Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 21
Текст из файла (страница 21)
П, в которой рассматриваются задачи гиперболического типа лишь для функций двух независимых переменных. Как и в гл. П, колебания сплошных сред всюду в этой главе считаются малыми в общепринятом смысле слова. $1. физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В этом параграфе рассматривается постановка краевых задач для процессов механики сплошных сред. Постановка краевых задач электродинамики рассматривается в гл. !Ъ' '*).
1. Поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в однородном идеальном газе, заполнявшем неограниченное пространство, принимая за функцию, характеризующую процесс, одну из величин: плотность газа р, давление в газе р, потенциал скоростей частиц газа 1/, вектор скорости частиц газа тг=зоп1+ -4-уЪ'з'+дпдз', потенциал смещений частиц газа Ф, или вектор смещения частиц газа и=зи'т'+уи'в'+)ги'з'. Показать, что через каждую из этих величин может быть выражена любая другая из этих же величин. 2. Вывести граничные условия для потенциала скоростей частиц газа 17'*з*), потенциала смешений гР, плотности р и давления р на плоскости, ограничиваюгдей полупросгранство, заполненное этим газом.
*) Ураинения релятивистской теории тяготения прн известных пренебрезкеннях также принадлежат к гиперболическому типу '*) Си. также 171, стр 443 — 454. ач ) По поводу обозначений си. ответ к задаче 1. пг. кравнвния гипипволичиского типа 1от Рассмотреть случаи, когда эта плоскость: а) неподвижна, б) движется с дозвуковой скоростью в направлении своей нормали по заданному закону. 3. Пространство заполнено двумя различными идеальными газами, границей раздела которых является поверхность ~"").
Предполагая, что невозмущенные давления в обоих газах одинаковы, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в газе. 4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мембраны с неподвижно закрепленным краем, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембраны. Примечание. Задача о колебаниях мембраны является двумерным аналогом задачи о колебаниях струны**). 5.
Поставить краевую задачу о колебаниях мембраны, натянутой на отверстие замкнутого сосуда, учитывая изменение давления в сосуде, вызываемое колебаниями мембраны, и считая скорость распространения малых возмущений в газе значительно большей скорости распространения волн в мембране (задача о колебаниях мембраны барабана). 6.
Вывести уравнение распространения малых возмущений в газе, движущемся с постоянной скоростью относительно выбранной системы координат. 7. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании неподвижного клина симметричным плоскопараллельным потоком идеального газа. 8. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании круглого конуса идеальным газом в направлении оси конуса, считая невозмущенный поток однородным, а возмущения, вызванные конусом, малыми. 9. Пусть уровень идеальной жидкости в бассейне с горизонтальным дном и вертикальными стенками в невозмущенном состоянии равен й=сопз(.
При малых колебаниях свободной поверхности могут возникнуть движения, при которых частицы жидкости, лежащие на любой вертикали, движутся в горизонтальных направлениях одинаково. Пусть ь(х, у, г) означает возвышение возмущенной поверхности над уровнем покоящейся жидкости. Считая давление р в возмущенной жидкости на глубине равным гидростатическому, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в слое, принимая за функцию, характеризующую процесс: 1) Ь (х, д, Г), 2) потенциал (горизонтальных) скоростей частиц жидкости, если давление ре на поверхности жидкости '1 Геометрическая поверхность.
Предполагается, что за рассматриааемсе вреь1и гранину раздела газов К можно считать бесконеЧно тонкой поверхностью "*) См. гл. 11„ $ 1. а также 17), стр. 30 — 34, услОВия злдлч остается постоянным (см. задачу 7 гл. 11„5 !). Рассматриваемав жидкость находится в бассейне с вертикальной стенкой. !О. Поставить краевую задачу 9 для случая, когда ре является заданной функцией х, у, 1, принимая за функцию, характеризую- щую процесс, потенциал горизонтальных скоростей.
! !. Вывести уравнения движения центра масс бесконечно малого элемента упругой среды, беря элемент в виде прямоуголь- ного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям ксюрдинат. !2. Пользуясь законом Гука для однородной изотропной упругой среды, представить уравнения движения, найденные в предыдущей задаче, в форме, содержащей только соатавляющие вектора объемных сил и вектора смещения 0 1и(х. д, г, 1)+,)о(х, у, г, ()+йв г, у, г, !), и доказать, что авсестороннее растяжение» В б(те) и вихрь В = = го! 0 удовлетноряют, каждый в отдельности, волновому уравне- нию Даламбера — = а Л~, причем для В константа а =— Ут л+ги дч р е а для В константа а'= ! р П р и и е ч а н и я. ! .
