Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Электрическое поле Еь обусловленное этими зарядами, в любой точке между поверхностями имеет простую форму; удобно, что на краях оно исчезает. Согласно формуле Гаусса (СИ) Е, = — — = — —. )о! Р ее ее ' (13.9) (СГС) Е, = — 4п! и)=- — 4пР Полное макроскопическое поле внутри пластинки мы получим, складывая поле Е~ с внешним полем Еа' (СГС) Е= Ео+ Е1 = Ео — 4пРя; Р (СИ) Е=Ее+Е1 =Ео — — я, ее (13.10) где г — единичный вектор нормали к поверхности пластинки. Итак, имеем определение: Ез =— Поле поверхностных зарядов с плотностью и Р на границе тела простой формы. (13.
11) Это поле плавно изменяется в пространстве внутри и вне тела; при этом оно удовлетворяет уравнениям Максвелла (13.1)— (13.3) и совпадает с макроскопнческим полем Е. То„ что поле Ез 469 Рис. !ЗА. а) Однородно поляризованная дизлектрическая пластинка; вектор поляризапнп Р напраилен перпендикулярно к ее плоскости. 6) Две однородно заряженные параллельные пластинки, которые созда|от точно такое же поле Еь что и в случае а. Верхняя пластинка имеет поверхностную плотность зарядов о = +Р, нижняя пластинка имеет а = — Р.
является плавно изменяющейся функцией (с точки зрения атомных масштабов), связано с заменой дискретной решетки диполей р; распределением поляризации Р, т. е. функцией достаточно гладкой. Деполяризующее поле Е,. Геометрические формы тел в большинстве задач, рассматриваемых в теории диэлектриков, лостаточно просты, и в этих задачах поляризацию внутри тели можно считать однородной. В зтпх случаях вклад в макроскопическое поле дают лишь полз Ее и Еь т, с. (13.12) Е= Ее+ Ег где Е, — внешнее поле, Е, — поле, создаваемое однородной поляризацией.
Г1оле Ег назьгвают деполяризующим полем, так как внутри тела оно имеет тенденцию располагаться противоположно внешнему полю Е, (см. рис. 13.5). Удобно вести рассмотрение для образцов, имеющих форлгу эллипсоида, поско.льку сферы, цилиндры и дкски можно описывать как предельные случаи эллипсоида. Удобство состоит в том, что однородная поляризаппч образцов таких форм создает однородное деполяризующее поле. Этот замечательный математический результат выводится в классических учебниках по электричеству и магнетизму (см., например, книгу Беккера [3]). Пусть оси прямоугольной системы координат направлены вдоль главных осей эллнпсонда; если компоненты вектора поляризации Р по этим осям равны Р„Ра, Р„то лля компонент леполяризуюшего поля получим: (СГС) Е,„= — М„Р„, Е,е — —.= — Мар„, Е„= — М,Р;, (13.!3» МзГ з геуяа МгГ г (СИ) Е,„= —, Е, = — — ', Е„=— ез ' га ее ' " ее Здесь М„, Мгь М,— дегголяризующие факгорьг, величины которых зависят от отношений длин главных осей эллипсоида.
Сами значения М„М„, М, положительны и лля нх суммы удовлетворяется правило М,+ М, +гУ,=4п (СГС), или М„+М„+М,=! (СИ). Значения М для эллипсонлов вращения, как функции отношения с/а, графически изображены на рис. 13.6. Значения М Рис. !3.5. Леполяризугонгее поле Е, направлено противоположно Р. Показаны фиктивные поегркностные заряды, которые и созда от поле Ег ннугри зллипсоида. -470 дуг уагг йд Рис. 13.6. Зависимость деполяриаующего фактора ау ог отношения ллин главных осей сга аллипсоида вращения для направления вдоль оси а. дг о г ргп ось Форма сгс ~ си Любая 4и/3 1,'3 Сфера 4и 1 О О тонкая пластинка Нормальная к плоскости пластинки В плоскости пласпанки О О ги 1(в Длинный кругоной цилиндр По оси цилиндра Перпендикулярно к оси цилиндра Деполяризующсс поле можно уменьшить до нуля двумя пу.
тями; 1) используя длинные тонкие образцы или 2) электрически закоротив электроды, нанесенные на противоположные стороны тонкой пластинки. Однородное внешнее поле Ее будет индуцировать в эллипсоиде однородную поляризацию. Введем дггэлекгрическуго восприи ичивосгь у соотношением (СГС) Р =1Е, (СИ) Р = ееуЕ, (13.!4) которое связывает макроскопическое поле Е внутри эллипсоида с поляризацией Р.
Если поле Ео однородно и направлено вдоль главной оси эллипсоида, то согласно (13.13) (СГС) Е=Ее+Е~ =Ее й)Р, (СИ) Е=Ео — —, ° (!3 15) Отсюда следует, что (С)С) Р=х(Ео — й(Р)1 Р= ~, Ео' (13 15) (СИ) Р=Х(аоЕо — й(Р) Р= х '„Ео для других предельных форм были вычислены Осборном 14! и Стоиером [51: Величина поляризации зависит от деполяризующего фак* тора !)!. Если восприимчивость )! очень велика по сравне!ппо с А1, то (СГС) Р ж — "; (СИ) Р ж — "' . (13.17) В этом предельном случае величина поляризации определяется в основном формой образца.
