Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 10
Текст из файла (страница 10)
температура которой равна нулю. 3. Подобие краевых задач ч) 18. Сформулировать задачу теплопроводности, аналогичную задаче !О о движении вязкой жидкости. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия й„., А,, й„. ~) О занятии пчдобия «рзезык задач см, гл. РЬ й С стр, 21 н !тц и! УРАВНенИя пАРАБОЛИЧескйГО типА 19.
Глрормулировать задачу теплопроводности 2 (задачу !)), аналогичную задаче 0 (задаче (11)) о диффузии неустойчивого газа. Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (1) задаче (11) с заданными коэффициентами подобия. 20. Сформулировать задачу об определении электрического напряжения в проводе, аналогичную следующей задаче об определении температуры в стержне: «Найти температуру стержня, если на одном его конце и на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю, а температура другого конца меняется по заданному закону; начальная температура стержня равна нулкм (задача (П)). Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (1) задаче (11) с затаннымя коэффициентами подобия.
21. Сформулировать задачу теплопроводности (задачу (1)), аналогичную задаче о распространении плоского магнитного поля в проводящем слое 0(х -1" (задаче (1!)) при нулевых начальных условиях, предполагая, что всюду левее слоя мпювенно установилось постоянное однородное магнитное поле, параллельное слою, причем плоскость х=1" является идеально проводящей. $2. Метод разделения переменных В первом пункте ") настоящего параграфа собраны задачи длп Однородных изотропных сред; они приводят к линейному дифференциалы)ому уравнению с постоянными коэффициентами. Во втором пункте рассматриваются задачи для неоднородных сред, а также мекоторь!е задачи с сосредоточенными факторами "*).
1. Однородные изотропные среды. У равнения с постоянными коэффициентами а) Задачи теплопрсводнссти с пссп!Олиными граничными условиями и свободными членами 22. а) Найти распределение температуры в стержне 0(х:==1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура равна произвольной функции ) (х).
б) Рассмотреть, в частности, случай, когда г'(х)щя(4=сонэ(, и дать оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда. представляющего решение в точке х=Ю2, его частичной суммой, ') Стержни, провода, цилиндры. встречающиеся а асом пункте, считаютси имеющими постоянаое поперечное сечение. е«) См. пераую сноску на стр. 32. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ и установить, с какого момента времени отношение суммы всех его членов, начиная со второго, к первому члену будет заведомо меньше наперед заданного е )О. Замечание. При этом мы будем говорить, что в рассматриваемой точке наступил регулярный режим *) с относительной точностью е, 23. Начальная температура стержня 0 =.х~1 с теплоизолироВаинай боковой поверхностью равна 1/е = соп51, а на концах его поддерживается постоянная температура и(О, 1)=1/,=сапа(, и(1, 1)=(/„=соп51, 0<1 с+со. (2) Найти температуру и(х, 1) стержня при 1->0; найти также стационарную температуру д(х) = !)ш и(х, 1).
1 +о» 24. Начальная температура стержня 0(х(1 является произвольной функцией 1(х). Температуры концов постоянны: и(0, 1) =(/, =сапа(, и(1, 1)=(/я=сапа(, 0(1<+со. На боковой поверхности происходит теплоабмен по занону Ньютона со средой, температура которой равна ие=сап51. Найти температуру стержня. Рассмотреть, в частности, случай, когда (/, = (/я = О, /() =о. 25. Найтп температуру стержня О~х~( с теплонзолированной боковой поверхностью и теплоизолированными концами, если его начальная температура является произвольной функцией х. Перейти затем к случаю, когда на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен (по закону Ньютона) са средой, температура которой равна нулю. 26. Найти температуру стержня, на боковой поверхности кота- рого происходит конвективный теплоабмен со средой нулевой температуры, если на концы стержня подаются извне постоянные тепловые потоки, а начальная температура является произвольной функцией.
27. Найти температуру стержня О~х(1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) поддерживается при заданной фиксированной температуре, а на другой конец (х = 1) подается извне заданный постоянный тепловой поток, причем начальная температура произвольна. Рассмотреть, в частности, случай„ когда начальная температура равна нулю, а конец х=1 теплоизолироваи, и оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представ.чяюшего решение в точке х = 1, его частичной суммой.
*) подробнее о регулярном режиме см. (Зц. П1. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧВГКОГО ТИПА Найти момент времени, с которого на конце х= 1 заведомо насту-- пит регулярный режим *) с относительной точностью В. 28. Найти температуру стержня 0 ~ х~= 1 с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированным концом х= О, если начальная температура стержня равна нулю н через конец х=1 в стержень подается постоянный тепловой поток. Бать оценку погрешности, допускаемой при замене сулниы ряда, представляющего. решение в точке х= 0, его частичной суммой.
29. Найти температуру стержня 0 =х«=.1с теплоизолированной боковой поверхностью, один конец кгпорого (х=О) теплоизолирован, а на другом копне (х=1) происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна 1/з =сопз1. Начальная температура стержня равна нулю. Оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х=О, его частичной суммой; найти момент времени, с которого на.
конце х=О заведомо будет иметь место регулярный режим **). с относительной точностью В. 30. а) Найти температуру стержня 0(хв-1с теплоизолированной боковой поверхностью, если на каждом из его концов происходит конвективный теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру, а начальная температура произвольна. б) Рассмотреть, в частности, случай, когда температура внешней среды на обоих концах одинакова, а начальная температура стержня.
равна нулю, и установить связь с решением задачи 29. 31. Решить задачу 30а), предполагая, что на боковой поверх-. ности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 32. Найти распределение температуры в тонком однородном кольце единичного радиуса, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру; начальная температура кольца произвольна е""). Рассмотреть, в частности, случай, когда в начальный момент времени кольцо было равномерно нагретым. б) Задачи теплопраеодности е переменными граничными дслоеиями и себбоднвгми членами, зависящими от х и 1 ЗЗ.
Найти распределение температуры в стержне 0 - х с'1с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его конце х= О поддерживается температура, равная нулю, а на конце х=1 ") О регулярном режиме см. условие задачи 22 и соответствующее примечание. Здесь должно рассматриваться отношение суммы всех членов, зази.
сянгих экспоненннально от времени, начиная со второГО, К пЕрвоиу чдену, аавнсяшему зкспоиенниально от времени", эти члены предполагаются занумерованными в порядке возрастания собственных значения. т*) См. задачу 22 н сноску к задаче 27. еет) См. задачу 3. головня злдлч температура меняется по закону и(1, ()=А~, А=сова(, 0~1(+со. Начальная температура стержня равна нулю.
34. Найти температуру стержня О=х.-) с теплонзолирован- ной боковой поверхностью, если по стержню непрерывно распре- делены тепловые источники, плотность которых равна Ф(1) з)п —, 1' начальная температура стержня является произвольной функцией ~(х), а температура концов поддерживается равной нулю. 35. а) Найти температуру стержня 0(х(1 с теплонзолиро- ванной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией )(х), температура концов поддер- живается равной нулю, по стержню непрерывно распределены источники тепла. плотность которых равна г (х, 1).
б) Рассмотреть, в частности, предельный случай, когда в стержне действует лишь один сосредоточенный источник постоянной мощ- ности Я, находящийся в точке х„, 0(х,«(, а начальная темпе- ратура стержня равна нулю. Зб. По стержню 0(х~(, на боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой (температура .среды равна нулю), движется печь с постоянной скоростью од.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
