Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поток тепла от печи к стержню равен д(Г) =Ае-м, где й — коэф- фшшент теплообмена, входящий в уравнение теплопроводности для стержня и,=а'脄— йи. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю и температура концов все время поддерживается равной нулю. 37. Решить задачу Зба) для стержня О~х(1 с теплоизоли- рованной боковой поверхностью, если на его концах происходит конвективный теплообмеп со средой, температура которой меняется по заданному закону.
38. Найти температуру и(х, О стержня, решая краевую задачу и~ — — а'и„,— Ои+)(х, 1), 0 с.х(й Ос-(~+ос, ()) и (О, Π— Ьи(0, М)=ф„(Г), и ((, 1)+Ли(1, М)=ф,Щ, 0 -.( "+со, (2) и(х, 0)=ф(х), О~х(Е (3) путем сведения к однородной краевой задаче. Зй. Найти асимптотическое выражение при ~-~+со для тем- пературы и(х, Г) в стержне с теплоизолнрованной боковой поверх- ностью, если на его концах выполняется одно из следующих гра- ничных условий: а) и (О, Г) = О, и '!, О = А соз ыг, б) и'О, ~)=0, и (1 О= А созыв, 0~~ "+со, в) и(0 г)=0 и (1 О+6и(), Ф)=АсозыГ, О<8<+со, 1П.
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 40. На понерхности тонкого кольца единичного радиуса происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; начальная температура кольца равна нулю*). В некоторой фиксированной точке кольца в начальный момент времени выделилось 1,1 единиц тепла. Найти температуру кольца. Рассмотреть точку кольца, диаметрально противоположную точке, в которой выделилось тепло. и оценить погрешность, допускаемуюпри замене суммы ряда, представляющего решение в этой точке, его частичной суммой. э) Задачи ди4фузии 41.
Давление и температура воздуха в цилиндре О~к(1 равкы атмосферным; один конец цилиндра с момента 1 = О открыт, а другой остается все Ерема закрытым. Концентрация некоторого газа в окружающей атмосфере равна К,=сопз1. С момента 1=0 газ диффундирует в цилиндр через открытый конец. Найти количество газа, продиффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрапия в цилиндре равна нулю.
42. Решить предыдущую задачу, предполагая, что оба конца цилиндра закрыты полунепроницаемой перегородкой, через которую и происходит диффузия. 43. Решить задачу 41, предполагая, что диффундирую1ций газ распадается, причем скорость распада в каждой точке пропорциональна концентрации газа в этой же точке, 44. В цилиндре 0(к ~1 находится диффундирующее вещество, частицы которого размножаются, причем скорость размножения в каждой точке пропорциональна концентрации вещества в этой же точке.
Найти критнческу1о длину цилиндра «") для случаев, когда а) на обоих концах цилиндра поддерживается концентрация, равная нулю; б) на одном конце поддерживается концентрация, равная нулю, а другой закрыт наглухо; в) оба конца цилиндра закрыты наглухо. г) Зодича злскшродиниаи1ки 4б, Найти электрическое напряжение в проводе 0 ( х 1, один конец которого изолирован, а к другому приложена постоянная электродвижупцая сила. Распределенная самоиндукция и утечка провода пренебрежимо малы, начальный потенциал равен в =сопз1, а начальный ток равен нулю.
") См, эадачу 32, а ~акжс задачу 3. ««) О аоннтнн крнтнчсскнк раакароа см. 171, стр. «у1 — чу2. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 46. Распределенная самоиндукция и утечка провода О~х~1 равны нулю; начальный потенциал и начальный ток также равны нулю. Найти напряжение в проводе, если один его конец (х=1) заземлен через сосредоточенную емкость С„а к другому (х=О) приложена постоянная электродвижущая сила Е,. 47. Найти электрическое напряжение в проводе 0 ~ х ~ 1 с пренебрежимо малой самоиндукцией и утечкой, если его конец х =1 заземлен. начальный ток и начальный потенциал равны нулю.
а к концу к=О приложена постоянная электродвижущая сила Ея через сосредоточенное сопротивление Р,. 48. Проводящий слой 0(к~1 был свободен от электромагнитных полей. В момент 1=0 всюду вне слоя возникло постоянное однородное магнитное поле Н,, параллельное слою. Найти магнитное поле в слое при 1 ) О.
Найти момент времени, начиная с которого в середине слоя заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е. 2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами н условия сопряжения 49. Стержень 0 = х ~ 1 с теплаизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечным сечением составлен из двух однородных стержней О~х х, хА(х =1с различными физическими свойствами. Найти температуру в стержне, если его концы поддерживаются при температуре, равной нулю, а начальная температура произвольна. 50.
