Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти колебания струны *) 0(х~ ! с жестко закрепленными концами, вызванные ударом мягкого выпуклого молоточка, предполагая, что среда ие оказывает сопротивления колебаниям. Молоточек действует на струну с силой, линейная плотность которой равна А соз( — е)з1п —, $х — х !(6, О «1~ г, т' О, ~х — хе~(б, !)т, О, Ое-х(хе — 8, х+5(х~1, 0(!(со. Е(х, !)= 153. Найти колебания струны 0 ~ х ( ! с жестко закрепленными концами в среде без сопротивления, вызванные поперечным ударом в точке х„О ( хе (1, в момент 1 = О, передавшим струне импульс 1,. учитывая этот удар свободным членом уравнения ее), 154.
Решить задачу !46, предполагая, что среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 155. Решить задачу !53, предполагая, чтосреда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. е) Си. [71, стр, !ЗЗ вЂ” Ы!. ") Ср. с решением зехече !01, 146.
Найти колебания струны О ( х «! с жестко закрепленными концами под действием силы, приложенной с момента ! = 0 и имею- щей плотность Р(х, !)=Ф(х) 1, О~х(1, О(!(-)-со, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 147. Найти продольные колебания стержня 0 ( х ~ 1, левый ко- нец которого закреплен жестко, а к правому с момента ! =0 при- ложена сила Е(!)=А1, О(!(+со, А =сопз1, и. уРАВнения ГипЕРбОлическОГО типА 166. Найти поперечные колебания стержня с шарнирно закрепленными («свободно опертыми») концами под действием постоянной поперечной силы Р, точка приложения которой движется по стержню, начиная с момента 1 0 от конца х=О к концу х=1 с постоянен>й скоростью О», предполагая, что колебания происходят в среде без сопротивления.
157. Решить предыдущую задачу, если Р Р»з!Об>Г, Р=сопз(. 168. Найти поперечные колебания стержня под действием поперечной сосредоточенной силы Р = Р, з!п В>1, приложенной с момента 1= 0 в точке х» стержня, если концы стержня закреплены шарнирно («свободно оперты»), а среда не оказывает сопротивления колебаниям.
169. Решить предыду>цую задачу, предполагая, что колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. !60. Конец х 0 стержня закреплен жестко, а к свободному концу х 1 смомента 1 = 0 приложена постоянная поперечная сила Е=Е сопз1. Найти поперечные колебания стержня, вызванные силой Е,. 16!. Решить предыдущую задачу в случае, когда действие силы Е=Е» продолжается лишь до момента 1=Т)0.
162. Решить задачу 160 в случае, когда Е Р зшб>1. 163. Конец х* 1 стержня закреплен жестко, а конец х 0 шарнирно («свободно оперт»). Найти поперечные колебания стер>клей, вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с линейной плотностью Д» з>п Ы, приложенной к стержню с момента 1 О. 4. Колебания при неоднородности сред и другие условиях, приводящих к уравнениям с перемене>ыми коэффициентами; учет сосредоточенных Сил и маса 164. Найти продольные колебания неоднородного стержня '0<«~1 с постоянным поперечным сечением, полученного соедииением в сечении х х» двух однородных стержней, если а) плотность массы и коэффициент упругости соответственно равны р (х) р, 0<х<х, 1 Е,О<х<х„ Е (х) р, х»<х< 1, Е,х, х<1, где р, р, Е, Е'— константы; б) начальные продольные смещения равны — х, 0 <х<х„, а и(х О) ч>(х)= «» а (! — «) «в<«<1! тсловия зхдлч в) начальные скорости равны нулю: и, (х„0) = $ (х) = О, 0 ( х - й г) концы стержня закреплены жестко: и (О, 1) = и (1, Е) = О, О «1 ~ + со.
166. Найти установившиеся продольные колебания составного: стержня, описанного в предыдущей задаче, если его конец х=О закреплен жестко, а к концу х=1 с момента 1=0 приложена сига РЯ=г~з(пЫ, 0(1 +со. 166. Найти продольные колебания стержня, описанного в задаче 164, если один его конец (х=О) закреплен жестко, другой конец (х= 1) — упруго, а начальные условия произвольны. 167, Найти колебания однородной струны 0 =-- х-=.1 с неподвижно закрепленными концами и сосредоточенной массой М, прикрепленной в точке х=х, струны, вызываемые начальными отклонениями Ь вЂ” при О (х (ха, и (х, 0) = ~р (х) = й — при х~(х(1.
