Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 19
Текст из файла (страница 19)
42. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы г, =- г < г„ если ее начальная температура равна и'«о=г(г, «р), г, -'г<го, 0<ф<2п, а на внешней и внутренней поверхностях происходит конвективный теплообмеи со средой, температура которой равна нулю. 43. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора О=г=г, 0<ф-=«ро, если на поверхности г=-го и гранях «р=0 и «р=«р поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна и)«о=Я„ф), 0 <г <г„О<«р<«р,, 44. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора 0 =.г -.г„О<ф<фо, если на поверхности г=го происходит конвективпый геплообмсн со средой, температура которой равна нулю, грани «р=0 и «р=«р теплоизолированы, а начальная температура равна и'р-о=~«г. «р), 0<г<г„О<«р<«р, 45.
Найти температУРУ бесконечного цилиндрического секто г«<г <го, 0<ф<фо. если его поверхность поддерживает, п,и температуре, равной нулю, а начальная температура равна и'и о=~(г, «р), г,<г<го, 0<«р<«р,. У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 46. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора г,<г<г, 0 =<р«р„если на поверхностях г=г н г=г происходит конвектнвный теплообмен со средрй, температура которой равна нулю, Грани ~р=О и <р=~рв теплоизолированы, а начальная температура равна и'У,=Г'(г, <р), гт<г<гв, 0<гр<~р. 47.
Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 < г <г„ Ок~р<2п, Ом-г<1, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю, если начальная температура равна и)ь, 1(г, «р, г), 0<г<г,„О =.<р а 2п, 0<г<1. 48. Найти температуру конечного круглого цилиндра Ов=г г,„ 0 =Гр <2П, О <ив= 1, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, имекхцей температуру, равную нулю, если начальная температура цилиндра равна и~~ в —— г(г, ср, г), 0<г -.г, Ов=~рв-2п, Ос г -'1.
49. Решить задачу об остывании шара радиуса г, на поверхности которого поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура шара равна иВ ~=1(г, 6, ср), Ов г<г„Ов=6 <и, 0<Гр -2п. 60. Решить задачу об остывании шара радиуса г„, если на его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Начальная температура шара равна и(, ~(г, В, ср), 0<гав гы 0 =6<я, 0«р<2п. 61. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки г ~:г«-.г„на внешней и внутренней поверхностях которой поддерживается температура, равная нулю.
Начальная температура оболочки равна и~Г в=1(г, Гр, 6), г,<г -г„О =6 =.и, 0«р -2П. 52. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки Г в=-,ГВ-Г„НВ ВНЕШНЕЙ И ВНутрЕННЕЙ ПОВЕрХНОСтяХ КОтОрой ПрО- исходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Начальная температура оболочки равна и~,,=у(г„В, р), г,<г<гм 0<6<и, О«р--2п. б) Неоднородные среды; сосредоточенные ((чиилоры 68. Неоднородный круглый цилиндр О*а г(г„О<6~<2п, Ов гк;1 составлен из однородного цилиндра 0<г =г, О~~р< ~2п, Овс;ем-1 и однородной цилиндрической трубы гв<г<г» О~~р 2п, О~а<1, изготовленных из различных материалов. 4 В. м.
Вхввв в АР. головин задач Найти температуру составного цилиндра, если его поверхность поддерживается прн температуре, равной нулю, а начальная температура равна и)~,=Г(г, ср, г), 0=-г<г„О~Ч =а2п, О<а~(. 54. Решить задачу об остывании бесконечной цилиндрической трубы г, ~ г =. г„заполненной охлаждающей жидкостью, если температура охлаждающей жидкости все время равна температуре внутренней поверхности трубы, а внешняя поверхность теплоизолирована. Начальная температура трубы равна и) =((г), г,(г(г,.
55. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на внешней поверхности трубы происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 56. Цилиндр радиуса г, с моментом инерции К на единицу длины погружен в жидкость и приводится во вращение моментом М =сспз( на единицу длины. Определить движение жидкости и цилиндра, если жидкость заполняет пространство между цилиндром и неподвижной коаксиальной трубой с внутренним радиусом г,) г,. Цилиндр и трубу считать бесконечно длинными. В начальный момент времени цилиндр и жидкость покоились. 57.
