Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Требуется определить решение уравнения Ли = г) внутри кольца и « р с., Ь при следующих граничных условиях: а) и~д ь —— и„ б) и)р =и,, в) — ~ =В, Оп е слить и р-ь=и,; =С; р-ь ди — =С. дл р-ь 3 3. Функция источника Функция влияния точечного источянка (функция Грина) является весьма мощным средством решении краевых задач для уравнения Лапласа н Пуассона. Настоящий параграф содержит задачи на построение функции источника для ряда областей, допускающие применение метода зеркальных изображений (метода отражений); при этом исходной является функция источника в неограниченном пространстве, раве 1 е иая — --, где — — мощность источника (заряд). чп г' 4п Возможны различные физические интерпретации функции источника (электростатическая, термическая и т.
д.). При формулировке задач мы обычно пользуемся электростатической интерпретацией функции источника, предполагая границы областей идеально проводящими и заземленными. Задачи на построение функции источника методом разделения переменных даны в 3 4. 1. Функция источника для областей с плоскими границами 35. Найти потенциал поля точечного электрического заряда, помещенного над идеально проводящей заземленной плоскостью в=О, и вычислить плотность поверхностных нндуцированиых рд остоянные, при которых задачи имеют решения. 33. Найти решения: а) уравнения Ли=1, б) уравнения йи=-Аг+В внутри сферы г а, если па сфере выполняется граничное условие и~, „=О.
34. Найти внутри сферического слон а <; г~3 решения уравнений а)Ьи = 1, б) Ли =А+в и г при граничных условиях и 1, = О. и ~ ь = О. пс юывикпия эллиптического пшл зарядов. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Х!апласа в полупрострапстве г=-О. 33. Найти потенциал точечного заряда внутри слоя, ограниченного двумя идеально проводящими плоскостями г=О и г=1. которые поддерживаются при потенциале, равном нулю. Исследовать сходимссгь ряда, построенного методом отражений, и показать возможность двукратного почлеиного дифференцирования этого ряда. 37. Рассмотреть задачу о точечном истсчнике тока в проводящем слое О < г ~1, изолированном вдоль плоскостей г = О и г= 1.
Найти компоненты электрического поля и убедиться в том, что непссредстсеннсе применение метода отражений для нахождения потенциала дает расходящийся ряд. 38. Рассмотреть задачу 37, считая, что одна стенка изолирована, а на второй — потенциал поли равен нулю. Исследовать сходимосгь рядов для потенциала. 39. Построить фуикшпо неточна ка для уравнении Ьи = О в полупростравстве г О при граничном условии третьего рода ди — + Ьи=О при г=О.
дг 4О. Найти потенциал точечного заряда внутри «полуслов» 0== г =.1, г=О, ограниченного плоскостями г=О, г=1 и х= — О, считая, что стенки идеально проводящие и имеют нулсгой потен- циал. 4!. Внутри двуграниого угла величиной сс = — (и — натуральл нос число), ограниченного идеально прсводящими стенками с нуле- вым пгиепциалом, точечный электрический заряд.
Найти электои- ческое поле, порождаемое этим зарядом. 42. Двугргнный угол зада и 4! пересекают две идеально про- водящие плоскости г=-О г=.1, перпендикулярные к ребру дву- граппого угла. Внутри области, ограни'.энной двугранным углом и эпми плоскостями, помещен точечный заряд. Потенциал всех плоскостей равен нулю. Определить потенгшал голя этого заряда. Рассмотреть част- ныс случаи: а) а=я (ср. с задачей 36), б) 1-»-со (ср.
с задачей 35). 43. Внутри двугранного угла задачи 4! помещен источник тепла мощностью Я. Найти стационарное распределение температуры внугри этого угла, если его сченки теплопзолированы. 44. Решить с помощью функции источника первую краевую л задачу внутри двуграиного угла величиной «» †, где и — натул' условия задхч ральное число, если на его сторонах заданы граничные условия и~„О, и~ з .$~.
45. Решить помощью функции источника первую краевую задачу для уравнения Лапласа в полуплоскости 5~0, если [ 0 при к~О, [ У прн х)0. 46. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом внутри бесконечной цилиндрической полости, считая, что граница области идеально проводящая и имеет нулевой потенциал, а перпендикулярное сечение полости имеет форму прямоугольника со сторонами а и 6. 47.
Решить задачу 46, предполагая, что перпендикулярное сечение имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. 48. Решить задачу 46 для полубесконечной цилиндрической полости г) О. 49. Найти выражение для потенциала точечного заряда внутри прямоугольного параллелепипеда с идеально проводящими стенками, которые поддерживаются при нулевом потенциале.
