Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если между точками разрыва коэффициенты уравнения остаются постоянными, то задача может быть сведена к уравнениям с постоянными коэффициентами и условиям сопряжения в точках разрыва. При этом мы имеем в виду внутренние точки среды; если же сосредоточенные массы или силы рассматриваются в граничных точках колеблющейся среды„то зто должно быль отражено граничными условиями*). *) Задачи с сосредоточенной силой иа конце стержня и сосредоточенной вчектродвижупаей силой нв конце провода уже рассматривались в предыдуацеи пункте (см, задачи !3, !9), П.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 19 26. Два полуограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют один неограниченный стержень*). Пусть ры Е,— плотность массы и модуль упругости одного из Гпгх и р, Е,— другого. Поставить краевую задачу для определения отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если в начальный момент времени поперечным сечениям стержня сообщены некоторые продольные смещения и скорости. 27. Рассмотреть задачу 26 для случая поперечных колебаний составного неограниченного стержня.
28. Рассмотреть задачу, аналогичную задаче 26, для продольных колебаний газа в неограниченной цилиндрической трубке, если по одну сторону некоторого поперечного сечения находится газ с одними физическими характеристиками, а по другую †другими. 29. Поставить краевую задачу о волновом движении жидкости в канале**) с прямоугольным поперечным сечением, если размеры поперечного сечения в некотором месте канала резко изменяются, т.
е. канал «составлен» из двух полуограниченгых каналов с различными поперечными сечениями. 36. Рассмотреть задачу 26, предполагая, что торцы составляющих стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины массы М. 31. Два полуограниченных одногодных стержня с одинаковым прямоугольным поперечным сечением соединены торцами так, что составляют один неограниченный стержень постоянного поперечного сечения„причем торцы полуограниченных стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины с массой М. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях такого стержня. 32.
Поставить краевую задачу о продольных колебаниях однородного упругого вертикального стержня, пренебрегая действием поля силы тяжести на частицы стержня, если верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему прикреплен груз ~>, причем за положение равновесия принимается ненапряжепное состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень). *) Если один нз концов стержня столь удален от рассматркваемой области, что можно в рассматрвваемой области и в течение рассматриваемого промежутка времени пренебрегать возмущениями, распространяющимися от этого конца, тогда стержень можно считать полуограниченным (хэ ~ х <+со или — со < -сх их хе); если же оба кон[!а стержня находятся в таком положении, то стержень ьюжно считать неограниченным ( — со(х(+со).
Это можно сказать О струне, о трубне, наполненной газом, и т, д. "") См. задачу 7, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 33. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях в вертикальной плоскости упругого прямоугольного однородного стержня, расположенного в ненапряженном состоянии горизонтально, если один конец стержня жестко закреплен, а к другому прикреплен груз Гг', момент инерции которого относительно средней горизонтальной линии примыкаюшего торца пренебрежимо мал, причем за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня. 34.
Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого горизонтального стержня с грузом 9 на конце, если другой конец стержня жестко прикреплен к вертикальной оси, которая вращается с угловой скоростью, меняющейся с течением времени по заданному закону. Изгибные колебания считать исключенными с помощью специальных направляющих, между которыми скользит стержень во время продольных колебаний.
35. Рассмотреть задачу 34, предполагая, что ось врашения расположена горизонтально. 36. Поставить краевую задачу о кругильных колебаниях цилиндра длиной 21, составленного из двух цилиндров длиной если на концах составленного цилиндра и между торцами соеди' няемых цилиндров находятся жестЮlкийг кне шкивы (рис. б) с заданными осевыми моментами инерции. 37.
Пусть неограниченная струи на совершает малые поперечные колебания под действием попереч'- Е ной силы, приложенной, начиная с момента Г=О, в некоторой за- данной точке струны. Рис, 5. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от их положения равновесия. Рассмотреть также случай, когда точка приложения силы перемещается с течением времени вдоль струны по заданному закону. 38. Рассмотреть задачу 37 для поперечных колебаний стержня.
