Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ва) То же. *"") По поводу возбуждения струны мягким выпуклым молоточком см. задачу 1б2. Я Б. и. аздак а др. 08. Струна О=".х =1 с жестко закрепленными концами ло момента 1=0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы ге=сопз1, приложенной к точке хр струны пер- пендикуляоно к невозмущенному положению струны. В начальный момент времени 1=0 действие силы га мгновенно прекращаезся. Найти колебания струны при 1) О. з 99.
Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительна перпендикуляра к середине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю. чг 100. Струна *) с жестко закрепленными концами возбужда- ется ударом жесткого плоского молоточка, сообщающего ей сле- дующее начальное распределение скоростей: О, О~х(х — 6, ит(х, О)=тр(х)= О„, х — 6 =х(х„+6, О, хе+6«=-х(1, Найти колебания струны. если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 101.
Струна *а) с жестко закрепленными концами возбуждается даром острого молоточка, передающего ей импульс ! в точке х,. айти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 102. Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого выпуклого молоточка ***), сообщающего ей начальное распределение скоростей эсловня зхЛлч приложенной к концу х=- к В момент ! = 0 действие силы й'„, мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю.
106. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в продольном направлении произвольны. Учесть возможность равномерного прямолинейного движения стержня. !06. Найти колебания упругого стержня со свободными концами, получившего в начальный момент времени продольный импульс ! в один из концов. 107. Решить предыдущую задачу для случая, когда конец„ которому не сообщается импульс, закреплен жестко.
106. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 109. Один конец стержня (х = !) закреплен упруго, а к другому (х =О) приложена продольная сила й; = — сопз(, под действием которой стержень находится в состоянии равновесия. Найти колебания стержня после того, как в начальный момент времени сила г' мгновенно исчезает, если начальные скорости равны нулю.
110. Один конец стержня (х=!) закреплен упруго, а другой (х О) получает в начальный момент времени продольный ударный импульс !. Найти продольные колебания стержня, если начальное отклонение стержня равно нулю, 111. Найти продольные колебания стержня с упруго закрепленными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки концов, если начальные условия произвольны. 112. Решить предыдущую задачу, если коэффициенты жестко.
сти заделки концов стержня различны. !13. Найти колебания уровня жидкости в кольцевом канале, ширина и глубина которого невелика по сравнению с его радиусом, если начальное отклонение уровня от равновесного состояния и начальная скорость изменения этого уровня заданы. 114. Доказать аддитивность энергии отдельных гармоник для процесса свободных колебаний струны в среде без сопротивления прн однородных граничных условиях первого, второго и третьего рода. 116.
Найти поперечные колебания стержня 0(х~! при произвольных начальных условиях, если концы стержня а) закреплены шарнирно (ксвободно оперты» ). б) закреплены жестко, в) свободны. !16. Решить предыдущую аадачу, предполагая, что колебания вызваны поперечным ударом в точке х=хм передавшим стержню импульс !. Н. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИНА 2. Свободные колебания в среде в сопротивлением В задачах 97, 101, 103, 105, 108, 111 колебания струн и стержней рассматривались в среде без сопротивления. Предположим теперь, что в этих аадачах среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости, тогда получим задачи 117, !18, 119, 120, 121 и !22 соответс1венно, Решить задачи 117 — 122, не вычисляя энергии отдельных гармоник.
123. Изолированный однородный электрический провод Ое= = х~ ! заряжен до некоторого потенциалз о, = сопз1. В начальный момент времени конец х=0 заземляется, а конец х = 1 продолжает оставаться изолированным. Найти распределение напряжения в проводе, если сзмоиндукция, сопротивление н емкость единицы длины провода известны*). 124. Найти электрические колебания в однородном проводе О~х(1, если конец х=-О заземлен, конец х=1 изолирован, начальный ток равен нулю, а начальный потенциал равен О, 0(х<а, о 6 1ь — е), а<к<Ь, О, Ь<х(1. о(х, 0) = и ! Й о Ог раничиваясь случаем, когда —,—..
) ~ — — — ~, найти !)'сь ~ 1, С 1' выражение для напряжения. 125. Найти напряжение в проводе с начальным током и начальным напряжением, равными нулю, если в начальный момент в точке х=х этого провода помещается сосредоточенный заряд !1. Остальные условия такие же, как в предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления н в среде с сопротивлением В этом пункте сначала рассматриваются задачи с постоянными вынуждающими силами, затем задачи с гармонически меняющимися во времени вынуждающими силами и, наконец, задачи с вынуждающими силами, изменяющимися во времени по произвольному закону.
!26. Решить задачу 97 при условии, что колебания происходят в поле силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, а концы струны закреплены на одинаковой высоте. !27. Упругий стержень 0 =;х ( ( расположен вертикально и верхним концом (к=О) жестко прикреплен к свободно падзюше*) Утечка 6=0 еогла:но нредиолеекенню об иеолнроеенноети ороеоле. ЯФ тсловия злдлч му лифту, который, достигнув скорости о, мгновенно останавливается. Найти продольные колебания стержня, если его нижний конец (х= 1) свободен.
