Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Найти температуру неограниченного цилиндрического сек"гоРа 0<г(г»„0«Р<Ь вЂ” оэ<г<+со, если его начальнаЯ температура равна и!с ~<г, <р, з), 0<Ч>«рм 0<г<г„— со<а <+оо, .а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю, б) поверхность теплоизолирована. 73. Решить предыдущую задачу для полуограниченного цилиндрического сектора Оч-г~г„, 0- ~р«р„О~Е<+со. 74. Найти температуру пластинки, имеющей форму неограниченного сектора 0 =.г<+со, 0«р<гр», если ее начальная температура равна и)~ — — ~)а, ~р,', 0<г(+Со, 0<~р<~р, а на краях пластинки а) поддерживается температура, равная нулю; б) имеет место тепловая изоляция. 75.
Решить предыдущую задачу, предполагая, что один край пластинки теплоизолирован, а температура другого поддерживается равной нулю. 76. Найти температуру неограниченного клина е углом расг.вора ~р, если на его гранях а) поддерживается нулевая температура, б) имеет место тепловая изоляция. 77. Найти температуру неограниченного пространства о бесконечной круглой цилиндрической полостью, если начальная температура равна нулю, а температура на поверхности полости поддерживается равной с)м 2.
Построение и применение функций вли я ни я мгновенных точечных источников тепла 78. ))оказать, что решением краевой задачи д» А 1д~» Ф» Ф» 1 у = и ~Аз» + А» +А»А ) ~ — оо(Х, Д, 3 (+Со~ 0<1<+со, '2) явля~тся произведение решений ит тх, 8), и (х, Г), и ~х, г) краевых 102 головня зхдхч задач — = аг — ' — со«х(+со, 0(г(+ос дч, д'«, д~ ау' ' и1и-ч =~1(х), — оо(х<+оо, ~"' =а' ~"', — <у<+т 0<( (+ м — ар иг1г- =)т(д), — о(у(+с, ж, а, — =а' —,, — <г<+, О<(<+ д! из г о = 1з (г), — со < г <+ со. (1') (2') ((") (2") (1") (2«) 79.
Воспользовавшись выражением функций влияния мгновенных точечных источников тепла для прямых — со(х(+со, — со(у(+со, — со(г(+со и предположением, сформулированным в задаче 78, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для пространства — со ( х, у, г < + со.
80. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей задаче, решить краевую задачу и,=ахи+Г(х, д, г, 1), — со<х, у, г =+со, О<(<+со, и~, „,=)(х, у, г), — со(х. у, г(+со. 81. Выразить функции влиянии мгновенного точечного источ- ника тепла для полупространства — со<х,у(+оо, О» г» (+со, отвечающие граничным условиям а) и!,о —— О, б) и,~, „=О, в) (и.
— Уш)/ ч = О, через соответствующие одномерные функции влияния. аналогично тому, как зто было сделано в решении задачи 79. 82. С помощью функций влияния, найденных в предыдущей задаче, решить краевые задачи а) и,=а'Аи+Г(х, у, г, (), — со<х, у<+оо, 0<г, ) =+со, и), =Ф(х, у, (), — со(х, у<+со, О»- ) <+со, и~,-,=1(х, у, г), — оо<х, у(+ос, 0( г <+ос; б) и,=а'Ьи+г(х,у, г,(), — со<х, у +со, 0<г, ( +со, и,',, Ф(х.
у, (), — оо<х, д» +со, О< ( (+ос, ий 1 — — ((х, у, г), — оо(х, у(+со, О< г <+со; в) и,=аЧи+Р(х, у, г, (), — со(х, у<+со, 0<г, (<+ос, (и,— йи)/, =ЬФ(х,д,(),— со(х, у(+со, 0«" ( (+со, и'и ~=~'х, у, г), — оо(х, д<+оо, О< г (+ос. У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1оз 83. Пусть ).') есть конечная, полубесконечная или бесконечная цилиндрическая область, параллельная оси а, и пусть ее пересе- чением с плоскостью ку является область О „. Пусть на поверх- ности области А) заданы граничные условия йервого, второго или третьего рода.
Доказать, что функцией влияния мгновенного точечного источ- ника тепла для области О является соответственно произведение функций влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного отрезка, полуоси или всей оси з на функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для плоской области г)„У. 84. Воспользовавшись предложением, сформулированным в предыдущей задаче, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для плоского слоя — со~х, у -'+со, 0<я<8 Рассмотреть случаи, когда на граничных плоскостях г=0 и г=) а) поддержнваетси нулевая температура, б) имеет место тепловая изаляция, в) одна из граничных плоскостей (г=О) теплоизолировапа, а на другой (г= — О поддерживается нулевая температура, г) на обеих граничных плоскостях происходит конвективный теплообмсн со средой нулевой температуры.
85. Построить функцию влияния мгновенного точечного источ- ника тепла для неограниченной балки с прямоугольным попереч- ным сечением 0»х»)и 0»у»)м — сю»г =;+со, если на поверхности балки а) поддерживается нулевая температура, б) имеет место тепловая изоляция.
