непрерывно действукхцего .сосредоточенного источника переменной мощности ~Ч) Д(!)=0 при !(0), находящегося в фиксированной точке пространства, для 126 всловия злдхч уравнения ил=а" Л и, т. е. решить краевую задачу ил —— а* Аэи + 6 (х — хэ) 6 (у — уэ) 1 (1), — оо(х. ус'+со, 0~1(+со„ ()у и 'э-э = О, ис ',-э = 0- (2) 123. Построить функцию влияния непрерывно действующего сосредоточенного источника переменной мощности 1(1) Д(1)=0 при 1(0), движугцегося по произвольному закону, для уравнения ии=аэЛ,и, т е. решить краевую задачу и„=аэ Лэи+ 6(х- Л (1)) 6(у — у (1)) 6(г — 2(1)) ~(1), — со Сх, у, г(+со, 0(1<+со, (() иь,=и,~,,=О, (2) где Х 11), )'(1), Я(1) — координаты источника; Х 10) = г'(О) = = Я (0) = О. В частности, найти функцию влияния сосредоточенного источника, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью и; рассмотреть случаи, когда а) о(а, б) о)а.
!24. Учитывая, что если источник обладает постоянной мощностью д и движется прямолинейно с постоянной скоросгью о, то в системе координат, движущейся вместе с источником, процесс будет стационарным, найти функции влияния такого источника а при о .-,а, б) при о)а, отбрасывая члены с производными по времени в уравнении колебаний, преобразованном в этой движущейся системе координат. 125. Найти электромагнитное поле„ создаваемое электроном, движущимся в диэлектрике прямолинейно с постоянной скоростью, превышающей скорость света в этом диэлектрике (электрон Черенкова).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