Найти температуру однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, в точке хз которого (0(х (1) находится сосредоточенная теплоемкость С,. Начальная температура стержня произвольна, а концы поддерживаются при температуре, равной нулю. 51. Найти температуру стержня 0 =.я~1 с теплоизолированной боковой поверхностью, имеющего форму усеченного конуса (см. задачу 17), если температура концов стержня поддерживаезся равной нулю, а начальная температура стержня произвольна.
52. Решить предыдущую задачу для стержня, боковая поверхность которого получается вращением кривой у=Аз- " вокруг оси х. 53. Тяжелая вертикальная плоскость находится в слое вязкой жидкости, заключенном между двумя неподвижными вертикальными плоскостями. В момент 1=0 плоскость начинаег пада|ь. Найти ее скорость и скорости частиц вязкой жидкости, если начальные скорости равны нулю и если падающая плоскость равно- удалена от граничных плоскостей.
Действием поля силы тяжести .на гкидкость пренебречь. нь гяявнвния пягаволнчвского типа й 3. Метод интегральных представлений и функции источников В настоящем параграфе рассматривается применение интегральных представлений к решению краевых задач для уравнения и,=а'и +Ьи+Е(х, Е) (где Ь и Е могут быть тождественно равными нулю) в случае неограниченной прямой, полупрямой и конечного отрезка. Сначала даются задачи на применение интегрального преобразования Фурье.
Затем идут задачи на построение. функций источников (функций Грина) и применение их к решению- краевых задач. 1. Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой Применяя интегральное преобразование Фурье *), решить сле- дующие краевые задачи. 54, ис = а'и„„, — со < х «+.
со, О < Е < + ~, и (х, 0) = ~ (х), — со «х <+ сс. 55. и,=а'и„„+Е(х, Е),— сс<х<+оо, 0<Е <+со, и(х, 0)=0 — ос<х<+ос. 56. и~=ати»„, 0<х, Е<+ос, и (О, Е) = О, О < Е <+ со, и(х, 0)=Е(х), 0<х<-(-со. 57. иг=ати„«, 0<х, Е<+со, „(О, Е) =О, О<Е.-+„, и(х, 0)=Е(х), О -х --(-со. 56. ис=аяи „, 0<х, Е«+ос, и (О, Е) = гр (Е), О < Е <+ ос, и (х, 0) = О, 0 = х -(- со. 59. и, = аяи „ 0 х, Е + со, и„(0, Е) = ср (Е), 0 < Е < + ос, и (х, О) = О, О < х <+ со. 60.
щ = аяи„. + ~ (х, Е), 0 < х, Е " + ос, и(О, Е)=О, О -Е -+ и(х, О)=О, О<х<+ *) Сы. стяятм я укяэяняя, гя. П, 4 «, стр. ХОН УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 6!. ие=изи„„+)(х, е), 0 х, ес +ос, и„(0, е)=О, О(((+со, и (х, О) = О, 0 < х <+ оо. 62. Воспользовавшись уравнением из задачи 186 гл. П, доказать, что е ах азах о — — — ) . — / (х-ф)* (к+5~*~ — е е-Ае(е 4а +е еа ) йй Ае+ае 4Ь р'а .1 о 63. Воспользовавшись уравнением из задачи 187 гл. П, доказать, что +СО е ' — — '" м — м+м ' е а Хяпьх ) л еО. = = е-АЬ ~е "' — е "а ) е(й.
Хе+Зе 4уа ~ 64. Применяя преобразование Фурье с ядром К(х, Х) = .* / 2 х оа Хе+ А е|п Хх , решить краевую задачу = ~7 л А'+Ье ие = пеи, О ( х, е а-+ со, и„(0, () — 1ш(0, г)= — Ьр((), и(х, 0) =О, Ос.х(+ос. 65. Применяя преобразование Фурье с таким же ядром, как а предыдущей задаче, решить краевую задачу и,=и'и„„, Оа х, е -+со, и„(0, 8) — йи(0, ()=О, 0 ((+со, и(х, О) =7'х), О~х +со. 2. Одно родные изот ро пи ые среды.