86. Построить функцию влияния мгновенного точечного источ- ника тепла для прямоугольного параллелепипеда О» х» )и 0»у» )м О == г» )м Рассмотреть случаи, когда поверхность параллелепипеда а) поддерживается при нулевой температуре, б) теплоизолирована. 87. Методом отражений построить функцию влияния мгновен- ного точечного источника тепла для неограниченного клина с углом раствора --, где т — натуральное число.
Рассмотреть случаи, когда граничные плоскости ~р =О н ~р =— а~ поддерживаются при температуре, равной нулю, б) теплоизолированы. 88. Найти распределение температуры в неограниченном про- странстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на сферической поверхности радиуса г' выделилось мгновенно Я равномерно распределенных единиц 1епла. /Построение функция влияния мгновенного сферического источника теплаО головин зхдрч 89.
С помощью функции источника, найденной в предыдущей задаче, решить краевую задачу ди ! д*и 2 ди ~ а =и''(д,р + —, а,~+~(г. 0 О~г. Р ~+со и(г,0)=У(г), 0<г<+со, где г = )I х' + уз + хр. 90. Найти распределение температуры в неограниченном про- странстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на каждой единице длины бесконечной цилиндрической поверхности радиуса г' выделилосьЯ равномерно распределенных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.) 91. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей задаче, решить краевую задачу аи рафаи 1 аи~ у=о'< д,, + — „—,)+1(г.
О ОСг, ((+~, ((). и(г, 0)=г(г), 0<г<+со, (2) где г — — угх'+у'. 92. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника для уравнения диффузии, если среда, в которой происходит диф- фузия, движется с постоянной скоростью е относительно рас- сматриваемой системы координат. 93. Найти функцию влияния неподвижного точечного источника постоянной мощности для уравнения диффузии в среде, движу- шейся с постоянной скоростью е в направлении оси х, если процесс диффузии стационарен и если переносом вещества в направлении оси х можно пренебречь по сравнению с переносом за счет движе- ния среды (см. задачу 2). 94.
Решить предыдущую задачу для полупространства О~а~ с +оэ, рассмотрев случаи, когда а) плоскость г =- О непроницаема, б) на плоскости г=О поддерживасгси концентрация, равная нулю, в) плоскость г =0 полупроницаема, причем под ней (т. е. при г ( 0) поддерживается концентрация, равная нулю.
95. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра- ниченном пространстве, выделяемого точечным источником мощ- ности ГЩ с координатами х=ф((), у=фЩ, г=х(р), если начальная концентрация этого вещества в пространстве равна нулю. 96. Найти концентрацию диффундируюшего вещества в неогра- ниченном пространстве, начальная концентрация которого равна Пи=сопя( при 0(г~г, и), р= 0 при гр ~ г с" -(-со, где г — радиус-вектор сферической системы координат. У, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ОЗ 97. Решить предыдущую задачу для полупространства з)0, предполагая, чта гВ(гм (О, О, ЕА) — координаты центра сферы, в которой начальная концентрация равна Нм Рассмотреть случаи, когда а) плоскость г =О непроницаема для диффундирующего вещества, б) на плоскости а=О поддерживается концентрация, равная «нулю.
98. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неограниченном пространстве, если его начальная концентрация равна Н = — сапз1 при 0(г(гм и 1«. 0 при г,(г(+Со, где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат. 99. Решить предыдущую задачу для полупространства х~О, предполагая, что цилиндр параллелен оси г и его ась пересекаег плоскость я=0 в точке (хм 0), где х««)г,. Рассмотреть случаи, ,когда а) плоскость х=О непроницаема для диффундирующего вещества, б) на плоскости х= О поддерживается концентрация, равная нулю. 100. Канал с вертикальными стенками и непроницаемым дном внезапно заполняется водой так, что в одной его части, при х ..О, получается уровень воды Н,=сапа(, а в другой, при х)0, уровень воды Н,=сопз1, и в дальнейшем эти уровни поддерживаются неизменными (см.
рис. в ответе задачи, вертикальная ось Н .перпендикулярна к плоскости чертежа). В начальный момент уровень грунтовых вод в грунтовом слое у) 0 раеен Н,=сопз1. Считая, что слой лежит на непроницаемом основании, являютцемся продолжением дна канала, найти уровень грунтовых вод Н (х, д, г) при 1 = О (д -- О). 1О1. На поверхности сферической полости 0(г(г неограниченного пространства температура должна меняться по закону и ~, „= «Р (1), где «р (1) — заданная функция времени; начальная температура пространства равна нулю. Какой тепловой патон нужно подавать из сферической полости и пространство для обеспечения такого закона изменения температуры на поверхности полости? ГЛДВД Ч) УРЛВНВНИЯ ГИПВРВОЛИЧВСКОГО тИПД К уравнениям гиперболического типа приводят динамические задачи механики сплошных сред (акустики, гидродинамики, аэродинамики, теории упругости] и задачи электродинамики '). В настоящей главе рассматривается постановка и решение краевых задач гиперболического типа для функций двух или ббльшего числа независимых переменных, так что эта глава является продолжением и развитием гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