2. Функция источи ик а для областей со сферическими (круговыми~ и плоскими гранипами 60. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом е внутри заземленной сферы. 61. Пользуясь решением задачи 60, найти плотность поверхностных зарядов, индуцированных на сфере, и написать решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа внутри сферы; получить отсюда формулу Пуассона, дающую решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа (см.
[7), гл. !Ч, стр. 327;. 52. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным заридом, находящимся вне заземленной сферы. 55. Пользуясь решением задачи 62, вычислить плотность поверхностных зарядов на сфере и написать решение первой внешней краевой задачи для сферы. 54. а) Внутри бесконечной цилиндрической полости кругового сечения электростатическое поле создается заряженной нитью, параллельной оси цилиндра. Найти потенциал этого поля. б) Решить ту же задачу, если заряженная нить находится вне цилиндра. в) Решения задач а, и б) использовать для построения реше» ния задачи Дирихле внутри и вне круга.
1\С УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 55. Найти функцию источника для йи =0 внутри заземленного -полушара, а также четвертой части шара. 56. Построить функци1о источника для задачи Дирихле1 а) внутри полукруга, б) внутри четвертой части круга, в) внутри сектора с углом раствора о= — " . 57. Найти потенциал поля, создаваемого точечным зарядом г внутри сферического слоя, ограниченного двумя концентрическими проводящими заземленными сферами с радиусами а и Ь. Исследовать сходимость построенного ряда, а также рядов, получающихся при двукратном почленном дифференцировании исходного ряда. Рассмотреть предельные случаи а — 0 и Ь-+ со н сравнить с решениями задач 50 и 52.
58. Построить внутри кольца а(р -Ь функцию источника для задачи Днрихле. Рассмотреть предельные случаи а-э оо и Ь - ОО и сравнить с решением задачи 54. 59. Найти поле точечного заряда е в неограниченном пространстве в присутствии проводящей сферы, на которой распределен заряд величиной си Вычислить плотность поверхностных зарядов, индуцированных на сфере. 3, Функция источника в неоднородных средах 60. Найти поле точечного заряда в неограниченном пространс стве, заполненном неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной а, при г)0, е, прн г СО. В ычислить поверхностную плотность, а также величину заряда, индуцированного на границе раздела г= О. 61.
Полупространство г ) О заполнено неоднородной проводя- щей средой, проводимость которой равна о, при г)й, о= о, при 0(г(Ь. В Точке 54 (О, О, Ь) помещен точечный источник тока. Определить электрическое поле на поверхности проводника (при г = О). Рассмотреть случай ~ = 0 (источник на поверхности). 62. Заземленный проводящий лист, лежащий в плоскости р, г, имеет сферическую выпуклость радиуса а с центром в начале Координат; все полупространство д(0, лежащее ниже плоскости г, заполнено диэлектриком с диэлектрической постоянной ВВ; головня зопхч среда, заполняющая полупространство у ) 0 над плоскостью у = О, имеет диэлектрическую постоянную е,.
Найти потенциал точечного заряда, помещенного над плоскостью у= 0 в точке Мо(х, уо, го), причем го = рг4+уо+ хо) а. 63. Полупространство «)О заполнено неоднородной проводящей средой, проводимость которой равна а, при у~О, а= а при у)0. В точке М,(0, — И, ь) помещен точечный источник тока мощностью (о. Йайти потенциал элеитрического поля, а также плотность тока при у=0, ь=0. 64. В бесконечном пространстве в точках (О, до, фо) и (с, Оо, ~ро) находятся две заземленные проводящие сферы с радиусами а и д. В точке р=р на линии, соединяющей центры сфер, помещен заряд е.
Найти потенциал поля вне сфер. 5 4. Метод разделения переменных В настоящем параграфе даны краевые задачи для уравнения Лапласа, решаемые методом разделения переменных. 1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора 65. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга. 66. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа вне круга.
67, Написать решение второй краевой задачи для уравнения Ьа 0: а) внутри и б) вне круга. 68. а) Написать решение третьей внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, если граничное условие записывается в виде ди — — Ьи= — ( при р=а, др б) Найти также решение третьей внешней краевой задачи для круга, 69, Бесконечный проводящий цилиндр (цилиндрический кон- дуктор) заряжен до потенциала Р, при 0«р~п, $~ = 'о'о при пакор(2п, где рх и г'о — постоянные. ПС УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Найти поле внутри и вке цилиндрической полости, а также плотность поверхностных зарядов и суммарный заряд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
