Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 27
Текст из файла (страница 27)
61ч Н= О, д!ч Е=— 4 ч> е во внутренних точках некоторой области Т через их значения на поверхности Х, ограничивающей объем Т, 2. Раопроетранение электромагнитных волн и колебания в резонаторах 76, Выяснить возможность распространения электромагнитных волн вдоль бесконечно длинного круглого цилиндра, проводимость которого бесконечно велика. Проводимость окружающей среды а конечна. 77.
Решить предыдущую задачу, предполагая, что проводимость цилиндра конечна и равна о,. 78. Показать, что внутри бесконечноь полой цилиндрической трубы (волновода) произвольного сечения с идеально проводяшими втенкамн может существовать конечное число бегущих электромагнитных волн. Найти выражение для фазовой скорости и потока энергии бегущей волны в волповоде. 79. Доказать существование бегущих электромагнитных волн внутри полости, ограниченной двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями р = а и р = Ь. Стенки коаксиала считать идеально проводящими.
Вычислить поток энергии и написать выражение для составлякецих поля для овновной волны, соответствующей наибольшей длине волны. эсловия злдлч 80. Найти собственные частоты н соответствующие электро. магнитные поля сферического резонатора с идеально проводящи.- ми стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоя ~ей волне.
81. Найти собственные электромагнитные колебания цилиндрического резонатора, являющегося «отрезками цилиндрического радиоволновода произвольного сечения с идеально проводящими стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоячей волне. Расслютреть частные случаи резонаторов а) прямоугольного сечения, б) круглого сечения. 82. Определить собственные частоты электромагнитных колебаний внутри тороидального резонатора прямоугольного сечения, считая стенки резонатора идеально проводящими.
83. Дифракция яа цилиндре. Плоская электромагнитная волна падает на бесконечный круглый цилиндрический провод, ось ко«о рого перпендикулярна к направлению распространения волны. Найти дифрагированное поле, считая цилиндр проводяшим. В,илиндр окружен диэлектриком с диэлектрической постоянной е, и проводимостью, равной нулю. Рассмотреть случай идеально проводящего цилиндра. Предполагая, что радиус цилиндра а мал 2 у по сравнению с длиной падающей волны (йа«.",1, е= -",), вычи. слить полную рассеянную мощность. 84. Дифракция иа идеально проеодяи)ей сфере. Рассмотреть задачу о рассеянии плоской электромагнитной волны на идеально проводящей сфере. Найти электромагнитное поле.
86. Ди4ракция на проводяи)ей одере. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде я парамеграмя в=в„ о=О, )«1, встречает на своем пути проводящую сферу радиуса а с параметрами е=е«, р )«„о о«чьО. Найти электромагнитное поле внутри н вне сферы (задача Мк о дифракции на сфере). 3. Излучение электромагнитных волн 86. Найти поле излучения бесконечно малого электрического.
диполя, находящегося в неограниченном непроводяшем простран* стае. Вычислить среднюю за период мощность излучения. 87. Решить предьдущую задачу, пользуясь представлением составляющих электромагнитного поля о помощью функции Боргниса в сферической системе координат Š— + 'я«0 Ев — — ° Е ° е«с , ~ аи , ) ~0 Ее" ~ 6 у Егд« ' Ч г«М6 ЙкФр ' Н, =О> пе' — — — »В= — — ° и еи ела 1 д~р' ч г еа' чп, ичвнвиия эллиптичвского тинь 141 где функция (/ удовлетворяет уравнению ЕЧ/ 1 Е «. ЕГ/~ 1 ЕЧ/ — + — — ~з!пб — )+ —.— +ЬЧ/ О «2 Мпа Е6( И6/ «е Ж~е Ече г/ так что функция и — удовлетворяет уравнению да+ нзи = О. 88.
В центре сферическою резонатора е идеально проводящими стенками помещен бесконечно малый электрический диполь, направленный по радиусу. Определить электромагнитное поле, возбуждаемое диполем внутри резонатора. 89. Однородный проводящий шар радиуса а с постоянным з,„ йм о, помещен в среду с другими физическими константами в„ (г„а,. В центре шара находится электрический диполь, колеблющийся по гармоническому закону е-"".
Вычислить поле внутри шара, среднюю за период мощность излучения и рассмотреть предельный случай и,— со. Рассмотреть частный случай, когда а -~- со. 90, Стенки сферического резонатора сделаны из однородного проводящего материала, обладающего проводимостью о. Пусть «=а и «=Ь вЂ” радиусы стенок резонатора. В центре резонатора помещен электрический диполь, колеблющийся по гармоническому закону е-г"'. Найти вынужденные электромагнитные колебания резонатора, считая, что область « - Ь непроводягцая (воздух). Рассмотреть предельные случаи Ь-ьоо и Ь- а.
91. Внутри сферы радиуса а помещен электрический диполь, ориентированный по радиусу и отстоящий от центра сферы на расстоянии « = «'. Определить электромагнитное поле излучения внутри сферы, предполагая, что сфера окружена однородной средой, обладающей конечной проводимостью а. Рассмотреть предельный случай о- со. Рассмотреть частные случаи= радиус сферы мал по сравнению с длиной волны и а-~оо.
92. Вертикальная электрическая антенна над сгйерическсй зелглей. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое электрической антенной, находящейся над поверхностью земли, которая оассматривается как шар радиуса а, имеющий конечную проводимость о и диэлекгрическую проницаемость в Антенну счи~ать элементарным диполем, совершающим гармонические колебания вдоль направления диаметра земли. Атмосферу считать однородной и непроводящей (в=)г=-1.