168. Поперечное сечение составного стержня, описанного в задаче 164, на участке О~х(хз равно о, а на участке х =-х(1 равно Я; в сечении х, находится жесткая прокладка массы М; конец х = 0 закреплен неподвижно, а конец х= 1 свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 169. Один конец упругого однородного вала жестко закреплен, а на другой насажен шкив с осевым моментом инерции М. Найти крутнльные колебания вала при произвольных начальных условиях, если модуль сдвига равен 6, полярный момент инерции поперечного сечения вала равен К, а осевой момент инерции единицы длины вала равен .1. 170.
Найти установившиеся продольные колебания конического упругого стержня 0 ~ х == 1, вызываемые гармонической продольной силой Р=р,з(па(, приложенной к концу х=1. если конец х=О закреплен неподвижно (см. задачи 21 и 89). 171. Решить задачу 23, предполагая, чтоколебания струны вызваны начальными отклонениями, а начальные скорости равны нулю. 172. Решить задачу 24 при произвольных начальных условиях.
173. Решить задачу 25 при яроизвольиых начальных условиях, поместив начало координат в закрепленный конец струны. П, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА й 4. Метод интегральных представлений )з настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях неограниченной, полуограниченной и конечной струны, а также аналогичные задачи из других областей физики, причем для их решения применякпся нижеследующие методы: метод интеграла Фурье, переход к конечному интервалу методом отражений, л1етод Римана.
1. Метод интеграла Фурье 174. Решить краевую задачу ии —— ааи +у(х, 1), — со<х<+со, 0<1<+со, (1) и(х„О)=0, и~(х, 0)=0, — со<х<+со. (2) 175. Решить краевую задачу ив=ааааа+сам*), — со<х<+Оо, 0<1<ос, и (х, 0) = ф (х), и,(х, 0) =- ф 'х) — со < х < + Оо. 176. Решить краевую задачу им=аяи„в+сам+) (х, (), — Ос <х<+-сю, 0<у' <+со, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, — со < х .- + ОО. 177.
Решить краевую задачу ии — — Оаи „, 0 < х, 1 <+ со, и (О, 1) =- О, О < 1 <+ сс, и(х, 0)=у(х,, и,(х, О)=ф(х), 0<х<+со. 178. Решить краевую задачу им=а'и„„О =х, 1<+СО, и (О, Г) = О, О < г <+ сс, и(х, О)=ср(х), и,(х. 0)=ф(х), 0<х<+со. 17й. Решить краевую задачу ии — а*и„.„, 0<х, (<+со, и (О, Г) = р (Г), 0 < 1 <+ со, и (х, 0)=и,(х, 0)=0, 0 -х<+Оо. 180. Решить краевую задачу им=а'и„„, 0<х, 1<+со, и (О, 1) = н (1), О < 1 <+ со, и(х, 0) =ис(х, 0) =О. <х<+со. *) мапомввм, кто к сякому вкду врвводн соя теаеграфное уравненвв с помскцью замены вскомой функцнн е(х, О=е-м'м(х, О.
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 181. Решить краевые задачи для уравнения и.-йи».+~(х. 1) при нулевых начальных условиях и граничных условиях а) и (О, 1) О, б) и„(О, 1) О. 182. Решить краевую задачу и„=и„„+сап, О -х, 1 +со, и„(О, 1)=т (1), 0(1(+ос,, и(х, 0)=ис(х, О, О, 0(х(+ос.
183. Решить краевую задачу ои о „+сас, О<х, 1<+ос, о (О, 1) = р (1), 0 (1(+ оо, и(х, 0)=0, ис(х, 0) =О, 0(х(+со. 184. Решить краевую задачу им=и,„+сии, 0(х, 1(+ос, и„(0, 1) — lш(0, 1)=х(1), 0~1~+ос, и (х, 0) = О, и, (х, О) = О, 0 ~ х (+ со. 185. Доказать"':, что +се +со ~,грай,)е-'"-йй= ~ л(з)1( — з)с(, где У(Х) и и (Х) — образы Фурье функций ) (х) и д(х) о ядром е'Ае 186. Доказать, что +ш +со 7сеу(Х)йсо(А)созахстус= 2 1 и(з)У(!х — з!)+)(х+з))туз, 1 Г е 6 где уссу ()ь) и йчо ()с) — косинус-образы Фурье функций ) (х) и д(х). 187. Доказать, что г (Цйц у(А) 3(пу стг = ~1 у )Ы вЂ” 3 !) а( + ))с( ! Г е е где г'*~ (й) и 8 ни (Х) — соответственно синус-образ **) Фурье и коси- нус-образ Фурье функций )(х) и гс(х). ') Ьто соотношение часто назмваитт теоремой о свертке.
