Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В зависимости от типа краевых условий для уравнения Лапласа различают: первую краевую задачу (задачу Дирихле), если и~х =Гм вторую краевую ди задачу (задачу Неймана), если — ~ =гм третью краевую задачу, !ди если ~д — +Пи) =~я гДе ~м, м 1, — некотоРые фУикции, заДанные на границе Х области, в которой ищется решение уравнения Лапласа. 1.
Стационарное температурное поле. Вывести уравнение, которому удовлетворяет температура стационарного теплового поля в однородной среде; при выводе уравнения учесть наличие распределенных источников тепла, не меняющихся во времени. Дать физическую интерпретацию краевых условий первого, второго и третьего рода. Установить необходимое условие существования стационарной температуры для второй краевой задачи. в* УСЛОВИЯ ЗАЛАЧ 2. Уравнение стационарной ди4фуи. Вывести уравнение стационарного процесса диффузии: а) в покоящейся однородной изотропной среде, б) в однородной изотропной среде, движущейся с заданной скоростью, например, вдоль оси х. 3.
Уравнение электростатики. Показать, исходя из уравнений Максвелла, что потенпиал электростатического поля удовлетворяет уравнению Пуассона с правой частью, пропорциональной объемной плотности зарядов р(х, у, г). Дать физическую интерпретацию краевых условий первого и второго рода. 4. Уравнение иагнитостатики. Показать, что потенциал стационарного магнитного поля прн отсутствии электрических токов удовлетворяет уравнению Лапласа. 5. Поле постоянного электрического тока.
Убедиться в том, что потенциал электрического поля постоянного электрического тока удовлетворяет уравнению Лапласа. Сформулировать граничные условия 1) на заземленной идеально проводящей поверхности, 2) на гранипе с диэлектриком. 6. Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Показать, что потенциал скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Написать краевое условие на поверхности твердого тела, покоящегося или движущего я с некоторой заданной скоростью. 7. Основные задачи электростатики. Электростатическое поле, создаваемое заряженным проводником конечных размеров, можно определить, !) задавая значение потенциала проводника, 2) задавая значение заряда проводника. Эти задачи называются первой и второй основнымн задачами электростатики.
Бать математическую формулировку первой и второй задач электростатнки. 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах В неоднородной, но изотропной среде основное уравнение стационарного полн имеет вид где характеристика среды й=й(х, у, г) — переменная величина. Если коэффициент й терпит разрыв на некоторой поверхности, то на этой поверхности выполняются условия сопряжения (1) 1Ч. УРАВНЕНИЯ ЭЛЯИПТИЧЕСКОГО ТИПА где значки 1 и 2 означают соответственно левое и правое предельные значения на повсрхно тн разрыва. 8.
Решить задачу 1, считая, что коэффициент теплопроводности является переменной величиной Й=й(х, у, г). Поставить краевую задачу теплопроводносги для случая кусочно-однородной среды (для случаи кусочно-постоянного л), предварительно выведя условия сопряжения (1) и (2), л(ать физическую интерпретацию этих условий. 9. Написать уравнение дая потенциала электрического поля в неоднородном диэлектрике с диэлектрической постоянной а = в (х, у, г). Предполагая е (х, у, г) кусочно-постоянной, вывесгн условия сопряжения на поверхностях разрыва функции а(х, у, г) и сформулировать соответствующую краевую задачу.
10 Решить зздачу, аналогичную задачам 8 и 9, для стационарного магнитного поля. 11. Решить задачу, аналогичную задачам 8 и 9, для электрического поля постоянного тока. 12. Подобие различных она!(иоиарных полей. Установить подобие между полем постоянного электрического тока, с одной стороны, н термическим, электростатическим, магнитостатическим полями, полем концентраций стационарного процесса диффузии и полем скоростей потенциального течения несжимаемой жидкости, с другой стороны.
Сравнить условия сопряжения на границе разрыва физических констант. 9 2. Поостейшне задачи дли уравнений Лапласа и Пуассона В этом параграфе даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения;!оторых могут быть'найдены непосредственно, простым подбором, без применения общих методов.