о=О). 93. Вертикальная антенна на сгЬерической земле. Решить предыдущую задачу (92), считая. чзо антенна находится на поверхности земли и направлена по нормали к ней. !42 УСЛОВИЯ ЭАДАЧ 4. Антенна аа плоской земле В задачах 94 — 1О! рассматривается распространение волн, излучаемых антеннами„ находящимися на поверхности земли. При этом мы будем предполагать землю плоской, однородной и проводящей (иногда идеально проводящей, иногда обладающей конечной проводимостью); антенну мы трактуем как диполь, момент которого периодически меняется во времени с частотой ьп р =!э е-'"', для простоты будем считать 'р ~ = 1. Задачи 94 — 97 носят постановочный характер, здесь требуется ввести вектор Герца и поставить для его составляющих, отличных от нуля, краевую задачу.
При решении задач 98 в 101 требуется провести расчет элек- тромагнитного поля, излучаемого антенной, а также среднюю за период мощность излучения. Здесь существенным для метода решения является разложение в интеграл Фурье в Бесселя с использованием интеграла Зом- мерфельда = ') )о(йг) е "* *" Й=) г~+г'.
о У Х2 — А, О 94. Вертикальная электрическая анте на. На плоской поверхности земли, заполняющей полупрострзнство а = О, помещена вертикальная электрическая антенна, направленная вдоль оси г. Ввести вектор Герца и с$ормулировать для него граничные условия на поверхности земли, а также выделить особенность в источнике. При решении считать )4=1. 95. Вертикальная магнитная антенна. На поверхности земли г О находится вертикальная магнитная антенна (горизонтальная рамка). Поставить краевую задачу для соответствующего вектора Герца, если земля обладаег конечной проводимостью. 96.
Горизонтальная элактрическая антенна. Поставить краевую задачу для горизонтальной антенны, лежащей на поверхности земли, проводимость которой конечна. 97. Горизонтальная люгиитчая антенна. Элементарный магнитный диполь, расположенный на поверхности земли г =О, ориентирован вдоль оси д, т. е. рамка с током находится в вертикальной плоскости кг. Сформулировать соответствующую краевую задачу для вектора Герца, считая землю проводящей. 98. Найти электромагнитное поле излучения вертикальной электрической антенны иа поверхности плоской земли (см. задачу 94.) Вычислить поток энергии излучения, полагая )А = 1.
Рассмотреть случаи, когда земля идеально проводящая и когда земля заменена воздухом. УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 14З 99. Определить поле„излучаемое вертикальной магнитной антенной, находящейся на плоской земле (см. задачу 96). 100. Решить задачу о распространении волн, излучаемых горизонтальной электрической антенной, находящейся на поверхности земли (см. задачу 96). 101. Найти электромагнитное поле, создаваемое горизонтальной магнитной антенной, лежащей иа поверхности плоской земли (см. задачу 97).
102. Вертикальный электрический диполь расположен в среде 1, постоянная распространения которой равна й„в точке е г„г =О. Среда 2 имеет вид плоскопараллельной плиты с постоянной распространения й, и границами г=а(гя и Е=О. Полупространство з«с 0 идеально проводящее. Найти поляризационный потенциал вторичного поля Л, 108.
Найти электромагнитное поле, возбуждаемое линейным током в неограниченном пространстве, и вычислить поле в волновой зоне. Определить сопротивление излучения. 104. Определить сопротивление излучения полуволнового диполя в неограниченном пространстве, а также реактивную часть входного сопротивления (реактанц) полуволнового диполя. 105. Внутри цилиндрического волновода, рассмотренного в задаче 78, помещен точечный диполь, параллельный оси волновода и гармонически колеблющийся по закону е-мУ. Найти средний за период поток энергии, излучаемой диполем.
Вычислить сопротивление излучения. Решение искать для волновода произвольного сечения и затем рассмотреть волновод круглого сечения, предполагая, что диполь находится на оси волновода. 106. Найти выражение для электромагнитного поля внутри волновода, возбуждаемого линейным током длиной 21, параллельным оси волновода, и вычислить поток энергии через поперечное сечение трубы для частного случая полуволнового диполя, лежащего на оси радиаволновода круглого сечения. Найти активную и реактивную составляющие входного сопротивления. Задачу решать в приближении заданных токов, пренебрегая влиянием вторичного поля иа распределение тока в дипале. 107.
Использовать решение задачи 106 для отыскания сопротивления излучения и реактанца полуволнового диполя, лежащего на оси волновода круглого сечения и направленного вдоль втой оси. 108. Вычислить поле, возбуждаемое внутри бесконечного прямоугольного радиоволновода с идеально проводящими стенками электрическим диполем, перпендикулярным к оси волновала и параллельным одной из сторон перпендикулярного сечения, и найти сопротивление излучения для а) бесконечно малого диполя, б) полуволнового диполя.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ радий КЛАССИФИКАНИЯ И ПРИВВДВНИВ К КАНОНИЧВСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5 1. Уравнение для Функции двух независимых переменных ахти„„+ 2агзихэ+ а„иээ+ Ьгих+ ()зиэ+ си =У'(х, У) 1. Уравнение с переменными коэффициентами Диск!эимиваит урэииеяия (1+к) пхк+2хцпхэ — реп эх О разве оы— омам уз (хе+ х+1) !а (х — хя(х — хз) где ! — ) 1 — 41 1+э' ~ — 41 х, Ф хз 2 ис. 14 причел1 ьетви, паправлеииые вниз, задаются урввиеииями й сопз1. а ветви ивправлеииые вверх, уравнениями (1 сопз1, ! Пусть ! ( —, тогда х, и хз действительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
