Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ВЗ. Доказать справедливость следующего утверждения. Для гого чтобы решение краевой задачи и,=а'и„„+~(х, (), Ос'х, Г(+оо, ,х' А» —" =О, 0~1(+оо„х=О, и(х, 0)=0 дхА можно было представить в виде +о~ Г ~» ГИ и (х, () = — ( Г(Г, ~ — =' е "а' и — т~ Г(т, г 1 ~й, т) — , , 2ау Б . ~~ У'~:Т достаточно продолжить ~(х, Г) на отрицательную полуось х так, чтобы функция дх)(х, 0 А=О была нечетной по х. 64. Решить краевую задачу и,=ахи„„, 0 =х, Г(+со, и~О, Г,=О, 0(((+Со, и(х, 0)=6„0<х.с+оо.
услОВия злдлч В какой момент времени ! температура в точке достигнет значе- ния а(са, 0 'а<1г 86. Решить краевую задачу и!=а'и„„, 0<х, ! -+Ос, и„(0, !)=О, 0<1<+Ос, 1 (1„О<х<1, ( ) Ф() 87. Решить краевую задачу ссс=а'и„„, 0<х, !<+СО, и„(0, !) — Ьи 'О, !) = О О < ! <+ Ос и(х, 0)=(l =соне(, 0<х<+ж. (1) (7) (3) Получить асимптотическое представление для температуры конца стержня при больших значениих времени и е с Вл '2 " ' ~ ллслс Дать выражение для оценки погрешности при пользовании формулой (4) и найти, с какого момента времени вычисление и(О, !) по формуле и, (8) ал р"лс дает погрешность, заведомо ие превышающую по абсолютной ве- личине наперед заданного е ) О.
88, Решить краевую задачу ис — — аз脄— Ь'елл й)0„0.<х, !<+Оэ, и (О, 1) = (/а = сопз(, 0 <! <+СО, и(х, О) =О, 0<х<+ Начертить графики распределения температуры в моменты временк ! =- —, ! = — —,, 1= —, на отрезке 0<х<4, а также графически ! 1 ! ! ! изменения температуры в точках х=--, х=-~-, х=1 иа отрезке ! времени 0 е-1( —. Найти также скорость движения фронта температуры а(/„сде 0 < а < 1, а = сопз(. 85. Решить краевую задачу и,=а'и„„, 0<х, !<+со, и(О, с)=и„"' О<!<, и(х, 0)=0, 0<х<+ОО. ПЬ УРАВНЕНИЯ ПАРАбОЛИЧЕСКОГО ТИПА 89.
Решить краевую задачу и,= а'и, Ос'х, 1(+ОО, — и„(0, г)=д, О~Г +СО, и(х, 0)=О, 0(х«.+СО. 90. Решить краевую задачу и,=а'и,„— й(и — К,), У,=сопз(, 0(х, )(+со, и(О, г)=и, О~г~+ОО, О,=сопз(, и(х, 0)=Ум О =х(+Оо, У„=сопз(. 91, Начальный ток и начальное напряжение в полуограничен- ном однородном проводе 0 =х~+ОО равны нулю.
Самоиндук- цня единицы длины провода пренебрежимо мала. Начиная с мо- мента Г=О, к концу провода приложена постоянная электродви- жущая сила Е . Найти напряжение в проводе. у 92, Решить краевую задачу и~ —— ази„„, 0(х, ( +СО, и„(0, 1) — йи(О, ~)= — Айсозы(, 0 С)(+со, и (х, 0) = О, 0(х <+ОО. 93. Найти установившиеся температурные волны в полуограниченном стержне О~х +со с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура конца стержня меняется по закону и (О, 1) = А соз тбй Найти скорость распространения температурной волны с данной частотой ы (дисперсия температурных волн!).
94. Начальный ток и начальное напряжение в однородном проводе 0~А(+со равны нулю. Начиная с момента т =О, н точке х=О приложена электродвижушая сила Е(т)= Е,сов вг. Найти напряжение в проводе, если самоиндукция и утечка еди- ницы длины провода нренебрежнмо малы. 95. Начальная температура полуограииченного стержня с теп- лоизолированной боковой поверхностью задана и (х, О) = ) (х), 0 ( х (+ со. Какой тепловой поток должен подаваться в стержень через его конец, чтобы температура конца менялась по заданному закону и(0, ()=р(г), 0~1 С+со, р(0)=~(0)) Рассмотреть частный случай, когда ).
(х) = — О. 96. Начальная температура полуограниченного стержня с теп- лоизолированной боковой поверхностью задана и(х, 0)=~(х), 0(А~+со, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ а на конце х=О происходит конвективный теплообмен с внешнен средой. Как должна меняться температура внешней среды, чтобы температура конца стерлгня менялась по заданному закону и (О, 1) =р(1), р(О) =7(О), 0<1<+со? Рассмотреть частный случай, когда Г(х) = — О.
97. Решить задачу 95 при условии, что на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой ну. левой температуры. 98. Решить задачу 96 при условии, что иа боковон поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 99. Решить краевую задачу и,=ази„„+((х, 1), О<1<+со, о,(<х<+со, и(х, О)=О, 0<к<+ос, и(оо( 1) О 0<1<+со. 100. Решить краевую задачу и,=а*и„„, 0<1<+со, о„(<к<+ос, и(х, 0)=1(х), 0<х "+со, и (о„Х„г) = О, 0 < 1 <+ х>. 101.