123. Найти продольные колебания стержня О =.х = 1, если один его конец закреплен жестко, а к другому с момента 1=0 приложена сила г =сопз1. 129. В конце х=1 трубопровода О~х~1 расход жидкости изменяется в момент времени 1=0 скачком на величину А =сонэ(; конец х= О соединен с большим резервуаром, где давление жидкости остается неизменным. Считая, что до изменения расхода в конце х= 1 давление и расход в трубопроводе были постоянными, найти изменение расхода в трубопроводе при 1 ) О и изменение давления в сечении х=1 при 1)0, 130. Найти напряжение в однородном электрическом проводе, сопротивление, самоиндукция, утечка и емкость единицы длины которого соответственно равны И, Е, 6 и С, если начальные ток и напряжение равны нулю, конец х=1 изолирован, а к концу х=О, начиная с момента 1=0, приложена постоянная эдс Е.
131. Решить предыдущую задачу, предполагая, что конец провода х=1 заземлен. 132. В точке х струны 0(х =1 с момента 1=0 приложена постоянная поперечная сила Р~. Йайти колебания струны, если ее концы закреплены жестко. 133. К струне 0 =х(1 с жестко закрепленными концами с момента времени 1=0 приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф (х, 1) = Ф (х) з(п м1. Найти колебания струны в среде без сопротивления; исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса. 134. Решить предыдущую задачу при условии, что линейная плотность силы равна Ф(х, 1) =Ф,ипмг, 0(х(1, 0(1с +с, где Ф„=сонэ(, !35. Найти продольные колебания стержня 0«х~1, конец х 0 которого закреплен жестко, а конец х=1, начиная с мо.
мента 1=0„движется по закону и (1, 1) = А з ш а1, 0 ( 1 с + со. Среда не оказывает сопротивления колебаниям. 136. Найти продольные колебания стержня О~х(1 в среде без сопротивления, если конец х= О стержня закреплен жестко, а к концу х=1, начиная с момента 1=0, приложена сила Р(1) А ип м1, 0(1 с-+со. зт и. ээхвнвния гнпваволичвского типа !3?. Решить задачу 35, предполагая, что в начальный момент времени 1=0 стержень находился в горизонтальном положении н что 9=0, ы=сопз!.
Рассмотреть случай без резонанса. !38. Найти колебания струны 0<к~! с жестко закрепленными концами, если в точке к=к этой струны с момента 1=0 приложена поперечная сила Е (1) = А з(п м1, О < 1 < + со. Ограничиться случаем, когда частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот. !39. Решить предыдущую задачу, еслв Е(1)= Асозы1, 0<1<+со. !40. Решить задачу )38, если Е(1) есть произвольная перио.дическая сила с периодом ь, т.
е. Е(1) = — + ~~ (а„созпы1+()„ашпы1), 0<1<+со. !4!. К струне О~х<1 с жестко закрепленными концами с момента времени 1=0 приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф(х, 1) =Ф,(к)айнам. Найги колебания струны при нулевых начальных условиях, предполагая, что .среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. Найти установившиеся колебания„представляющие собой главную часть решения при 1-~+со. (Ср. с задачей !33.) 3 а м е ч а н и е.
Установившиеся колебания имеют частоту вынуждающей силы; колебания с другими частотами затухают. !42. Решить задачу !36, предполагая, что колебании происходят в среде с сопротивлением, пропорпиональным скорости. Найти установившиеся колебания, представляющие собой главную часть решения при 1- + оо. !43. Решить задачу !30, предполагая, что к концу к=1 провода приложена с момента 1=0 эдс Е(1) = Е,з!пы1, 0<1<+оо, Еэ = сонэ!, а конец х= О изолирован.
Найти установившиеся колебания, представляющие главную часть решения при 1-~-+оо. !44. Решить задачу )31, предполагая, что к концу х=1 провода приложена с момента 1=0 эдс Е(1)=Е,з!пЫ, 0<1<+со, Еа=сопз!. а конец х=О заземлен. Найти установившиеся колебания — главную часть решения при 1- +со. !45. Найти установившиеся колебания давления на конце х=1 трубопровода 0 <х ~1, если на этом конце находится смягчающий колпак, а расход поступающей извне жидкости меняется гармонически во времени, на другом же конце трубопровода давление остается постоянным.
условия зхдлч предполагая, что среда не оказываег сопротивления колебаниям, 148. Найти колебания струны 0 «= х (1 с жестко закрепленными концами под действием распределенной силы, приложенной с момента 1=0 и имеющей плотность Р(х, !)=Ф(х) Р, О~х -.1, 0(1(+со, ьт > — 1, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 149. Найти продольные колебания стержня О~х---! в среде без сопротивления под действием силы Е(!)=А1, 0(1(+со, А =сопя!, т — 1, приложенной с момента 1=0 к концу х=1, если конец х=О фиксирован жестко, 150. Решить задачу 133 методом, указанным для задачи 148, !51. Решить задачу 141 методом, указанным для задачи 148. 152.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
