Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рассыотреть предельный случай 1- со. 1!1. Решить задачу 110 при условии, что боковая поверхность и верхнее основание коробки заземлены, а нижнее основание под- держивается при постоянном потенциале ре. С помощью предельного перехода получить решение задачи для полубесконечного цилиндра. 112. Решить задачи 110, 111 для полубесконечиого цилиндра, сравнив с результатами соответствующего предельного перехода в решениях задач 110 и !1!. !13.
Определить стационарное распределение температуры внутри твердого тела, имекдцего форму ограниченного цилиндра, если к нижнему основанию г О подводится постоянный тепловой поток д, боковая поверхность р а и верхнее основание г 1 поддерживаются при температуре, равной нулю. 1!4. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на боковой поверхности происходит теплообмеи со средой, температура кото- рой равна нулю. е) В пунктах 3 н 4 даны аадачн, решаемые методом разделенна переменных, по требукацне применения цнлнндрнческнх н сфернческнх функций.
Часть атнх задач б»»ла решла в й 2 методом подбора ременай. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 115. Решить задачи 113 и 114 для полуограниченного цилиндра (1 = оо) и сравнить полученный результат с пределом решений задач 113 и 1!4 при 1->- со. 116. Найти напряженность электростатического поля внутри тороида а(р(Ь, 0<г(1, если его внешняя боковая поверх- ность р Ь заряжена до потенциала Ум а остальная граница заземлена.
Рассмотреть предельные случаи 1) 1- со, 2) а- 0 (сравнить с решением задачи 11О), 117. Основания тороида (а < р ( Ь, 0 ( з( 1) поддержи- ваются при постоянной температуре и„, а боковая поверхность— при температуре и,. Найти стационарное распределение темпе- ратуры внутри тороида. !18. Найти стационарное распределение температуры внутри тороида прямоугольного сечения (а р(Ь, 0(г 1), если 1) боковая поверхность теплоизолирована, а основания поддер- живаются при постоянной температуре и„; 2) боковая поверхность теплонзолнрована, температура ниж- него основания г=О равна нулю, а верхнее основание поддержи- вается при температуре и,.
119. Решить задачу 117, если на нижнем основании задана постоянная температура и„а остальная поверхность тороида под- держивается при нулевой температуре. 120. С помо>пью метода разделения переменных получить выра- >кения для потенциала точечного заряда, помещенного внутри ограниченного цилиндра р < а, 0 < г <6 с проводящими стенками. Показать, что из решения с помощью предельных переходов получаются выражения для потенциала точечного заряда з слое 0(г(Ь, в полупространстве и неограниченном пространстве. 121. Решить предыдущую задачу для полубесконечного цилиндра г)0; сравнить полученный результат с соответствующим преде- лом решения задачи 120. 122.
Решить задачу 120 для бесконечного цилиндра методом разделения переменных; сравнить с пределом решения задачи 120. 4. Задачи, требующие применения сферических и цилиндрических функций 123. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри сферы радиуса а. !24. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа вне сферы радиуса а. 125. Найти решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа а) внутри сферы, б) вне сферы. ИА РРАВнения эллиптического типА ди ~ Рассмотреть случай простейшего граничного условия: — ~ = да !х = А созб. !26. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала $'и а нижняя — до потенциала !' . 127. Найти разложение по сферическим функциям поверхностных зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере точечным зарядом, находящимся а) внутри сферы, б) вне сФеры.
!28. Решить предыдущую задачу для изолированной заряженной сферы, находящейся в поле точечного заряда. !29. а) Твердый шар движется с постоянной скоростью в безграничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Найти потенциал скоростей. б) Решить задачу об обтекании неподвижного твердого шара потоком жидкости, имеющим на бесконечности скорость а,. !30.
Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной е, находится во Внешнем однородном поле Е,, параллельном некоторой оси г. Определить искажение внешнего поля, вызываемое шаром, если окружающая его среда — однородный диэлектрик с е=е,. 131. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара радиуса а в поле точечного заряда, если диэлектрическая постоянная е, при Г<а, е=- в при Г)а. Рассмотреть два случая: а) заряд находится вне шара, б) заряд помещен внутрь шара. !32. Проводящий шар с проводимостью а, находится в среде с проводимостью о,.