1. Краевые задачи для уравнения Лапласа 13. Рассмотрим круг радиуса а с центром в начале координат. Пусть (р, ср) — полярные, а (х, у) — прямоугольные координаты. Нанти решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа, если заданы следующие граничные условия: а) и) =А; б) и ~р —— А соз !р, в) и !!Р а = А + Вуе г) и(, =Аху; то условия ВАдАч д) и!и,=А+Вз1пф; е) и)и,= А з1пзф+Всоззф, где А и  — постоянные, 14.
Решить вторую внутреннюю краевую задачу пи = О ~„~ = У (ф) ди для круга С радиуса а с центром в точке р=О для следующих частных случаев: а) ~=А; б) г=Ах; в) !=А(х' — у'); г) ~=А созф+В; д) ! = А з) и ф+ В з(пи ф. Отметить неправильно поставленные задачи. 1б. Найти функции и(р, ф), гармонические вне круга радиуса р=а и удовлетворяющие граничным условиям а) — е) задачи 13 (первая внешняя краевая задача для круга). 18.
Найти функции и=и(р, ф), гармонические вне круга радиуса р=а и удовлетворяющие граничным условиям задачи 14 (вторая внешняя краевая задача для круга). 17. Найти функцию и=и (р, ф), гармоническую внутри кольца а(р(Ь и удовлетворяющую граничным условиям и|и- =иг "'и-ь=им Пользуясь решением задачи, найти емкосгь цилиндрического кон- денсатора, рассчитанную на единицу длины.
!8. Найти функцию, гармоническую внутри кругового сектора 0(р(а, 0(ф(и, если ии и р д ф и (<р и — О и (ц и ии !9. Найти решение уравнения Лапласа в полуплоскости у)0„ принимающее при у=О граничные значения и=фг при х:.0; и=фи при х~О, и сравнить его с решением задачи !8. 20. Определить функцию и, гармоническую а) внутри сферы радиуса г=а, б) вне сферы г=а и принимающую на сфере значение и,. 21. Определить стационарное распределение температуры внутри сферического слоя а ( г ( Ь, если сфера г = а поддержи- вается при температуре и„сфера г=Ь вЂ” при температуре и,.
22. Пользуясь решением задачи 21, найти емкость сфериче- ского конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической постоянной е=сопз1 и ограниченного сферами г=а и г=Ь. пк гехзнения эллиптического типе 23. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной е, при а -г<с, е= е, прис<г<Ь. 24. Решить аздачу, аналогичную предыдущей задаче, для цилиндрического конденсат ора. 25, Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса а, заряженной до потенциала и„и помещенной в неограниченную среду со следующим распределением диэлектрической постоянной: ег при а<г<с, е= е, при г)с.
Рассмотреть частные случаи: а) с=ос, б) аз=со, з) ег=е,=е. 26. Найти электростатическое поле бесконечного проводящего цилиндра радиуса р=а, заряженного до потенциала и и окру- женного диэлектрической обкладкой, ограниченной цилиндриче- ской поверхностью радиуса р = Ь, иа которой поддерживается нулевой погенциал. 27. Найти функцию и, гармоническую внутри слоя, ограничен- ного плоскостями г=О и г=й, если и! ~=и„и ~, ь — — и,. 28. Найти емкость плоского конденсатора, рассчитанную на единицу плошади обкладок, если между обкладками конденсатора находитси диэлектрик с диэлектрической постоянной з.
Рассмотреть два случая: а) е=сопз! при 0<г<й, ег при 0<г йп б) е= е~ при Ь, < г < Ь. 29. Определить функцию и=и(х, у), гармоническую внутри прямоугольника 0 < х < а, 0 < у < Ь н удовлетворяющую условиям и(х, 0) и„и(х, Ь)=и„— ~ =О. ди дх ~.о к а 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона 30. Найти решение уравнения Пуассона Ьи=! внутри круга радиуса р а, если и<р — — О, 31. Решить уравнение аи А внутри круга радиуса р=*а при ди! граничном условии,— <э В, выбрав постоянную В так, чтобы задача имела решение. условия зьдлч 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