Если нас интересует определение диэлектрической восприимчивости у материала, то следует избегать ситуаций, отвечающих этому предельному случаю. ЛОКАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НА АТОМЕ В системе СИ следует р заменить на р14пео. Направления х, у, г эквивалентны в силу предположенной симметрии решетки и выбора формы кристалла (сферы); таким образом, имеем: ч т ! (13.20) ') !засположение соседей атома в узлах кубичесиото кристалла не обязательно имеет кубическую симметрию. Напримср, расположение соседей иона кислорода Оз в структуре титаната бария (см. рис. !4.2] не обладает кубической симметрией.
Однако расположение ионов Ыа' и ионов С! в решетке )ЧаС! (а также ионов Сз' и С1- в решетке СзС!) обладает кубической симметрией. Говоря о поле, действующем на атом в каком-то узле решетки. мм имеем в виду поле, действующее на любой атом в таком же узле. 472 Величина локального электрического поля, действующего на атом в узле кристаллической решетки, значительно отличается от величины макроскопического электрического поля.
В этом легко убедиться уже при рассмотрении простого случая, когда расположение соседей данной точки решетки имеет кубическую симметрию, а кристалл имеет форму шара '). Для макроскопи. ческого электрического поля в образце сферической формы со- гласно (!3.15) имеем (СГС) В = Но + Е! = Но — — Р (13 18) (СИ) Е = Ео+ Е! = Бо — Р.
1 Зе, Рассмотрим поле, действующее на атом в центре шара (как мы увидим ниже, выбор местоположения атома не играет осо- бой роли, результат от этого не зависит). Если моменты всех диполей параллельны оси з и равны р, то г-компонента этого поля в центре шара согласно (!3.5б) будет равна сумме полей, создаваемых всеми другими диполями; (СГС) Еа!а= р ~~ з ~ = р~~', ! ° (13.!9) отсюда следует, что Еш,=О. (13.21) В этом случае (атом в решетке кубической симметрии в сферическом образце) локальное поле равно как раз внешнему полю: Еюс = Ео (13.22) Следовательно, локальное поле далеко не то жс, что среднее микроскопическое поле. Выведем теперь выражение для локального поля для узла в произвольной решетке (не обязательно кубической симметрии).
Локальное поле, действующее на атом, есть сумма поля от внешних источников Ес и полей от диполей внутри образца. Из поля диполей удобно выделить часть, при расчете которон суммирование по диполям можно заменить интегрированном. Локальное поле можно записать в виде Емс = Ее + Е~ + Е, + Ез (13. 23) Здесь Е,— поле, создаваемое фиксированными зарядами вне тела; Е~ — деполяризуюшее поле от зарядов на внешней поверхности образца с поверхностной плотностью, равной и Р; Ез — поле Лорентца (в полости).
Это — поле, создаваемое зарядами на внутренней поверхности сферической полости, фиктивно вырезанной в поляризованном образце; оно действует на атом в центре полости, см. рис. 13.7 (введение такой полости— в сущности лишь математический прием расчета поля Еэ); Е, — поле, создаваемое атомами внутри полости.
со <от гуоооноо внутри ооооогоо) Рис. 13.7. Внутреннее электрическое поле, действующее на атом и кристалле, состоит нз внешнего поля Ез и поля„обусловленного всеми остальными атомами кристалла. В этом последнем обычно выделяют три составляющих, вводя воображаемую полость в виде сферы, центр которой совпадает с данным атомом.
Для поля в центре, создаваемого дипольными полями других атомов, ограничиваются суммированием полей от исех атомов внутри сферы. Это поле обозначено через Еэ; для кристаллов кубической симметрии оцэ равно нулю. Эффект от атомов вне сферы можно описывать как действие однородно поляризованной диэлектрической среды. Поле, создаваемое при этом в центре сферы, равно Е, + Еь где Е~ — деполяризующее пале, обусловленное зарядами, наведенными на внешней поверхности образца, а Е, — поле, создаваемое зарядами на внутренней поверхности сферы.
4то Рис. ! З.в. К вычислению поля в иентре сферической полости, вырезанной в однородно поляризованном диэлектрике. Заряд слоя = 2яа а1п 0 а ив Рсоа О. В сущности сумма Е, + Еа + Е, описывает всю ту часть локального поля, действующего на данный атом, которая обусловлена дипольными моментами всех других атомов образца; поэтому можно записать: (СГС) Е~+ Еа+ Е,=~~' ' ' ' ' . (13.24) (В системе СИ р, заменяется на р,/4пае.) Диполи, расположенные на расстояниях, ббльших примерно десяти постоянных решетки от рассматриваемого атома, дают лишь плавно изменяющийся вклад в сумму; расчет этого вклада сводится к вычислению двух поверхностных интегралов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