Построение функций влияния сосредоточенных источников В настоящем пуикте собраны главным образом задачи иа построение и примеиеиие функций влияния мгновенных точечвых источников тепла («функций Грина» для уравнения теплопроводиости). Сначала идут задачи для неограниченной прямой, затем для полупрямой, причем среда предполагается изотропиой и одно. родной, затем рассматриваются задачи для неоднородной прямой, составленной из двух однородных полупрямых, и иекоторы. дру. гие задачи с неоднородностями сред и сосредоточенными факторами для неограниченной прямой и полупрямой; наконец, идут задачи для конечного отрезка, причем рассматриваются два различных представления функций влияния мгновенных источников тепла: одна получается методом резделения переменных (методом Фурье), другое-методом отражений, и производится йх сравнение.
1П, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА а) 1)еограниченная прямая 66. Поверхность неограниченного стержня — сю < х+ со тепло- изолирована, начальная температура равна нулю. В начальный момент времени в точке х=5 ссержня выделилось мгновенно (1 единиц тепла. Найти температуру стержня. (Построение функции источника для уравнения ис а'и „на прямой — оо(х(+со.) 67, Решить предыдущую задачу для стержня, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю.
(Построение функции источника для уравнения и,=а'脄— йи на прямой — оо(х(+оо.) 68. Используя функцию источника, полученную в решении задачи 66, решить краевую задачу и,=а'и„„+1(х, 1), — со -х(+со„0<1<+со, и(х, 0)=ср(х), — со:.х<-)-со. 69. Используя функцию источника, полученную в решении задачи 67, решить краевую задачу и,=а'и„„-)Ги+1(х, 1), — оо <х<+оо, 0(1(+со, и(х, О) =ср(х), — оо(х(+со.
70. При условиях задачи 66 найти тот момент времени, в который температура в Точке к достигает максимума, и найти зто максимальное значение Температуры (задача о распространении теплового импульса). 71. На поверхности стержня — со(х(+со происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; начальная температура стержня равна нулю; в точке х=0 непрерывно действует тепловой источник постоянной мощности (1. Найти температуру и(х, 1) стержня, Найти также стационарную температуру л(х)= Вт и(х, 1).
С +ОЭ Какова была бы стационарная температура, если бы поверхность стержня была бы теплоизолированар 72. С помощью формулы, полученной в решении задачи 68, решить задачу ис-а'и.;, — сю<х(+со, 0<1<+со, 0 при — оо<х( — 1 и(х, О)= (1 —— сопз(чь0 при — 1(х(1, 0 при 1<х<+оо. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 73.
С помощью формулы, полученной в решении задачи 68, решить задачу и,=ахи„„, — со(х(+со, 0«-1(-(-оо, 0 при — со(х(О, и(х, О)= Ае при 0(х(+со, А=сопя(, а=сопя()0. 74. Решить краевую задачу и~=а'и „вЂ” йи, — со(х(+со, 0 "1(+со 0 при — со(к( — 1, и(к, О)= Е/,=сопз( при — 1(х(1„ 0 при — 1(х(+со (ср. с задачей 72). 76. Решить краевую задачу 14 о нагревании стержня подвиж.ной печкой при нулевом начальном условии. б) 1)олипрямал 76. Построить функцию источника для уравнения и, =а'и „ на :полупрямой 0(х(+ос, на конце которой задано граничное условие первого рода.
Перейти затем к случаю уравнения и, = = а'и „.— аи. 77. Решить предыдущую задачу, если иа кЬнце полупрямой 0 - х (+со задано граничное условие второго рода. 78. Решить задачу 76, если на конце полупрямой 0(х(+ос задано граничное условие третьего рода. 79. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу и~ = а'и„+ ) (х, 1), 0 ( к, 1 (+ со, и(0, 1) =<В(1), 0(1(+со, и(х, 0) =ф(х', 0 х(+со.
80. Пользуясь функцией исп чника, решить краевую задачу и,=а"и „+1(х, 1), 0(х, 1(+со, и„(О, 1)=ср(16 0(1(+со, и(х, 0)=ф'к). 0(х(+со. 81. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу и!= а'и„, + 1 (к„1), 0 ( х, 1 (+ оо, . (О, 1) — йи(0, 1)= — )ка'1), 0(1(+ и(х, 0)=ф(х), 0(х(+со, в! пе уРАВнения пАРАБОлическОГО типА 82. Доказать справедливость следуюшего утверждения. Для того чтобы решение краевой задачи и, а'л „, О с, х, ( ~ + оо, У А„— '" =О, х=О, О--(~+со, дхА А а и(х, О)=Цх), Ос;х(+оо, можно было представить в виде +'Р (х — $И и(х, г)=,,', ~ Га " ж, достаточно функцию Г(х) продолжить на отрицательную полуось х гак, чтобы функция тр (х) = ~Ч ' Афи (х) Аеа была нечетной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