39. Конец полуограниченной цилиндрической трубки, заполненной идеальным газом, закрыт поршнем массы М, скользящим в трубке, причем сопротивление трения пропорционально скорости поршня с коэффициентом пропорциональности, равным й:". Пусть поршень насажен на пружинку с коэффициентом упругости й** и осью, направленной по оси трубки.
Поставить краевую задачу о продольных колебаниях газа в трубке. 49. В некоторой точке неограниченной струны прикреплен шарик массы М, а к нему прикреплена пружинка с коэффицн- и. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА витом упругости й и осью, перпендикулярной к равновесному положению струны (см.
рис. 11). Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны. Рассмотреть также случай, когда шарик испытывает сопротивление, пропорциональное скорости с коэффициентом пропорциональности й*. 4!. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях н проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если концы провода заземлены: один — через сосредоточенное сопротивление Йм а другой †чер сосредоточенную емкость Сэ 42. Рас:,:отреть задачу 41, предполагая, что одни конец провода заземлен через сосредоточенную самоиндукцню Е,"', к другому приложена электродвижущая сила ЕЯ через сосредоточенную самоиндукцию Ц='.
43. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, если концы провода заземлены через сосредоточенные сопротивления. 44, Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе. если каждый из его концов заземлеи через последовательно включенные сосредоточенное сопротивление и сосредоточенную самоиндукцию.
Найти соотношения, которым должны удовлетворять величины сосредоточенных самоиндукций и сопротивлений лля того, чтобы для О(х,1) имели место однородные граничные условия третьего рода. 45. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в неограниченном проводе, полученном соединением двух полу- ограниченных проводов через сосредоточенную емкость С,, Рассмотреть краевую задачу для определения силы тока в случае, когда утечки нет.
48, Рассмотреть задачу 45 для случая, когда полуограииченные провода соединяются не через сосредоточенную емкость, а через сосредоточенное сопротивление Й . 47. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, один конец которого заземлен через параллельно включенные сосредоточенное сопротивление Й, и сосредоточенную самоиндукцию ЕМ>, а другой †чер параллельно включенные сосредоточенную емкость Сэ и сосредоточенную самоиндукцию Ьт'т. 48. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, концы которого замкнуты через а) сосредоточенную самоиндукцию Е, б) сосредоточенное сопротивление )1„ в) сосредоточенную емкость С,. 22 наловив злдлч 5. Подобие краевых задач Пусть даны две краевые задачи ([) и (11), соответствующие физическим явлениям одинаковой или различной природы.
Обозначю) через х',(', и'(х',(') пространственную координату, время и искомую функцию в одной задаче, а через х",(", и (х",(") — соответствующие велнчнны в другой задаче. Если уравнение, начальные и граничные условия одной и другой задач имеют соответственно одинаковую форму, то задачи называются аналог ичн ы м и. Обозначим через В~ область изменения (х', (') в задаче (1), а через Вц — область изменения (х", (") в задаче (1!).
Если существуют такие константы Аз,йг, Йя, «коэффициенты подобияэ, чэо и'(х',(') =м„и (т",(') при хы=й х", ('=Аг(, (1) причем (х'„(') пробегает Вю когда (х", (") пробегаег Вы„то задача (1) называется подобной задаче (11) с коэффициентами подобия Ая„йг, А„е). Нетрудно гюказатть что если задача (1) подобна задаче (11), то можно так выбрать едьщицы измерения хо, (о, ио, хо, (о, ио в задачах (!) и (!!), что переход к безразмерным величинам л' г и' л" г" я" "о уо "о эо )о "о приводит к полному совпадению обеих краевых задач, а именно: область, пробегаеттая (й, т) в обеих задачах становится одинако- вой, коэффициенты в уравнениях и граничных условиях стано- вятся безразмерными и численно равнымиве), свободные члены и начальные значения становятся тождественно равными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