Всякий вектор 0 однозначно определяетсн по его расходимости б)у0 и вихрю го!0 (см. 1141, стр. 209). 2. Форма элемента упругой среды, имеющего в недеформиро- ванном состоянии вид„описанный в задаче 11, в деформирован- ном состоянии определяется величинами ди ди ди е = —, е= — ее= —, дх ' " дд ' дт ' де ди де ды " е" д + д ' Уел Уее де + д дш ди Уел Ь» дт + дг 1 образующими тензор деформации ~ел уяе уле у„„е„у„, уь» уея В случае, когда среда является однородной и изотропной, ком- поненты тензора напряжений:см. Ответ к предыдущей задаче) (Н) = т„„о„ тел тля ое связаны следующими соотношениями с компонентами тензора «) «Продольыыеь упругие полны респрострепяются быстры епоперееяыхь„ Уь УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА деформаций: о =Х9+2и д, ОР=)"В+2)с д, ае=)сй+2р д где В=с((ЕК а ) и р,— константы Ламэ, связанные следующим образом с модулем Юнга Е н коэффициен1ом Пуассона и: м (зх+ 2н) й А+и ' з(х+и) Коэффициент Пуассояа т характеризует отношение к продольному растяжению соответствующего поперечного сжатия.
Модуль сдвига 6=(с. 13. Представляя вектор объемных сил в виде г = йгас)Ф+го1 В (о возможности представления произвольного вектора в таком виде см. 114], стр. 209), доказать, что если р —, = ()+2р) йр -)- дел +Ф, р — = рОА+В, то вектор П=агаб~р+го(А удовлетво- ряет уравнениям движения, полученным в задаче 12. 14. Задача о распространении возмущений в упругой среде называется плоской, если составлякхцая со вектора смещения 0 и составляющая 2 вектора плотности объемных сил г" =гХ+ +)у+й2 равны нулю, а остальные величины не зависят от е. Например, задача о распространении деформаций в тонкой пластинке, вызванных силами, действующими в ее плоскости, является плоской:").
Доказать, что в случае плоской задачи вектор смещения 0 выражается через два скалярных потенциала, каждый из которых удовлетворяет соответствующему волновому уравнению. !5. Выразить через компоненты вектора Е7 и тензора (Гт) (см. задачу 12) граничные условия для распространения упругих возмущений в однородном изотропном полупространстве, если ограничивающая плоскость а) свободна, б) фиксирована жестко. Выразить для плоской задачи этн граничные условия через скалярные потенциалы (см.
задачу 14). 16. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях круг- лой цилиндрической трубы под действием радиальной силы г"(г, Г), где г (Г, 1) — сила, приходящаяся на единицу массы, отстоящуь. на расстоянии Г от оси трубы. ') Более подробпо см. 1261, с|р. Э2. 410 колония задач Поставить краевую задачу об определении электромагнитного поля, порожденного диполем, при 1 О. й 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 21.
а) Решить краевую задачу иг=ахЛи, — со(х, у, гч +оп, О(1(+со, и!, а —— гр'г), игу «=ф(г), гх=хв+ув+г', О~г . +со. б) Найти (1) (2) Игп и(х, у, г, 1). ж а. *-а 22. Решить краевую задачу и„= аагхи + 1,'г, 1), га = ха+ ух + га, О ~ г (+ со, О ч" 1 (+ со, (1) и1г в=О, иг)г в=О. (2) 23. Решить краевую задачу им=аагхи, — оо(х, у, г(+со, 0~(ч.-.+со при начальных условиях (/ =сопз1 внутри сферы радиуса г, а, и|то 0 вне этой сферы, и,), о 0 всюду. 17. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях упру.
той сферической оболочки гх--г(г под действием переменного давления р(Г) во внутренней полости. 18. Вывести дифференпиальное уравнение для отклонения от невозмущенного состояния точек тонкой нзотропной однородной пластинки, совершающей малые поперечные колебания, Рассмотреть, в частности, случай, когда пластинка лежит (и прикреплена) на упругом основании. П р и м е ч а н и е. Задача о поперечных колебаниях пластинки является двумерным аналогом задачи о поперечных колебаниях стержня (см. й 1 гл 1Ц. 19. Переходя к полярным координатам, поставить краевую задачу о поперечных колебаниях круглой пластинки, если край пластинки эащемлен жестко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