Определить токи, создаваемые точечным источником тока силы 7, помещенным а) внутри шара. б) вне шара. 133. Решить предыдущую задачу, считая шар идеально проводящимм. Сравнить с задачей 132. !34. Точечный источник тепла 1;! находится в присутствии непроводящего шара. Найти стационарное распределение температуры вне шара.
135. Внутри сферы, на поверхности которой происходит тепло- обмен со средой нулевой температуры, помещен точечный источ- головин злпхч пик мощности О. Найти стационарное распределение температуры гнутрн сферы. 136. Найти потенпиал точечного заряда, помещенного между проводящими заземленными концентрическими сферами г= — а и г -..= Ь. Определить также плотность поверхностных зарядов. 137. Неоднородный диэлектрический шар радиуса Ь с диэлектрической постоянной е, при г(а, е, при а<г<Ь находится в среде с диэлектрической постоянной е . Определить поле точечного заряда, помещенного 1) вне шара г)Ь, 2) внутри шара г(а, 3) в области а(г<Ь.
Рассмотреть гредельные случаи. 1ЗЯ, Найти и .пе внутри диэлектрической оболочки, ограниченной концентрическими сферами с радиусами а н Ь(Ь) а), помещенной в однородное параллельное электростатическое поле напряженности Еэ; диэлектрическая постоянная оболочки е,„ диэлектрическая постоянная среды я, 139. Вычислить приближенно распределение заряда яа внутренней обкладке несимметричного сферического конденсатора, предполагая, что расстояние между центрами внутренней и внешней прокладок мало. 140. Найти потенциал заряженного тонкого кольна, полный заряд которого равен е. !41. Сферические координаты круглого кольца равны гз а, 8 =а.
Шар радиуса Ь из диэлектрика с диэлектрической постоянной е, расположен так, что его центр находится в начале координат. Найти выражение для потенциала между кольцом и сферой, если линейная плотность заряда кольца равна х. Диэлектрическая постоянная среды равна е,.
142. Вычислить потенциал электростатического поля заряженного тонкого кольца, помещенного внутри сферы с проводящими стенками, если на сфере поддерживается потенциал, равный нулю. Центры сферы и колодпа совпадают. Вычислить нормальную составляющую электрического поля на сфере г=а. 143. Вычислить потенпиал во всех точках проводящего шара с проводимостью а в том случае, когда ток / входит в один его полюс 8=0 и вытекает из полюса 8=я. 144. Найти потенциал поля, создаваемого по одну сторону ог бесконечной диэлектрической пластинки толщиной 1 точечным зарядом е, расположенным с противоположной стороны пластинки.
146. К поверхности земли а=0 подводится ток 1 с помощью уочечного электрода. Определить потенциал на поверхности земли, вз 1ч уРлвияния эллиптического типл считая, что удельная проводимость земли до гл)бины г=й ранив а„а на большей глубине она раппа о, Полученное рсшеняе применить для случая двух электродов, находящихся в точках я=а и х= — а. 146. Сферический электрод радиуса а до половины погружен в землю, проводимость которой о„в горизонтальном направлении больше, чем в вертикальном о, (анизотропия). Найти распределение потенциала иа поверхности земли; предполагая„что на поверхности электрода потенциал У = 1',.
Ук а ванне. Следует ввести вместо з новую переменную При этом уравнение а„У,+У„„)+о„У„О переходит в уравнение У + Уж+ Уа=О. % 5. Потенциалы и нх применение В настоящем параграфе помещены задачи на вычисление объемного и поверхностных потенциалов для некоторых простейших случаев„а также краевые задачи, которые люгут быть решены методами теории потенциалов. 147. Найти объемный потенпиал У шара при постоянной плотности р =р„ поставив краевую задачу для У и решая ее. 148.
Решить задачу !47 прямым вычислением объемного интеграла. 149. Найти объемный потенциал а) масс, распределенных с постоянной плотностью в сферическом слое а~г~Ь; б) масс, распределенных внутри шара радиуса а с постоянной плотностью р, и в сферическом слое а(Ь(г(с с постоянной плотностью рт; в) масс, распределенных внутри сферы радиуса гэ-с с переменной плотностью р = р (г). Получить отсюда решение задач 149 а) и 149 б). 150. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной плотностью ч т на сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