° «) си, й 4 ответов н унаэанвй я настоянсей главе, ввоянув часть оунаоа 1 и. кгавнвния гипегволического типа !68. Решить краевую задачу иг!+аеи „„„=О, — со(х<+со, 0«.. 1<+со, и (х, О) = <р (х), и,(х, 0) = аф" (х), — со ~ х « + со. Рассмотреть также частный случай, когда к! !р(х)=Ае 'к', ф(х)=0, — оэ«х«:.+со. 189. Решить краевую задачу и„+аеи„„„„=-О, 0(х, ! +со, и(0, 1)=)г(1), и к(0, 1)=0, 0«-1 +ею, и (х, О) = (х, О) О, 0(х~+оо. 190.
Доказать, что для представимости решения краевой задачи ив = аеи„„, 0 с. х«-+со, О «1(+ ос, в даи " дкя е Ак д „- — — О, 0~1~+со, х=О, ! — — е и(х, 0)=<р(х), иг(х, 0)='ф(х), 0«„х«1 ъ виде к+к! Ч( — О+ф(к+ !) + ! ~, (,! 2 2е к — а! достаточно продолжить !р(х) н 1р(х) на отрицательную полуось х так, чтобы функции Ф(х) ~„Аа — ~ф- и Чг х)= 11 А„ были нечетными *). 191. Доказать, что для представимости решения краевой задачи ии-аеикк+1(х, 1), 0(х, 1(-(-со, Х" даи Аа д ь О, 0(!~+ос, х=0, е е и(х, 0) О, и„(х, 0) О, О~х "-(-оо в виде к+ав-я и(х 1) 1 ~ "т ~ И.
т)~т к к-аи — т! *) Здесь н нюне мы не эетрнгнееем вопросе ненрерыенестн н днфференкнщ сместя. колония з»а»ч достаточно функцию ((х, () продолжить так на отрицательную полуось х, чтобы функция р(х 0 5' А д")(х О была нечетной по х« (92.
Доказать, что для представимости решения краевой задачв ив=в»их»-(-сви, О~х, («. +со, Х ° "= д" и А» — » — — О, 0 с ( с-+оэ, с=0. »=« и(х, 0)=~р(х), гм(х, 0)=»р(х„0 х(+со, в виде „+м ( 1/, (х — й)е ') о (х — аб+~р (х+аб с( (' ~~ г' а«г' их,()= + ~ ) 'р Ю йс+ (х — й)« — ~/ и— ав «+ а~ — ) ь(.)/« — '*-„"')«а) е достаточно продолжить функции ~р (х) и ф(х) на отрицательную. полуось х, так стобы функции х Ф были нечетными.
193. Доказать, что для представимости решения краевой задач»с и =ахи„„+с»и+~(х, (), 0<х, ((+со, Х д»в А» — » -О, О«" ((+со, х=О, »=в и(х, 0)=0, и,(х, О)=0, О~ х~+со с виде »+ап — и и х, 0= —,~~дт дт Гв~~ ~г (( — т) —,, ~16, )с$ * — аа-ч «) Здесь н ниже вм не ветр»гневен вопроса непрермвнсств в авфференпн руемссгв 45 11, уРАВнения ГипеРБОлическОГО типА достаточно продолжить 1(х, 1) на отрицательную полуось х таким образом, чтобы функция «д 4 была нечетной по х. 1*. Переход к к онеч ном у интер валу методом отр андений 194. Решить краевую задачу ид,—— а'и +с'и, 0<х<1, 0<1<+со, и (О, 1, = О, и (1, 1) = О, О <1 <+ со.
и (х, О) =-1р(х), ид(х, 0) = др (х), 0 " х < 1. 19б. Решить краевую задачу ив=ага„„+сги, 0<х<1, 0<1<+оо, и(0, 1)=0, и„(1, 1)=0, 0<1<+со, и(х, 0)=др(х), ид(х, О)=др(х), 0<х<1. 196. Решить краевую задачу им=ага„,+сгдд, 0<х<1, О<1<+со, и„(0, 1)=0, и„(1, 1)=0, 0<1<+со, и(х, 0)=др(х), и,(х, 0)=д)д(х)„0<х<1. !97. Решить краевую задачу пи=и„„+сги, О<х<1, 0<1<+со, и(0, 1) =рд(1), и(1, 1 =рг(1), 0<1< +ос, и(х, О)=О, и,(х, 0)=0, 0<х .,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