Решить краевую задачу ц = а'и„„, О < 1 <+ оо, ц ( < х <+ со, и (х, О) = О. 0 «х <+ со, и(о 8, 1) =р(1), 0<1<+со. 102. Решить краевую задачу и,=ази,„+~(х. 1), О<1<+ос, оог<.т<+со, и (к, 0) = г (х), О < х <+ с о, „(о1, 1)=р(1), 0<1<+оз. и) Конечный отрезок Задачи !03 — 105 на построение функций источника, предлагаемые в этом пункте, требуется решить двумя способами: методом отражений и методом разделения переменных; один из них дает хорошее представление для функции источника при малых значениях времени 1, а другой — при больших. 103.
Построить функцию влияния мгновенного точечного источника для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его концы поддерживаются при температуре, равной нулю. Оценить остатки' рядов, представляющих решение. ЦЬ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 104. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью. если его концы также теплоизолированы.
Оценить остатки рядов, представляющих решение. 1ОБ. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного стержня Б теплонзолированной боковой поверхностью, если один его конец (х=О) теплонзолироваи, а другой (х=Е) поддерживается при нулевой температуре. Оценить остатки рядов, представляющих решение. 106. а) Найти Ер', начиная с которого для остатка ряда (2) решения задачи !03 выполняется неравенство ~ВАу(х, $, Е) ~(Е (1) при О«=х, $(Е, 0(Е(ЕА. б) Найти йУ, начиная с которого для остатка ряда (12) решения задачи 103 выполняется неравенство (1) при 0(х, й(Е, 0 =Е(ЕА. 107.
Решить предыдущую задачу для рядов,'1) н (6) ответа к задаче 104. 108. Решить задачи 103, !04, 105 в случае, когда на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. !09. С помощью функции источника, найденной в решении задачи 103, решить краевую задачу и,=а'и„+Е(х, Е), 0(хк Е, 0(Е(+со, и(0, Е)=<р Е), и'Е, Е)=0, О(Е(+Со, и(х, 0)=Е(х), 0(х(Е. !1О. С помощью функции источника, найденной в решении задачи 104, решить краевую задачу и,=а'и„,.+Е(х, Е), 0(х(Е, 0 Е(+со, (1) и.(О, Е)= р(Е), и(Е, Е)=О, О -Е(+, (2) и(х, 0)=Е(х), 0(х(Е. (3) 11!.
Температура одного кщща стержня (х= 0) поддерживается постоянной и отличной от нуля, и ~0, Е)=(ЕрчьО, а температура другого конца (х=ЕЕ все время равна нулю, и(Е, Е)=0. Найти температуру стержня, если его боковая поверхность теплоизолнрована, а начальная температура равна нулю; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 1!2. Один конец стержня (х= !) теплоизолирован, а на другой конец (х = 0) подается постоянный тепловой поток 1 — 4у„(0, Е)= — Хйр!. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю, а боковая поверхность тепло- изолирована; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 3 В. М.
БУАак и АР услОВия зхалч 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно-постоянвыми коэффициентами и условия сопряжения 113. Неограниченный стержень — оо<х<+ со с теплоизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечным сечением получен соединением в точке х О двух однородных полу- ограниченных стержней — со < х< О и 0 <х<+со; торцы стержней плотно примыкают друг к другу. Начальная температура, коэффициент температуропроводности и коэффициент теплопроводностн левого н правого стержней соответственно равны С,=сонэ(.
а,, х„ба=сонэ(, а,, йе Найти температуру составного стержня. 114. Решить предыдущую задачу, есЛи начальная температура равна ~1 х) со <х< О, и(х, О)= Г,(х), О <х<+ 115. Неограниченный стержень составлен из двух полуограииченных стержней, как указано в задаче 113. Найти температуру стержня при 1)0, если в момент времени 1=-0 в его точке $ =- О выделилось мгновенно Я=сап, единиц тепла, а начальная температура стержня была равна нулю.
116. На конец полуограничениого стержня с теплоизолированной боковой поверхностью насажен шарик с теплоемкостью С, и очень большой теплопроводностью, так что в каждый момент времени шарик можно считать равномерно нагретым, а его температуру равной температуре конца стержня. Пусть поверхность шарика также теплоизолирована, 1-)айти температуру стержня, если его начальная температура равна и (х, О) = Г (х), 0 <х <+ со, причем 1(+0) и Г'(+0) существуют. 117. Пусть полупространство х) 0 заполнено жидкостью с коэффициентами температуропроводности и теплопроводности ам а и начальной температурой б,=сонэ(, а плоскость х 0 поддерживается при постоянной температуре Ьг бм причем (/, ниже температуры замерзания жидкости. Найти закон распространения фронта промерзания жидкости, а также температуру жидкости и твердого вещества, в которое жидкость превращаетси при промерзании.
ГЛАВА И УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стацио. парных, т. е. не меняющихся во времени, процессов различной физической природы. Сюда относятся стационарные электрические и магнитные поля (электростатика, магнитостатика, поля постоянного электрического тока), потенциальное движение несжимаемой жидкости, стационарные тепловые поля н др. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа Ьи = Р, которому в основном и посвящена настоящая глава. Ниже, в гл.
Н1, помещены задачи для других уравнений эллиптического типа. й 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде В отличие от уравнений гиперболического и параболического типов краевые задачи для эллиптического уравнения характеризуются отсутствием начальных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