Вне полого цилиндрического проводника г,( г== г, бесконечной длины в момент ( =0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Н„ параллельное оси проводника. Найти магнитное поле в проводнике при нулевых начальных условиях, предполагая, что во внутренней полости оно однородно, а также что вне и внутри трубы вакуум. 58. Неоднородный шар 0(г(гг составлен из однородного шара О(г==г, и однородной сферической оболочки г,ч=г~гв изготовленных из различных материалов. Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна ий =)(г, 6, ср), 0 =;г(гм Оч=з~п„О~<р-=2п.
й 3. Метод интегральных представлений В настоящем параграфе рассматривается применение интегральных представлений к решению краевых задач теории теплопроводности. Сначала идут задачи на применение интеграла Фурье, затем на построение и применение функций источников. У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1.
Применение интеграла Фурье 66. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, начальная температура которого равна и ~,=1(х, у, г), — со(х, у, г(+со. Рассмотреть также частный случай, когда ('(х, д, г) не зависит от г. 60.
Найти температуру неограниченного пространства, вызванную непрерывно действующими источниками с плотностью д(х, у, г, ф начальная температура пространства равна нулю. Рассмотреть также частные случаи, когда д(х, у, г, () не зависит от 1 и когда д(х, у, г, О не зависит ат г. 61. Решит.ь краевую задачу и,=игЛи, — со(х, у(+со, 0(г<+со, 0(((+со, ий,=0, — со<х, у<+со, 0(г(+со, и(,, =/(х, д, г), — сои х, д<+оо, 0<г<+оо. Рассмотреть также частный случай, когда )' не зависит от у. 62.
Решить краевую задачу щ=азйи, — со<х, у<+со, 0(г(+оо, 0(((-)-оо, и1, =)(х, у, О, — оо(х, у<+-со, 0(г<+со. 0((<-(-со, и~, =О, — оо(х, у +со, 0 г +со. Рассмотреть также частный случай когда ( не зависит от у. 63. Решить краевую задачу и,=а'йи, — со<х, у<+со, О<г, ((-(-со, и,~, д=О, — со<х, у(+со, 0<((-)-со, и(, =((х, у, г), — со(х, у(+со, 0(г <+со. 64. Решить краевую задачу и, = а~до, — оо ( х, у <+ оо, 0 ( г, ( (+ оо, и,'„А=((х, д, г), — со<х, у(+со, О<(<+со, ий,=О, — оо<х, у(+со, 0 -г(+со. 66.
Решить краевую задачу и,=азйи, — со х, д«+оэ, 0(г, 1 =+оо, и,— Ьи=О, — со(х, у(+со, г=О, О((<+со, и) „=~(х, у г), — оо<х, и<+со, 0<г<+со. Рассмотреть также частный случай, когда ( не зависи~ от у. ф* головня задач 66. Решить краевую задачу и~=а'Ьи, — оо<х, д(+со, 0<г, ~(+со, и =й(и — ((х, д, ()), — со< х, у<-(-со, г=О, 0<(<+со, и)з.,=О, — со(х, у(+со, 0<г(+со.
Рассмотреть также частный случай, когда )' не зависит от у. 67. Решить краевую задачу и~=аЧ\и+((х, у, г, О, — оо(х, у(+ос, 0(г, ~<+со> и~, =О, — со<х, у<+со, 0<Г(+со, и!ь.,=О, — оо(х, д(+со, 0(г«+со. 68. Найти температуру неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 «= х < )и 0 <у ( 1м — со (г (+со, если ее начальная температура равна и) „=)(х, у, г), 0<х<(м 0<у<(м — оо~г~+оо, а на поверхности а) поддерживается температура, равная нулю, 6) имеет место тепловая изоляция, в) происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. 69.
Решить предыдущую задачу для полуограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением: 0<х- (и О =у=-(и 0(а(+со; рассмотреть случаи, соответствующие граничным условиям а) и 6). 70. Найти температуру бесконечно круглого цилиндра 0 < гч=; гм Ом ф=~2я, — со(а(+ аз, если ега начальная температура равна и(ь.,=)(г, ф, г), 0<г<г;, 0<ф<2я, — со<а(+со, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю, 6) поверхность теплоизолирована, в) на поверхности происходит конвективный теплообмен с окру- жающей средой, температура которой равна нулю.
71 Найти температуру полуограниченного круглого цилиндра Оч~г -гм 0<ф -2я, 0<г =+со, если его начальная темпе. ратура равна и'з о — — ~(г, ф, г), О~ф<2п, Ое=г ~го, 0<г(+ос, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю, б) поверхность теплоизолирована. У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА цп 72.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
